книги / Электромагнитные эффекты в твердых телах

2.9. Аномалия Мида и ее объяснение

111

Более сложную задачу решили Аскар, Ли и Какмак [2]. Они рассматривали функции ur, Pi, q> в неограниченном теле с ци­ линдрической и сферической полостями. Ту же задачу, но иным способом решил Шварц [45].

2.9.АНОМАЛИЯ МИДА И ЕБ ОБЪЯСНЕНИЕ Г29, 32]

Рассмотрим слой изотропного диэлектрика толщиной 2h, на краях которого (хх= ±/г) приложен электрический потен­ циал ±V . Задача трактуется здесь как одномерная в зави­ симости от переменной xi. Д ля статической задачи в нашем распоряжении находятся уравнения

(1)	спЩ, п ~Ь ^цРь и — О»
(2)	и + ЬцР\, п —аРх— ф. 1 =		О,
(3)	— э0ф, п + Pi, 1=		0.
Решим сначала	частный случай	системы	уравнений при
du = 0, Ьц = 0:
(4)	спиип =	0,
(5)	аРх+ ф, 1= 0,
(6)	— э0Ф,ц + P Ui =	0.

Принимая dn = 0, Ьц = 0, мы исключили влияние градиента поляризации и получили уравнения (4), (5) классической тео­ рии пьезоэлектричества. В этих уравнениях функции Pi и ф связаны и перемещение ui не зависит от Pi и ф, что отвечает ранее сделанному утверждению, что, согласно классической теории пьезоэлектричества, в центрально-симметричном теле не возникает пьезоэлектрический эффект. Систему уравнений

(4) — (6) решим с учетом следующих краевых условий:

(7) ai“i = °> <P U -± * = ± ''-

Первое условие означает, что <уц = 0 на краях х\ = dhft. Крае­ вые условия, наложенные на функцию ф, показывают, что ф(л?1)— функция, антисимметричная относительно плоскости

A 'i=0. Из уравнений		(5)	и (6)	следует, что функция	Pi(.v*i)
также нечетная. Исключение функции Pi из уравнений					(5) и
(6)	приводит к уравнению
(8)			д[Ф =	0.
Его решение имеет вид
(9)	Ф =	Л +	Рл:1,	А = 0.

Из краевого условия (7)2 получим B = V/h. Следовательно,

( 10)

ф = (К /Л )а>

112	Гл. 2.	Теория пьезоэлектричества Тупина и Миндлина
Из уравнения (5) найдем
(И)		Pi = — э0т] (V/h), т1=	1/(аэ0).
Из уравнения		(4) имеем ui = 0.
Рассмотрим емкость
(12)	С =	(30di<p —Р ,)*,=±л =	1 э = э0(1+т1).

Следовательно, емкость обратно пропорциональна толщине слоя

(13)	С"' = (2/е)А.
	Таким образом, в пределах слоя
	функция	tp(xi)	пропорциональна
	переменной Ху,		поляризация Pi
	постоянна и величина 1/С про­
	порциональна толщине h. Этот
	результат	противоречит опытам
	Мида [30]. На рис. 2 представ­
	лены прямая (13) и эксперимен­
	тальные данные		Мида. Объясне­
	ние этой аномалии можно найти

в градиентной теории Миндлина. Отправным пунктом рассуждений будет при этом система уравне­ ний (1) —(3). Однако эта систе­ ма уравнений требует трех крае­ вых условий. Два из них — это

(М)а‘>1*-±4 ~

= {с\\д\Щ + = 0 , ф1Х1=±л= V»

Третье условие найдем из следующих соображений. Поляри­ зация на границах металл — диэлектрик — металл зависит от физических свойств металлического электрода и стыка ме­

талл-диэлектрик. Миндлин [31]		принял краевое условие
в виде
(15)	Pi!*.** = - b 0ri№ ),	0 < А < 1 .

Здесь k = 1 отвечает классической теории (см. формулу (11)),

а &=	0 характеризует непрерывность поляризации при пере­
ходе	через плоскости х\ — ±А. Путем	исключения соответ­
ствующих функций легко проверить, что
(16)	-7jr)K < P ) =	o,

(17)	а, (а * - - ! . ) / > = о,

	2.9. Аномалия Мида	и ее объяснение	ИЗ
где1	Р -	> 0
	С11 (°+	э0 )

есть величина с размерностью длины, характерная для рас­ сматриваемой задачи.

