книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1
.pdf5 6. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
231 |
путем дифференцирования по параметру следующую формулу:
|
I TTjSiii = г 1п <> + л) - |
lir f a p |
|
||
|
О |
ъ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3733. |
Исходя из равенства J |
= |
^ arctg * , |
вычислить |
|
|
ь |
0 |
|
|
|
интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
+00 |
|
|
+ 00 |
3734. Исходя из равенства |
Ц |
- вычислить |
| |
||
(я — целое |
положительное число). |
+ оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3735. Вычислить значение |
интеграла |
$ |
е~аххп~1 dx |
(л — целое |
|
|
|
|
о |
|
+«> |
|
|
|
|
|
положительное число) при а>>О, найдя предварительно J e~axdx.
о
3736*. Исходя из равенства (см. задачу 2318)
п/2
dx
a2 cos2 х + Ь 2 sin- JC 2 \ab[ ’
J
найти
Я/2
dx
(а2 cos2 x -f-b2 sin2 х)2 '
В задачах 3737— 3749 вычислить интегралы с помощью диф ференцирования по параметру:
3737. |
+r°° 1 |
, |
3738. |
Y |
l - e ~ ax2 , |
( а > - 1), |
| Ц ^ - d |
* ( а > — 1). |
J |
^ - - d x |
|||
3739. |
СJIp ^ L d x . |
3740. |
Г |
In (1 — a2x2) |
dx (а2 < 1 ) . |
|
|
|
|
|
^ |
x2 j / l - x 2 |
|
о’
3741 |
|°° arctg ах . |
3742. f |
ln 0 |
^ (a2 < i ) . |
|
J74K |
] |
х\1+Щ аК- |
J |
\ 1—X2 |
|
3 7 4 3 . f In (1 + a c o s x ) ^ |
(a * < i ) . |
|
|
||
|
J |
COS X |
v |
|
|
я/2
0
232 ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
|
+ оо |
~ах* |
|
|
|
. — |
_ |
||
3745. |
|
j|* |
|
|
(а>0), |
|
н- со |
j/"-£ |
|
|
— dx |
зная, что | e~°x,dx = j |
|||||||
( а > 0 ) (см. задачу |
2439). |
|
|
|
|
||||
|
|
+°° |
• |
х% |
dx |
( а > 0 , |
& > 0 ). |
|
|
3746*. |
^ |
-е |
|
||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+<» |
„ г sin bx — sin сх . |
, ^ |
л . |
|
|||
3747*. |
\ |
|
|||||||
<га* -------------- ал: |
(а > |
0). |
|
||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
+<0О |
v cos b x — cos с х |
, |
, ^ |
лч |
|
|||
3748. |
|
* |
|
||||||
|
J е-ал----------------- dx |
(a> V ). |
|
||||||
|
|
Я/2 |
|
|
|
|
|
|
|
3749*. |
jj In (a2 cos2 JC -f- b* sin2x) dx. |
|
3750. Вычислив интеграл ^ arc\gXgx)-dx, найти i ^-d*.
