книги / Элементы автоматики и счетно-решающие устройства

новившегося сигнала Xi7 звена от частоты со входного гармониче­

ского сигнала х*_1		при постоянной его амплитуде и изменении ча­
стоты ОТ ---ОО	Д О	4-00.
Обычно при	построении амплитудно-фазовой характеристики

ограничиваются изменением со от 0 до +оо, так как вторая ее по­ ловина (от —оо до 0) получается симметричной.

Представляет интерес найти выражения для передаточных функций различных комбинаций соединений звеньев между собой. Для простоты рассмотрим различные комбинации соединений двух звеньев с передаточными функциями Si(p) и S2(р). хотя получен­

ные результаты, очевидно, могут быть распространены и на боль­

	шее количество звеньев.
	Для последовательного		соединения звеньев (рис.		7. 1,6)
	о / у	_ Х 7{р)_	Х 2 ( р) Х 1(р)	С/7)»	(7.9)
	КР)	Х 0(р)	X t W X o i p )

т. е. передаточная функция для последовательного соединения звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев.

Для параллельного соединения звеньев (рис. 7.1, в)

	о / - у	Х,(р) + Х2(р) _	Х,(р)	*2 (Р)	(z7) Н- *^2{р)у	(7.10)
	КР)	х 0(р)	Х0(р)	х 0(Р)—*^1

т. е. передаточная функция параллельно соединенных звеньев рав­ на сумме передаточных функций отдельных звеньев.

Для соединения звеньев при помощи обратной связи (рис. 7 . 1 ,г)

можно записать

Но в соответствии с только что сформулированными правилами

(P)=S, (р) X (р )= 5 , (р) [ Л ( р ) + х 2(р)] =

= $ 1 (Р)X 0(p)-\-Sl (p)S2 {р) Х 1(р),

откуда

	Хг(р)-	Si(p)	Х 0(р).
		1—Si (p)S2(p)

Следовательно, передаточная функция звена, охваченного об­ ратной связью,

	S(p)-	Si(p)	(7.11)
		l - S i ( p ) S 2( p ) ’

где в общем случае под Si(p) можно понимать произведение пе­

редаточных функций нескольких последовательно включенных звеньев, а под S2 (p) — произведение передаточных функций после­

довательно включенных в цепи обратной связи звеньев. При отри­ цательной обратной связи x ( t ) —xa{t) x2(t) и

S(P) =	Slip)	(7.12)
	\+Sx(p)S2(p)

Найдем амплитудно-фазовые характеристики типовых звеньев, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Рис. 7.2. Амплитудно-фазовые характеристики типовых звеньев

1.Безынерционное звено. Операторная запись уравнения (7. 1):

ХМ - ^ Х ^ р ) .

Следовательно, передаточная функция безынерционного звена

S ( p ) = - ^ T = k [= consi,	(7.13)
Xi—i(P)
а его амплитудно-фазовая характеристика (рис.	7. 2 , а)
$ ( / “) = * ,	(7Л 4)

на комплексной плоскости изображается точкой на действительной оси на расстоянии kt от начала координат, так как в данном слу­

чае 5 ( / о ) не зависит от частоты со входного гармонического сиг­

нала.

2 . Инерционное звено. Операторная запись уравнения (7.2):

{xiP" Ь 1) (р)=	k[Xj _ i (р).
Следовательно, передаточная функция инерционного звена
Xt {p)	kj
S{p)	(7Л5)
Xt-i(p)	ЧР + 1

а его амплитудно-фазовая характеристика

/,.л—

k‘

—M

l —-/*/*»)—

к,

S (уu>)=

1 +

УТ/о>

1 +

(Т/ш)2

1 +

(Т,ш)2

1 -f- (Т,ш)2

Это выражение можно записать несколько иначе через модуль

|S (уш) |=■, / ~ Г— ^ ---- Г + Г

к‘х‘ш

kt

(*<“)2

1

1

л

у

LI + ( T^)2J

+ (*<•«>:')2

V 1 +

и фазовый

угол

£/Т/со

<? =

arctg

1 4- fT*to)2

arctg ( —rf<o) = — arctg T Z«O .