Краевое условие (14)2 показывает, что функция <p(*i) антисимметрична относительно плоскости х\ — 0; из уравнений

(1) и (2) следует, что функции Л(лг1) и и\(х\) симметричны от­ носительно этой плоскости. Ис­ пользуя теорему Боджио, пред­ ставим решения уравнений (16),

(17)в виде

(18)щ = Ах-f Bi ch (дгД),

(19)Р, = Л2 + В2сЪ(хА)>

(20)	ф =	Л3-f-В3sh (Xj//i).
Подставляя		решения	(18) — (20)
в систему		уравнений	(1)	— (3),	между	постоян­
получим дополнительные				соотношения
ными:
(21)	А1= 0 ,	А2— э0пА3,		В^ — 1^В2эй1—		(эо^и) ■
Подставляя		(18) и (19) в краевое условие			(14) i,	мы видим,

что оно тождественно удовлетворяется. Краевые условия (14) 2 и (15) приводят к системе двух уравнений, из которых най­

дем постоянные

(22) 4>=lrchr+

В3 — (1 k ) 4 V ^sh (*/,,) ц .(№ )сЬ (А//,) •

Остальные постоянные определим из соотношений (21). Обратную емкость определим по формуле

то)	г - 1 =		27	__	2 .		l + (T|/,/A)th(A//,)
V	Ь	(э0а,Ф - Pi)Xl„±k			э0	п	I + (knljh) th (h/h) '
	п В нашем одномерном случае			1\	> 0. Поскольку внутренняя энер­
гия есть положительно определенная квадратичная форма, то
		с\\ ^	сп d\\	— C!161I ~d\\				> °*
			0>
Следовательно, н		1\,	ввиду того чго		а >	0,	эо >	0, величина положи­
тельная

114 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупина и Миндлина

На рис. 3 представлена функция ъ/{21\С) в зависимости от h/l\ для частного случая Л = 0,1» Л = 10Произведенные вы­ числения с использованием экспериментальных данных Мида дают совпадение градиентной теории с опытами.

На рис. 4 показано поведение функций <р и Р\ в области диэлектрического слоя. Очевидно, что абсолютное значение

Рис. 4.

функции Р 1 ненамного меньше значения, найденного по клас­ сической теории, т. е. значения ЭоцУ/h, но в окрестности сте­ нок xi — dzh оно быстро изменяется до значения fi3Qr\V/h.

Функция <р принимает несколько меньшее значение, нежели по классической теории для \xi\<.h, и значение dzV для

Х\ = dh h .

2.10. ТЕРМОУПРУГОСТЬ ДИЭЛЕКТРИКОВ

Задачи термоупругости диэлектриков обсуждались в ра­ боте Чоудхари и Глокнера [12]. Приведем модифицированный способ постановки этой задачи, используя выражение для свободной энергии. Пусть тело испытывает деформацию под влиянием внешних нагрузок, электрического поля и теплового нагрева. Будем учитывать не только электрический потенциал и поляризацию, но и градиент поляризации.

Применим к области тела В, ограниченного поверхностью дВ, принцип сохранения энергии. Имеем

(1) j f \ ( K - \ - V ) d v = \ j Xivl d v +		J piVi da — J		+
В	В	дВ	дВ
	-Ь ^ EiPidv -j-		^ EijPjtii da -j-	^ т|ф daf
	В		дВ	дВ

Л = W . t + Pt)nt-

2.10. Термоупругость диэлектриков	115
Здесь K = l/2pViVi — кинетическая энергия,	[/ — внутренняя

энергия. Оба вида энергии отнесены к единице объема. Интег­ рал

(2) SB — J XiVi dv + J piVt da

взв

представляют мощность механических сил: массовых и кон­ тактных. Здесь

(3 )	p i = о ц Щ

— контактная сила, отнесенная к единице поверхности, п — единичный вектор внешней нормали к поверхности тела В. Интеграл

(4)	— $ qini da = -	\q i,t dv
	дВ	В

представляет прирост тепла во времени, вызванный притоком тепла через поверхность дВ. Наконец,

(5)	J E°iPi dv -f	J EijPjtii da +	J щ (—э0Ф.i + Pt)da
	В	дВ	дВ

есть мощность электрических сил. Здесь использовались крае­ вые условия (12) и (13) из § 2.2.