'°i |
0 6 * |
3751. Используя равенство ^ xndx = |
вычислить интеграл |
Y ^ fix
0
|
|
|
|
|
+ co |
|
_ |
3752. |
Используя |
равенство |
2a |
$ е~а‘х‘ dx = ]/ л (см. задачу |
|||
|
|
|
+ 00 |
|
о |
|
|
|
|
|
(e~a,>x‘ —e~b^xl)dx. |
||||
2439), вычислить интеграл § |
|||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
- 4 - 0 0 |
|
У я |
|
|
3753. |
Из соотношения |
I* |
|
|
|||
\ e~ztdz = ~ |
(интеграл Пуассона) вы- |
||||||
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
+ со |
|
|
|
|
|
(* |
|
( х > 0 ) |
и использовать его |
|||
вести равенство |
— |
\ е~г*х dz |
|||||
|
ух |
ул |
£ |
|
|
|
|
для вычисления интегралов (интегралы дифракции или Френеля):
. |
- j со |
_ |
+ |
со |
|
|
1* |
cos х dx |
|
sin х dx |
|
||
|
J ~ у г |
' |
|
} y* |
|
|
|
|
|
|
|
Р а з н ы е з а д а ч и |
|
3754. |
Пусть |
функция /(х) непрерывна |
при x^s-О и при х-*- |
|||
- * + |
оо |
f(x) стремится |
к конечному пределу |
/ (+ о о ). Доказать |
|
|
|
|
§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
|
|
|
233 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ со |
|
|
|
|
при этих |
условиях, |
что если а > 0 |
и b > 0 , то J |
^ х ^<bx) dx = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
= [/ (+ СЮ)- / ( 0 ) ] Inf - . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В |
задачах |
3755—3756 вычислить интегралы, пользуясь резуль |
||||||||||||||
татом |
задачи |
3754: |
|
|
|
|
|
|
-f 00 |
|
|
|
|
|||
|
+ 00 |
arctg a x ^ |
arctg&* . |
|
оя,_ л |
|
|
y |
л |
|||||||
Q. r . |
(* |
|
I |
(• е ш-пхП— егЬхП л |
||||||||||||
3755. |
\ |
— =----------- =— |
dx. |
3756. |
-------- ^ — |
|
dx |
( n > |
0). |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+00 |
|
|
3757*. Пусть функция f(x) непрерывна при o O |
|
и |
^ f-^'dx |
|||||||||||||
сходится |
при |
любом |
A > 0. |
Доказать |
|
|
|
A |
что |
|||||||
при этих условиях, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ аО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
а > 0 |
и |
6 > 0 , |
то |
I |
|
х |
f ^bx) dx = /(0) In --. |
|
(Ср. с зада- |
||||||
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
О- |
|
|
|
|
|
чей 3754.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зультатом |
задачи 3757 |
(а~>0, |
6 > 0): |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
-f-co |
/,-ПХ_р-ОХ |
|
|
|
|
+ 00 |
|
|
|
|
|
||||
3758. |
/• |
|
3759. |
С cos а х — cos Ьх dx. |
|
|
||||||||||
\ |
|
|
dx. |
|
|
|||||||||||
|
|
« |
|
* |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
-|-00 |
|
|
|
|
|
|
3760. |
|
&mbxdx. |
3761. |
f |
b sin а х — a sin Ьх |
dx. |
|
|
||||||||
|
|
& |
|
|
|
|||||||||||
|
|
V |
|
х |
|
|
|
|
|
Ju |
|
|
|
|
|
|
3762*. |
+f |
^ ~ d x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3763*. Функция |
Лапласа |
Ф (х) |
определяется |
так: |
Ф (х) = |
|||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2('
=—— 1 е~11 dt (эта функция играет большую роль в теории веро-
ятностей). Доказать |
соотношения: |
-f-oo |
|
|
||
X |
|
4 4 |
|
|
||
1) jjo (a 2 )d 2 = ^ y ^ - + x0(ax)i |
2) j |
[ 1 - Ф (x)]dx = |
^ - . |
|||
3764*. Функции |
si (х) и ci (х) обычно определяются |
так: |
|
|||
+ оо |
_ |
|
|
|
-) га |
|
si(x) = — |
^ j- d t |
(«интегральный синус») |
н ci(x) = — |
jj |
dt |
|
X |
|
|
|
|
X |
|
(«интегральный косинус»). Доказать, что
234 ГЛ. XII, МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3765*. Функция |
|
J о(х), |
определяемая равенством |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
о(*) |
|
л/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
- |
i |
cos (л:sin 0)d0, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
называется функцией Бесселя |
нулевого |
порядка. Доказать, что: |
|||||||||||
+ со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
С |
|
|
= V \+t |
(а > |
0); |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
л/2, |
|
если |
a s ^ l; |
|
|||
2) Т |
= |
|
|
|
arcsina, |
если |
| a| ^ 1; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
— л/2, |
если |
a s c — 1. |
|
||||
3766. |
Доказать, |
|
что |
функция |
|
+С« |
e~xz |
|
|||||
|
У = |
\ |
jq ^ -a z удовлетворяет |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
дифференциальному |
|
уравнению |
«/" + «/= 1/х. |
|
|||||||||
3767*. Доказать, |
|
что |
функция |
у = |
^ (гг — 1)п~геж* dz |
удовлет- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—I |