---------------LJ-J- =

ki

] +

(Т,<о)2

Тогда

ki

e~;arctgT.o)

S (уш)-

(7.16)

У 1 +

(Т/ш)2

При изменении w

о т

0

д о

o o

модуль амплитудно-фазовой харак­

теристики

изменяется

(рис.

7.2, б)

от

до 0,

а фазовый

угол —

It

Следовательно,

на комплексной плоскости

ампли­

от 0 до — —

тудно-фазовая

характеристика

инерционного

звена

изобразится

в виде полуокружности с радиусом &,•/2. Инерционное звено, как видно, создает отставание по фазе (запаздывание) выходного сиг*

нала по отношению к входному, тем большее ^вплоть до —

чем	больше частота со входного сигнала.
3.	Дифференцирующее звено. Операторная запись уравнения

(7. 3):

СПР+ 1 ) x i (Р) = kiPx i-i (AO-

Следов ательно, передаточная функция дифференцирующего звена

Х ( ( р )	„	k [
S ( P ) -
Xi-i(p)		x i P + 1

а его амплитудно-фазовая характеристика аналогично щему случаю

k i	kjto	_	Уarctg	---
				т /а )
5 (у<*>) = / “ 1 + ут,(0	Y 1 + (Т,-<о)2	£		*

(7.17)

предыду­

(7.18)

При изменении ш о т 0 д о о о модуль амплитудно-фазовой харак­ теристики изменяется (рис. 7. 2, в) от 0 до Ыхи а фазовый угол —

от ~ до 0. Следовательно, на комплексной плоскости амплитудно­

фазовая характеристика дифференцирующего звена изобразится

При т,^>— передаточная функция идеального интегрирующего

звена

S ( /? ) « — =	- ^ ,	(7.23)
х,р	р
где kt —— , а его амплитудно-фазовая		характеристика
JU,		(7.24)
изобразится (пунктир на рис. 7.2, г)	вертикальной прямой, совпа­

дающей с отрицательной полуосью комплексной плоскости. Такое

звено	будет создавать на всех частотах постоянное отставание по
,	п
фазе,	равное-----— .выходного сигнала по отношению к входному.
При	о)-~0 модуль |S (/c o )|— оо, а при to— оо к нулю. Следова­

тельно, при больших частотах абсолютная величина выходного сиг­ нала резко падает.

7.1.3. Логарифмические частотные характеристики типовых звеньев

Амплитудно-фазовую характеристику можно представить в виде

5(уш)=Ж (ш) е> ^

или

In 5 (уо>) = In М (а>)- f уср (и>),

где М(а>) — модуль, а	<р(со)— фазовый	угол.
In М (со) называется	логарифмической амплитудно-частотной
характеристикой (ЛАХ) .		фазовой характеристикой
ср (со) называется логарифмической

(ЛФХ).

Использование логарифмических характеристик при инженер­ ных расчетах часто оказывается удобнее, так как позволяет изба­ виться от многочисленных расчетов (для большого количества частот) и заменять операции умножения сложением. Кроме того, упрощается само построение характеристик, так как при логариф­ мировании кривизна характеристик сильно растет и их можно аппроксимировать в виде отрезков прямой линии, что значительно упрощает синтез автоматических систем, т. е. подбор нужных звень­ ев по желаемой форме результирующей характеристики.

Практически в качестве ЛАХ вместо 1пМ(со) принимают ве­ личину, ей пропорциональную А (со) [<?б]=20 lgM(co), где коэффи­ циент 20 вводится для получения усиления в децибелах.

Соотношение между М(со) и А (со) дано в табл. 7. 1.