Преобразуем уравнение баланса энергии (1), заменяя по­ верхностные интегралы с помощью преобразования Гаусса. Заметив, что

J	PiVt d a =	J сТцпр1 da =	J (ог^Ы / dv,
дВ		дВ	В
	$	qtnt da = jj qit { dv,
	дВ	в
	5 EijPjtii da — ^ (EtjPj), i dv,
	дВ	в
^ т]ф da =	J [(— э0Ф, t + Pi) Ф. i + (— э0ф. a +			Pi, <) Ф. t] dv,
дВ	в
приведем уравнение баланса энергии (1) к виду
(6) \ u dv =	[ [(ff/f, j +	%i — P^*) vi "b	dv	^ Яи i dv +
в	в			в
	+ \[{E°l +	Eti,i)Pj + EilPl,t]dv +
	В

+ \ [(-ЭоФ. i + Pi) Ф. i + ( - эоф. « + Pi. I) Ф. I] dv.

116	Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупина и Миндлина
	Примем во внимание уравнение движения и уравнение
электромагнитного поля
(7)	Oji']-{-Xi — рй{,
(8)	— э0ф, и + Pui = О,
а также уравнение баланса межмолекулярных сил
(9)	Я/м + Е ? - ф ., + £? = 0.

Использование этих равенств значительно упрощает уравне­

ние	(7). Получаем
(10)	5 0 dv =	$ (a„vh	Efp, + E„P,. <+ <p. ,P, +
	В	в

+ Ф.!pi “ эоФ.*Ф.t) dv.

Теперь учтем вид внутренней энергии. Заметив, что

	a]ivi- i =		а Ц(®г/ “Ь	= °ч/®г/>
и вводя	несимметричный тензор я,-/ =			Pj,«, приведем уравне­
ние баланса энергии (10)			к виду
(11)	J ULd v =	J {рцкц —Pi, i — EfPi + Eijiiij) dv.
	в	в

Это уравнение должно удовлетворяться для произвольной области В. Если подынтегральное выражение в (11) непре­ рывно, то соотношение

(12)UL= ацгц - qt. t - EtPt +• Ецйц

выполняется локально.

Перейдем к глобальному уравнению баланса энтропии

(13)	J	da + J 0 d v .
в	зв	в
Здесь S — энтропия,	отнесенная	к единице объема. Левая

часть равенства (13) представляет приращение энтропии во времени; первый член в правой части этого равенства — при­ ращение энтропии, возникающее при обмене тепла с окру­ жающей средой; второй член — производство энтропии, вы­ званное теплопроводностью. Уравнение баланса энтропии

(13)можно представить также в виде

4 t(s+(^-) -®)do=0.

В

Это	выражение справедливо для произвольной области В.
Следовательно, имеет		место	локальное		соотношение
(15)	5 =	0	Я1,1 .	<hT, I	•
			j • I	j*2

2.10. Термоупругость диэлектриков

117

Свяжем между собой уравнения (12) и (15), исключив из них величину —qit i. Вводя свободную энергию F = U — ST, полу­ чим

(16)F = a , - S T - B i P , + E „ K ,I — T ( в +

Рассмотрим свободную энергию F как функцию независимых переменных е,7, Т, Pi, л,/. Тогда

(17)	F =	дР •	I ^ ф I	dF		Pt +	дР		Лц.
		д вИ еЧ	~дТ ^	дР			дл	И
					I

Предположим, что функции ац, 0, Ef , Ец не зависят явным образом от производных по времени функций ег/, Т, Pi, яц. Определяя энтропию как 5 = —dF/dT, получим из прирав­ нивания уравнений (16) и (17) следующие определяющие соотношения:

(18) or,.	де, ’ 5 == — ddFf	Е\ =
	0 =	Я?.	> 0 .
		J2

дР	дР
дР,	Ец = дл ц '

В термоупругости диэлектриков мы имеем дело с необрати­ мым процессом. Второй принцип термодинамики будет вы­ полнен, если

(19)	0 > О , - — ^ > 0 .