|
|
|
воряат дифференциальному уравнению ху" + 2пу' — ху = 0. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4-00 |
|
|
3768*. Доказать, |
|
что |
|
функция |
|
t/= |
\ |
удовлетво |
|||||
ряет дифференциальному |
уравнению дц/" — 2ш/' +дс«/= 1. |
|
|||||||||||
3769*. |
Доказать, |
что |
функция |
Бесселя нулевого |
порядка2 |
||||||||
J 0(x) = |
2 Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
--- \ cos (A sin О) d0 удовлетворяет дифференциальному урав |
|||||||||||||
нению |
Jo |
(х) + |
-)- У0 (дс) = О |
|
|
|
|
|
|
ГЛАВА XIII
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. Криволинейные интегралы по длине
В ы ч и с л е н и е и н т е г р а л о в
Взадачах 3770—3775 вычислить криволинейные интегралы:
|
3770. |
^ х—у * |
где |
|
отрезок прямой у = у х — 2, заключен |
|||||||
ный между точками А (0, |
— 2) и В (4, |
0). |
|
|
|
|
||||||
|
3771. $xyds, |
где |
L — контур |
прямоугольника с |
вершинами |
|||||||
А (0 .0 ) . |
В (4, 0), С (4, 2) и D (0, 2). |
|
|
|
|
|
||||||
|
3772. ^yds, |
где L —дуга параболы уг= 2рх, |
отсеченная пара* |
|||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
болой х2= 2ру. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3773. |
$ (х2+ у2)п ds, |
где |
L —окружность |
х = a cos t, |
у = а sin t. |
||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
X* |
|
£/* |
|
|
3774. |
С |
|
где L —четверть |
эллипса |
|
|
|||||
|
1 xy ds, |
+ -p = 1, лежащая |
||||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
первом |
квадранте. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3775. |
\Y%yds, где |
L —первая |
арка |
циклоиды |
x = a ( t —sin/), |
||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у = а { 1 — cos t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3776., Вывести |
формулу для вычисления |
интеграла ^ F ( JC, y)ds |
|||||||||
в |
полярных |
координатах, |
если |
линия L |
задана |
уравнением |
||||||
Р = Р(ф) (Ф1<Ф<Ф*)- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3777*. Вычислить £(x — y)ds, где L — окружность х2+ у 2= а х . |
|||||||||||
|
3778. |
Вычислить $ х Y х2 — у2 ds, |
где L —линия, |
заданная урав- |
||||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
лемнискаты). |
||
нением (х2+ у2)2 = а2 (х2 — у2) (x^sO) (половина |
||||||||||||
|
3779. |
Вычислить j |
arctg ^ ds, где L — часть спирали Архимеда |
р = 2ф , заключенная внутри круга радиуса R с центром в начале координат (в полюсе).
236 |
|
ГЛ. X III, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
где L —первый виток вин |
||||
товой линии х= |
a co st, |
y = as\nt, г = а |
|
|
|
|
|
|||
3781. |
Вычислить $хуг ds, где L —четверть окружности х2+ у2+ |
|||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
-f г2 = Л2, x2 + y2 = R2/4, лежащая в |
первом октанте. |
|
|
|
||||||
3782. |
Вычислить $ (2г — V х2+ у2) ds, |
где L —первый |
виток ко- |
|||||||
пической |
|
L |
|
|
y = tsin t, z = t. |
|
|
|
||
винтовой линии x = tcost, |
|
|
|
|||||||
3783. |
Вычислить $ (х + у) ds, |
где |
L —четверть |
окружности |
||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2+ y 2 + z2 = R2, у = х, |
лежащая |
в первом октанте. |
|
|
|
|||||
|
|
П р и м е н е н и я и н т е г р а л о в |
|
|
|
|
||||
3784. |
Найти |
массу |
участка |
линии |
у = \пх |
между |
точками |
|||
с абсциссами л'х и хг, если плотность линии в каждой |
точке равна |
|||||||||
квадрату |
абсциссы точки. |
|
|
|
|
|
|
|
||
3 7 8 5 . |
Найти |
массу |
участка |
цепной |
линии |
y = ach -~ |
между |
|||
точками |
с абсциссами |
—0 и х2 = а, если |
плотность |
линии |
в каждой ее точке обратно пропорциональна ординате точки,
причем плотность в точке (0, а) равна б. |
|
|
|
||||||
3786. Найти |
массу четверти |
эллипса x = a c o st, |
y = b sin t, рас |
||||||
положенной в первом |
квадранте, |
если |
плотность |
в каждой |
точке |
||||
равна ординате |
этой |
точки. |
|
|
|
|
|
|
|
3787. |
Найти |
массу первого |
витка |
винтовой |
линии х = a c o st, |
||||
y = asin t, |
z = bt, плотность которой в |
каждой |
точке равна |
квад |
|||||
рату полярного радиуса этой точки. |
|
|
|
|
|||||
3788. |
Найти |
массу дуги линии x — J c o s t , y = et sint, z = e‘ от |
|||||||
точки, соответствующей t = 0, до |
произвольной |
точки, если |
плот |
ность дуги обратно пропорциональна квадрату полярного радиуса и в точке (1, 0, 1) равна единице.