М(ш)

0,01

0,1

0,2

1

1,12

2,0

10

100

1000

Л{о)) дб

•

—40

—20

—6,0

0

1,0

'6,0

20

40

60

Из этой таблицы следует характерное свойство ЛАХ: Л(со)=0

при коэффициенте

передачи,

равном единице; Л (са)>0 при

коэф­

фициенте передачи

боль­

АШ дб

ше

единицы

и

Л (о))<0

30

при

коэффициенте

пере­

дачи меньше единицы (со­

го

АМ

ответствует

ослаблению

\____

сигнала).

При

построении

ЛАХ

<р(ш)

и ЛФХ

частоту

со

откла­

дывают

по

оси

абсцисс

0J

0%1

0,ь

в логарифмическом

мас­

10 0)1/С&Г

штабе,

начиная отсчет не

-1 0 -

от 0, а от некоторого ма­

-Z0

лого

значения

со

(0,1

-<рм°

или 0,01 рад/сек), так как

Рис. 7.3.

Логарифмические

характеристики

при

со = 0 по

оси

абсцисс

нужно было бы отложить

безынерционного

звена

отрезок

20 lg со = 20 lg 0 =

= —оо,

что

невозможно.

При построении графиков используют также следующее свойство логарифмической шкалы:

lg2u> — lgco= lg2-flga> — lgio= lg2 = 0,3,

т. е. интервал частот от в до 2 о иногда называемый октавой, со­

ответствует отрезку на оси абсцисс, приблизительно равному 0,3; lglOco— lg <o=lgl0 + lg°>— lgco=lgl0=l,

т. e. интервал частот от со до Юсо, иногда называемый декадой, со­

ответствует отрезку на оси абсцисс длиной 1.

Простейшими логарифмическими характеристиками обладает безынерционное звено, не обладающее инерционностью, т. е. не соз­

дающее	фазового сдвига		(рис. 7.3):
Д(со)=20 lg £ i= con st			(прямая,	параллельная оси абсцисс),
	<р(со)=0 (прямая, совпадающая с осью абсцисс).
Для	инерционного	звена из		(7. 16) следует, что
А (со)=	20 lg - у *	= 20 lg kt -		20 lg 1/1 +(т,со)2= Л, (о) + А2 (<«),

У1 + (Т,<о)2

ср(со)=з — arctgTjco.

Здесь ЛДсо) (рис. 7.4) — прямая,	параллельная оси абсцисс, а
А2( со) кривая с сильной кривизной,	поэтому ее легко можно приб-

лиженно заменить отрезками прямой линии. В самом				деле, при
« 1	Аа («о)= -	20 lg У Т Т М 2« -	20 lg 1 = 0 , т. е.	при	и><-^-
можно	считать,	что А2(<о) является	прямой, совпадающей		с осью

абсцисс;

при

т,(о> 1 А 2 (ш) = - 20 lg V l + (т,®)»ж - 20 lg т,«,

Рис. 7.4. Логарифмические характеристики инер­ ционного звена

т. е. при со> — можно считать, что Аг((о) является прямой с отрицательным наклоном, равным для изменения частоты на декаду

(в десять	раз) —
-	20 lg 10т,ш - ( - 20 lg t /(o)= —20 lg 1 0 = - 20 ~J6.

Результирующая ЛАХ (рис. 7.4) определяется суммированием А, (со) и А2(со) и называется асимптотической ЛАХ А (со). Для ее

построения не нужно вычислять значения подкоренного выражения в функции частоты. Достаточно определить частоту

называемую обычно сопряженной частотой. Это значительно упро­ щает все расчеты, связанные с использованием логарифмических характеристик.

