книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1
.pdf§ 2. БЕСКОНЕЧНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ |
SI |
215.Доказать, что если предел функции f(x) при х->-оо ра
вен а, |
то f(x) |
можно |
представить |
в |
виде суммы f (x) = а + ф(х), |
||||||
где ф(х) бесконечно мала при х-»-оо. |
|
|
|
|
|||||||
Представить в виде такой суммы следующие функции: |
|||||||||||
|\ |
х3 . |
0. |
|
ха |
0. |
|
1—ха |
|
|
|
|
1) |
У - хз— 1» |
2) |
У - 2хъ+\' |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и з н а к и с у щ е с т в о в а н и я п р е д е л а |
||||||||||
216*. Функция н„ принимает значения |
|
|
|
||||||||
|
1 |
1 |
, |
1 |
|
1 |
, |
1 |
, |
, |
1 |
« 1— 4 , “2— 4 -Г jo* ••• > «л — з |
^_1 |
+ |
32^.1 + |
+ |
зл_^11 |
||||||
Доказать, что ип стремится к некоторому |
пределу при п -+ аа. |
217.Функция и„ принимает значения
1 |
_ |
1 , 1 |
1 , |
1 |
, |
I |
|
|
Ml— 2 » |
иъ — 2 |
*“ 2 •4 * |
Ua~ 2**" 2 . 4 ' “ 2 - 4 - 6' '*' |
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
, 1 , |
, |
1 |
|
|
|
|
**•' U n~ |
2 |
2 - 4 |
|
........ 2n ’ * * * |
Доказать, |
что |
ип стремится к некоторому |
пределу |
при п-*- оо. |
218. Доказать теорему:
Если разность между двумя функциями при одном и том же изменении независимой переменной бесконечно мала, причем одна
из функций возрастает, другая убывает, то обе стремятся к одному
итому же пределу.
219.Даны два числа и0 и и0 («о<Уо). Члены последователь-
ностей ип и v„ задаются формулами
.. |
Мо+й) .. |
«о + 2г)о. |
|
"i + "i - |
“1+ 2^1. |
Ы1= —— • |
>- |
«а— —2— > — з * |
|||
вообще |
|
|
|
|
|
|
ы„ = |
Un-1 + Vn-l |
Vn— |
5 ~ • |
|
|
|
2 |
|
|
|
Доказать иа основе теоремы, приведенной в предыдущей зада че, что обе последовательности и„ и и„ стремятся к одному и тому же пределу, заключенному между «о и и0-
220.Дана последовательность чисел ип:
Hi = ] / б , Но == ] / б + « 1, . . . , Un = К б + « л -1 , ■■■
Доказать, что эта последовательность имеет предел, и найти его.
32 |
ГЛ. II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ |
§3. Непрерывные функции
221.Функция у определена следующим образом:
у = 0 |
при х < 0; |
|
у = х |
при |
1; |
у = — х2 + 4 х ~ 2 |
при |
1 = ^ х < 3 ; |
у = 4 — х |
при х Э гЗ . |
Будет ли эта функция непрерывной?
222. Три цилиндра, радиусы оснований которых соответственно равны 3, 2 и 1 м, а высоты одинаковы и равны 5 м, поставлены друг на друга. Выразить площадь поперечного сечения получив шегося тела как функцию расстояния сечения от нижнего осно вания нижнего цилиндра. Будет ли эта функция непрерывной? Построить ее график.
223. Пусть
х + 1, если д ж 1;
{3 — ах\ е с л и х > 1.
При каком выборе числа а функция f(x) будет непрерывной? (Построить ее график.)
224.Пусть
— 2 sin*, |
если Ж — я/2; |
|
Л sinx + fl, |
если |
— я/2 < ;х < л / 2; |
cos х, |
если |
х^ гя/ 2. |
Подобрать числа Л и В так, чтобы функция f{x) была непрерыв ной; построить ее график.
225. В каких точках терпят разрывы функции У — - — 2
и у = тгт-nv? Построить графики обеих функций. Выяснить раз-
ннцу в поведении этих функций вблизи точек разрыва.
226.Функция / (x) = не определена при х = 1. Каким
должно быть значение / ( 1), чтобы доопределенная этим значением функция стала непрерывной при х = 1?
227. |
Какого |
рода разрывы имеют функции V—- J - |
и |
при л: — 0? |
Указать |
характер графиков этих функций в |
окрест |
ности точки х = 0 . |
|
! j£ I |
|
|
|
|
228. Исследовать непрерывность функции, заданной так: у = ~ при х ^ О , у = 0 при х = 0. Построить график этой функции.
$ 3. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ |
33 |
(2 2 9 . '‘Сколько точек разрыва (и какого рода) имеет функция
у = ^ , ? Построить ее график.
230. 'Функция «/= arctg-j- не определена в точке х = 0. Можно
ли так доопределить функцию /(х) в точке х = 0, чтобы функция стала непрерывной в этой точке? Построить график этой функции.