Последнее неравенство выполняется в силу закона теплопро­ водности Фурье

(20)	Qt — ki]T,i
или
(20')	—Qt = k{]0, /,

где Г = Го + 0. Здесь Т0— температура естественного состоя­ ния, 6 — приращение температуры. Из уравнений (15), (18) и (20) следует, что

(21)	T S ^ k ifr tj.

Поскольку источник энтропии 0 — величина неотрицательная, то квадратичная форма положительно определена. Следова­ тельно, величины kif должны удовлетворять следующим не­

равенствам:

f y / ^ 0 >

kft\fkjj

> 0,

j, k = \ , 2, 3.

Разложим свободную энергию Г(в//, Pi, пц, Т) в окрестно­ сти естественного состояния Г(0, 0, Ь%, Го) в ряд Тейлора,

118 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупина и Миндлина

отбрасывая величины выше второго порядка. Для анизотроп­ ного тела это разложение имеет вид

(22)	F =	b]jP}, i + 420,ijPiP} + '/гbijkiPj, iPi, k + ЧлСцм&цВщ +
+	icJTo) ^ 4" diikiPj, fiki 4~ fijkPfijk 4~ UikPiPk, / — Yi/8//9 —
		PiPfi f)i]P/, ^0.
Используя		уравнения (18), получим с учетом соотношений

(27)— (28) следующие определяющие соотношения:

(23)ai} — cijkl&ki + fkijPk 4~ dkiijPi. к ~~ Vtfl*

(24)	— Ef =	fjki&ki +	ajkPk +	jjkiPi, k — Pfl*
(25)	Ец =	d iJkieki +	jkijPk +	bijkiPi, k ~~ 'П*/® + &?/»
(26)	S = Yi f i i j 4* P i P i + “Пi j P j . i 4" (Сг / Р о)0*

Благодаря симметрии тензоров ац и в,/, получаем следующие соотношения:

(27)

Сцм =

Сцк1=

Cijikt

fki.i~fkii>

dkiij — dkiji,

Y// =

Y/f-

Поскольку dE — полный дифференциал,

то

справедливы

за­

висимости

d 2F

d 2F

d o k i

(28)

или

д а и

__

dBiid 4 i

d*ki

д * ц ’

(29)

d 2F

d 2F

д Е ^ __ d E f

d P i d P j

""" d P j d P i

или

d P j

д Р Г

(30)

d 2F

d 2F

д Е ц

а в н

d P j ,

id P i, k "~

d P i t k d P f t 1

nJm

d P i , k

d p f, i

(31)

d 2F

d 2F

и П1Т -

d S

dOfj

ОТ д в ц

'

д ъ ц d T

tlJin

д г 1}

’ d T •

d 2F

d 2F

d S

d E f

(32)

"

d P i d T

Vf пи

d T

•

d T d P i

d P i

(33)

d 2F

d 2F

или

d S

_

d E lf

d T d P p i Ж'

d P j , 1

d T

9 P 1,1

d T

•

(34)

d2F

d 2F

d o , ,

__

9 E Lt

d&t] d P k

'

д Р к д ъ ц

или

d * t f

‘

(35)

d 2F

d 2F

-

И TTLT

d o if

d E kl

d p i,

ft d e ij

~ д ъ ц d P lt k

ИЛИ

d P l , b

* • 1/ ’

(36)

*

d2F

d E lt

__

9 E ki

WAI

R>

11

'

'

или

a r\

1

Из соотношений (28)— (^0) получим

^tlkl =

bktip

(37)

с{ikt — cbtlP

aii

аР’

2.10. Термоупругость диэлектриков

119

Остальные соотношения (31) — (36) удовлетворяются тожде­ ственно. Подстановка определяющих соотношений (23) — (26) в систему дифференциальных уравнений

(38)	a/i. / "b Xi — ptii — 0,
(39)	£l;,l + £,l -< p ./ + £? =	0,
(40)	— Э0ф. il + Pi, i =	0

приводит к системе семи уравнений, в которых в качестве неизвестных функций выступают три составляющие переме­ щения и, три составляющие вектора поляризации Р, элек­ трический потенциал ср и приращение температуры 0. Отсут­ ствует восьмое дифференциальное уравнение — уравнение теплопроводности. Это уравнение получим исходя из равен­ ства (21). Подставляя в это уравнение 5 из определяющего соотношения (26), найдем

(41)	Иф, II = Т {уфц + PiPi + ч\цЩ! + (CJTQ)0).