Построение точной Л АХ Ат(ш) можно выполнить путем учета ошибки, получающейся при построении асимптотической ЛАХ. Очевидно, что наибольшая ошибка от пренебрежения членом (ti(o)2 в подкоренном выражении при определении асимптотической ЛАХ получается на сопряженной частоте о)с и равна

- 20 lg У 1 + К т ,)2 =	- 20 lg ]/2 = -	10 lg 2 ж -	3	дб.
Отметив эту точку (рис.	7 .4), следует	провести	из	нее ветви

точной ЛАХ, стремящиеся к двум участкам асимптотической ха­ рактеристики при (о— 0 и (о— оо. Для получения большей точно­ сти можно воспользоваться двумя дополнительными точками на расстоянии ± 1 октава от сопряженной частоты, для которых ошиб­ ка равна — 1 дб. Обычно при построении точных ЛАХ пользуются специальными шаблонами.

ЛФХ строится непосредственно (обычно по шаблонам), причем очевидно, что при (ис= Т—/

<Р(шс) = — arctg 1 = —45°.

Коэффициент		передачи звена		1		до	критической		частоты
£о = о>кр,	легко определяемой из			условия		А((о,ф)= 0 :
Для дифференцирующего звена из (7.18) находим, что
	o(<o) =	arctg ——	и при ш= —				<?(ш)=45°,
		Т,<1)		т/
А («>)=20 lg k, +		20 lg ш-	20 lg V	l + M	2=		Ai («■>)•+ A3(<D) +		A2(«.).
Форму Лi (со)		и Л2(со)	мы уже знаем			(рис.		7 .4 ) — это	состав-
ляющие'характеристики инерционного					звена.			А3 (со) = 2 0 lg© есть
прямая,	проходящая через точку со=1				на оси			абсцисс с	положи­
тельным	наклоном в 20		дб/дек	(рис.	7.5).

Соответственно для идеального дифференцирующего звена i (7.20) находим, что

<р((о) = -|--5— прямая, параллельная оси абсцисс, A (u>)=201g£/+

-|-201go»=A ,(«) + A3(«).

Рис. 7. 5. Логарифмические характеристики дифференцирующего звена

Суммарная ЛАХ является прямой с положительным наклоном в 20 дб/дек (рис. 7. 6, а), пересекающей ось абсцисс при со = 1/А Аналогичные по форме логарифмические характеристики

(рис. 7.6, б) имеет идеальное интегрирующее звено:

ср (ш) = — 5— прямая параллельная оси абсцисс, A ((o)=201g£,—

—	20Igw =	Ai(u))— A3(u>) — прямая с	отрицательным наклоном в
20	дб1дек,	пересекающая ось абсцисс	при и>=А(..

7.2. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Выше уже указывалось, что для оценки устойчивости сложных систем необходимы какие-то косвенные методы, позволяющие судить об устойчивости системы без решения ее дифференциально­ го уравнения и нахождения корней характеристического уравне-

ния. К таким косвенным методам относится использование раз­ личных критериев устойчивости, наиболее распространенные из которых рассматриваются ниже. Все критерии устойчивости ис­ пользуют единое, отмеченное уже в гл. VI, положение о том, что

Рис. 7.6. Логарифмические характеристики идеального дифференци­ рующего (а) и интегрирующего (б) звеньев

у устойчивой системы действительные части всех корней характе­ ристического уравнения отрицательны. Каждый критерий разным путем позволяет устанавливать выполнение этого положения, т. е. определять, устойчива или нет система.

7. 2.1. Критерий устойчивости Гурвица

Одним из наиболее ранних критериев является критерий устой­ чивости Гурвица, позволяющий судить об устойчивости системы любого порядка по соотношениям между коэффициентами ее ха­ рактеристического уравнения.

Критерий устойчивости Гурвица для системы я-го порядка, имеющей характеристическое уравнение

а<>рл+ а 1рПг-1-\-а2РЯг* + . • • + a„-iP + an= 0 ,

формулируется следующим образом.

Для устойчивости системы п-го порядка необходимо и доста­ точно выполнения п неравенств:

а\ > 0;

ага0 > 0; а^а2

аха00

> о

#6^4^'3