3789. Найти координаты центра масс первого полувитка винто вой линии x = a co st, у —a sin t, z = bt, считая плотность постоян ной.
3790. Вычислить статический момент первого витка кониче ской винтовой линии x = tcost, y = ts\nt, z = t относительно пло скости Оху, считая плотность пропорциональной квадрату рас
стояния от этой плоскости: р = kz2.
3791. Вычислить моменты инерции первого витка ВИНТОВОЙ ЛИ
Н И И x = a co st, y = asin t, z — - ^ t относительно координатных осей.
5 I. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО ДЛИНЕ |
237 |
В задачах 3792—3797 вычислить площади частей цилиндри ческих поверхностей, заключенных между плоскостью Оху и ука занными поверхностями:
3792. |
x2+ y 2 = R2, |
z = R + ~ . |
|
||
3793. |
у2 = 2рх, |
г = У 2рх — Ах2. |
|
||
3794. |
у2 = ± ( х - 1 ) а; |
2 = 2 - У х . |
|
||
3795. |
x2 + y2 = |
R2, |
2Rz = xy. |
|
|
3796. |
+ |
|
z = kx и 2= 0 |
(z^O ) («цилиндрическая |
|
подкова»). |
|
|
|
|
|
3797. |
у = У 2рх, |
г = у и х = -д р. |
|
||
3798. |
Вычислить площадь поверхности, которую вырезает из |
||||
круглого |
цилиндра радиуса R такой же цилиндр, если оси этих |
||||
цилиндров пересекаются |
под прямым |
углом (ср. с решением за |
дачи 3642).
3799. Найти площадь части поверхности цилиндра х2+ у2= Rx,
заключенной внутри сферы х2-\- t/>+ z2 = R2. |
|
|
|
||||
Согласно |
закону |
Био — Савара |
элемент |
тока |
действует |
на |
|
магнитную |
массу т с |
силой, |
равной |
по величине |
т- ™ a *4t |
где |
|
/ — ток, ds—элемент |
длины |
проводника, г — расстояние от |
эле |
||||
мента тока |
до магнитной массы, а — угол |
между |
направлением |
прямой, соединяющей магнитную массу и элемент тока, и напра влением самого элемента тока. Эта сила направлена по нормали к плоскости, содержащей элемент тока и точку, в которую поме щена магнитная масса; направление силы устанавливается прави лом «буравчика». Опираясь на этот закон, решить задачи 3800— 3805.
3800. Найти силу, с которой ток / в бесконечном прямоли нейном проводнике действует на точечную магнитную массу т, находящуюся на расстоянии а от проводника.
3801. По контуру, имеющему форму квадрата со стороной а, течет ток /. С какой силой этот ток действует на точечную маг нитную массу т, находящуюся в центре квадрата?
3802. Показать, что ток /, текущий по дуге линии, уравнение которой в полярных координатах имеет вид р = р (ср), действует
на точечную магнитную массу, находящуюся в полюсе, с силой Ф2
<PI
3803. С какой силой ток /, текущий по замкнутому эллипти ческому контуру, действует на точечную магнитную массу т , находящуюся в фокусе эллипса?