Это — нелинейное уравнение. Введем ограничение | ©/Fo | <d 1 для приращения температуры. В таком случае имеем

	Г = Го(1 + е/Г0) Го-
Подставляя это соотношение в (41), получим
(42)	И ф , ц — се0 — To(yi]Bij + p tP i + л//Л*у) = 0.

Если учесть действие источника тепла, то уравнение (42) примет вид

(43)Т0 1(£*Д ц — се0) — (уifin + PiPi + "Hi/ftf/)= ” WTo1.

Через W обозначена интенсивность источника тепла, отнесен­ ного к единице объема и единице времени. Заметим, что в уравнениях (38) и (39) появляются градиенты темпера­ туры, а в уравнении теплопроводности (43)— производные по времени деформации, поляризации и градиента поляри­ зации.

Значительное упрощение дифференциальных уравнений, описывающих термоупругое поведение диэлектриков, полу­ чается для изотропных тел. В этом частном случае имеем

ftfk — Q*	hik — Qt Ьц — ЬоЬц,	ац — аЬц,
Vif~\btl>	411 = ^11, pi = 0,	kii — кЬф

(44)biiki — b\2bifiki + ^44{bik&ii + fy/6/jfe) + b71 (Ь1кЬц — bubjit),

Ctjkl — ^12blfikl + C44{btkbjl + Ьф]к)>

dijki — difiifibi + {bikbp +

120 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупина и Миндлина

Подставляя эти соотношения в определяющие соотношения

(23) — (26), получим
(45)	a if = cnbifikk +	2^446^ +	d\2Pk,Фц +
(46)	— Ei — aP{,		+ ^44 (РI. i *4* Pi, j) — Yfy/0,
(47)	Eif = dl2bijekk+	2dAieij +	bi2bi}Pkt k + b44 {P}t {+ PitJ) +

+b°bij + b77(Pi, i — Pi, f) — r\bijQ,

(48)S = yekk + r\Pkt k+ (cJT0)0.

Подставляя определяющие соотношения (45) — (48) в урав­ нения (38) — (40) и (43), находим

(49)	C44V2U +	(с12+	С44) grad div u + d44V2P +
			+ [dl2+ d44) grad div P + X =		pii + у grad 0,
(50)	rf44V2u +	{dl2+	d44) grad div u + {b44+ b17)V2P +
+	{b\2 + ^44— b77) grad div P — aP — grad <p +				E° = TJ grad 0,
(61)			-	30V2q> + divP = 0,
(52)	6v29 - CgQ-			(Y div ii + ц div P) TQ= -	W.

Эти уравнения связаны. К значительному упрощению прихо­

дим, если опустить член Y div и + div Р в уравнении тепло­ проводности. Такое упрощение делается в инженерной тео­ рии температурных напряжений. В таком случае уравнение теплопроводности становится не зависящим от остальных уравнений.

Теорему взаимности работ для динамических задач тер­ моупругости диэлектриков получили Дж. Новацкий и Глокнер [39]. Они нашли также функцию Грина в упругом про­ странстве для причин, изменяющихся во времени по гармо­ ническому закону. Нелинейная теория термоупругих диэлек­ триков разработана Чоудхури, Эпштейном и Глокнером [11].

Переходим к стационарной температурной задаче. В этом случае получается система дифференциальных уравнений

(при X = 0, Е° = 0)
(53)	C44V2u + (с12 +	С44) grad div u + d44V2P +
		+ (di2+ ^44) grad div P =	Y grad 0,
(54)	d4iV2u -f (dl2+	d44) grad div u + {b44+ b77) V2P +
(55)	+ (612+ b44— b77) grad div P — aP — grad <p =		T) grad 0,
		— 30V2<p -f div P = 0,
		/zv2fl = — W.