234 ГЛ. XIII, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3804. С какой силой ток /, текущий по бесконечному парабо лическому контуру, действует на точечную магнитную массу т, помещенную в фокусе параболы? Расстояние от вершины до фо куса равно р/2.
3805. С какой силой ток /, текущий по круговому контуру радиуса R, действует на точечную магнитную массу т, помещен ную в точку Р, лежащую на перпендикуляре, восставленном в центре круга, на расстоянии h от плоскости круга? При каком
значении |
R эта сила будет наибольшей при заданном А? |
||
|
§ 2. Криволинейные интегралы по координатам |
||
|
В ы ч и с л е н и е и н т е г р а л о в |
|
|
В задачах 3806— 3821 |
вычислить криволинейные |
интегралы: |
|
3806. |
^xdy, где L — контур треугольника, образованного осями |
||
|
L |
|
|
координат и прямой -|- + |
-|-=1, в положительном |
направлении |
(т. е. против движения часовой стрелки).
3807. 1 xdy, где L — отрезок прямой — + у = 1 от точки пе-
с
ресечения ее с осью абсцисс до точки пересечения ее с осью ординат.
3808. |
[(х2 — уг)йх, где L —дуга параболы у = х г от точки (0, 0) |
||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
до точки (2, 4). |
|
|
|
|
|
|
|||
3809. |
^ (хг -j- г/2) dy, где |
L — контур |
четырехугольника |
с |
верши- |
||||
нами (указанными в порядке обхода) |
в точках |
А (0, 0), |
В (2, 0),1 |
||||||
С (4, 4) |
и D (0, 4). |
|
|
|
|
|
|
||
|
(я. 2я) |
|
|
|
|
|
|
||
3810. |
|
J |
— х cos у dx-\-у sin xdy |
вдоль |
отрезка, |
соединяю- |
|||
|
<0. 0) |
|
|
|
|
|
|
||
щего точки (0, 0) и (я, 2я). |
|
|
|
|
|
||||
|
о. 1) |
xydx + (y —x)dy вдоль |
|
|
у = х, |
2) у = ха, |
|||
3811. |
^ |
линии |
1) |
||||||
|
(0.0) |
у = х?. |
|
|
|
|
|
|
|
3) у2= х , |
4) |
|
|
|
|
|
|
||
|
0 . |
I) |
2ху d x хг dy |
|
|
|
у = х, |
|
у = х\ |
3812. |
$ |
вдоль линии |
1) |
2) |
|||||
|
(0.0) |
|
|
|
|
|
|
|
3)у = х3, 4) у2 = х.
3813. ^ydx-\-xdy, |
где |
L — четверть окружности x — R c o st, |
L |
|
|
у = R sin t от ti = 0 до |
= я/2. |
|
3814. ^ydx—xdy, |
где |
L —эллине x = a c o s t , y=^bsint, пробе- |
1. |
|
|
гаемый в положительном направлений.
|
§ 2. криволинейные интегралы по координатам |
239 |
||||||||||||||
401 с |
f |
t fid x — ifld y |
где |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
|
\ — W +y5— ' |
/- — полуокружность |
х = a cos г, у = |
|||||||||||||
= asin< |
от |
|
— 0 до t2 = n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3816. |
J (2a — у) dx —(а — у) dy, |
где |
L — первая |
(от |
начала |
коор |
||||||||||
динат) арка |
циклоиды x = a(t —sin/), y = a ( l —cost). |
|
|
|||||||||||||
3817’ |
5 ^з_|_у5/з* ■ где |
/- — четверть |
астроиды |
|
х = R cos3/, |
|||||||||||
y = Rsin3t |
от точки (R, 0) до |
точки |
(О, |
R). |
|
|
|
|
|
|||||||
381S. \ x d x + у dy + (x-\-у — l)dz, |
где |
L —отрезок |
прямой от |
|||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки (1, 1, 1) дв точки (2, 3, 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3819. \yzdx-\-zxdy-\-xydz, |
где |
L —дуга |
винтовой |
линии |
||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = R c o st, |
y = R s'm t, |
г = ~ |
от точки |
пересечения |
линии с пло |
|||||||||||
скостью |
z = 0 до |
точки |
ее пересечения |
с |
плоскостью |
г = а. |
|
|||||||||
|
( 4 . |
4 . |
4 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3820. |
|
С |
у |
- |
у |
- |
|
_ |
вдоль прямой |
линии. |
|
|||||
|
(I. Г .,) У * 2 + у 2 + |
* - |
х - |
у + |
Ъ |
А |
|
н |
|
|
|
|
|
|||
3821. \у* d x z 2dy + х2 dz, |
где |
L — линия пересечения |
сферы |
|||||||||||||
|
L |
|
R* и цилиндра x* + y2 = Rx ( R > 0 ,2 ^ 0 ) , |
|
|
|||||||||||
^* + ?/8 + г# = |
обходимая |
при интегрировании против часовой стрелки, если смотреть из начала координат.
Ф о р м у л а Г р и н а
В задачах 3822— 3823 криволинейные интегралы по замкнутым контурам L, взятые в положительном направлении, преобразо вать в двойные интегралы по областям, ограниченным этими контурами.
3822. \ (l- x * )y d x + x (l+ y *)d y . L
3823. 5(e*, + 2^cos{/)djc -f(e *5' — х* sin у) dy.
|
L |
|
3824. Вычислить двумя способами интеграл задачи 3822, если |
||
контуром |
интегрирования L служит окружность х* + у* = /?г: |
|
1) непосредственно, 2) с помощью формулы Грина. |
||
3825. |
Вычислить $ (ху- f х + у) dx + (ху-\-х —у) dy, где L: 1) эл- |
|
|
|
L |
липе ~ |
- f |
= 1; 2) окружность х24-</* = ах. Интегрирование |
ведется в положительном направлении. (Вычисление провести двумя способами: 1) непосредственно, 2) с помощью формулы
Грина.)
240 |
|
ГЛ. XIII, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
|||
3826. Доказать, |
что |
интеграл |
|||
|
|
5 (Ух3+ еу) dx + (ху3+ хеу — 2у) dy |
|||
|
|
L |
|
|
|
равен |
нулю, |
если |
L —замкнутая линия, симметричная относи |
||
тельно |
начала |
координат. |
|
||
3827. С помощью формулы Грина вычислить разность между |
|||||
интегралами |
|
|
|
|
|
|
|
h = |
J |
(х + у)2 dx — (х — у)2 dy |
|
И |
|
|
Ат В |
|
|
|
/2= |
|
(x + y)2d x - ( x - y ) 2dy, |
||
|
|
$ |
|||
|
|
|
АпВ |
|
где АтВ —отрезок прямой, соединяющей точки А (0, 0) и В( 1, 1), а АпВ —дуга параболы у — х2.
3828. Показать, что интеграл
$ {x co s (N, х) + у sin (N , х)} ds,
L
где (N, х) —угол между внешней нормалью к линии и положи тельным направлением оси абсцисс, взятый по замкнутому кон туру L в положительном направлении, равен удвоенной площади фигуры, ограниченной контуром L.
3829. Доказать, что величина интеграла \(2xy — y)dx + x2dy,
L
где L —замкнутый контур, равна площади области, ограниченной этим контуром.
3830. Доказать, что интеграл $<p(i/)dx-f [*<p' (y) + x3]dy равен
L
утроенному моменту инерции однородной плоской фигуры, огра ниченной контуром L, относительно оси ординат.
Н е з а в и с и м о с т ь и н т е г р а л а о т к о н т у р а и н т е г р и р о в а н и я . . О т ы с к а н и е п е р в о о б р а з н о й
В задачах 3831—3835 проверить, что интегралы, взятые по
замкнутым |
контурам, равны |
нулю независимо от вида функций, |
|
входящих |
в подынтегральное |
выражение. |
’ |
3831. 5<p(x)dx + tli(0)d 0. |
3832. \f(xy) (ydx + x d y ). |
|
|
3833. |
|
|
|
3834. \[f (x + у) f (x — y)\dx-j-[f(x-{-y)—f(x — y)\dy.