231. Исследовать непрерывность функции, определенной так;
/(x) = s in £ при х ^ О , /(0) = 1.
Построить график этой функции.
232. Построить график функции /(x) = xsin " . Какое значение
должно иметь /(0), чтобы функция f{x) была везде непрерывной?
233. Доказать, что функция у- |
------ — имеет в точке х = 0 |
1+ 2I/JC |
разрыв первого рода. Построить схематично график этой функции в окрестности точки х = 0.
234. |
Исследовать характер разрыва функции у = 2 *1~х в точке |
|||||||||||
х = \. |
Можно |
ли |
так |
определить |
у при х = 1, чтобы функция |
|||||||
стала |
непрерывной при х = 1? |
|
|
21/*_1 |
|
|||||||
235. |
Исследовать характер разрыва функции |
в точке |
||||||||||
|
||||||||||||
х = 0. |
|
|
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
236. |
Функция |
определена |
следующим |
образом: |
/(х)=* |
|||||||
= (х + |
|
1) 2 |
_/JL |
х> при |
х ^ О |
и / (0) = 0. Доказать, что в |
интер |
|||||
|
Vi *1 |
|||||||||||
вале |
— 2 с х < : 2 |
функция |
/(х) |
принимает все без исключения |
||||||||
значения, |
содержащиеся между /(— 2) |
и /(2), |
и что она |
все же |
||||||||
разрывна (в какой точке?). Построить ее график. |
|
|||||||||||
237. |
Исследовать непрерывность функции у = |
Выяснить |
||||||||||
характер ее графика. |
|
|
|
|
|
|
||||||
238. |
Функция |
определена |
так: |
если |
х — рациональное число, |
|||||||
то /(х) = 0; если |
х — иррациональное |
число, |
то /(х) = х. При |
|||||||||
каком |
значении х |
эта функция непрерывна? |
|
|
239. Исследовать непрерывность и построить график функции:
\ )У = х -[х \ , 2) У = ~ Г , 3 ) 0 = ( - 1 ) М .
[Функция [х] равна наибольшему целому числу, не превосходя
щему х (см. задачу 59)j. |
|
|
||
240. |
Используя |
свойства |
непрерывных функций, |
убедиться |
в том, |
что уравнение |
х5 —Зх = 1 |
имеет по меньшей мере |
один |
корень, |
заключенный между 1 и 2. |
|
2 С* И- Берман
34 ГЛ. II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
241*. Показать, что: а) многочлен нечетной степени имеет по меньшей мере один действительный корень; б) многочлен четной
степени |
имеет по меньшей мере два действительных |
корня, |
если |
|||||||||||||
он принимает хотя бы одно значение, |
противоположное по знаку |
|||||||||||||||
коэффициенту при его старшем члене. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
242. Показать, что уравнение х ■2х = |
1 имеет по меньшей |
мере |
||||||||||||||
один положительный корень, не превосходящий 1. |
|
|
|
|||||||||||||
243. |
Показать, |
что |
уравнение |
x = a s in x + 5 , где |
0 < а < 1 , |
|||||||||||
Ь > 0, имеет |
по |
меньшей |
мере |
один |
положительный |
корень и |
||||||||||
притом не превосходящий |
Ь + а . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
244*. Показать, |
что уравнение |
—а\ И— % - Ч— |
^ _ = 0, |
где |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДС*“ Лх ДС—Аз |
Х“—Ajj |
|
|||||
aiZ > 0, |
a2> 0 , |
аэ > 0 |
и |
Л-i < 3^ < |
Хд, |
имеет |
два |
действительных |
||||||||
корня, |
заключенных в интервалах (А*, кд) и |
(кг, |
кд). |
|
|
|
||||||||||
§ 4. Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
|
|||||||||||||||
|
Ф у н к ц и и ц е л о ч и с л е н н о г о а р г у м е н т а |
|
||||||||||||||
В задачах |
245 — 267 |
найти пределы. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
245. |
Н |
ш |
^ . |
*246. |
Игл |
|
|
'247. |
Нш |
|
|
|
11* ■ |
|||
гпла |
л-* оо |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
«,-*» (* + |
|
||||
1! |
и3 — 100n2-f 1 |
|
«=249 |
П т |
|
ЮОО^+Зл» __ |
|
|
||||||||
2 4 8 ' |
1 ^ 0 |
Ю0«а+ |
15л |
• |
|
|
“ ".O.OOlni-lOOnM-l* |
|
||||||||
с 950 |
11т |
|
|
|
|
|
251 |
lim |
|
|
Ч4 |
(п |
Ч* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
■ л-?оо (2и+ |
1)4+ И — Ц1* |
|
||||||
252. |
lim |
|
|
|
|
|
«253. Нш |
|
п + |
{ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л-оо |
|
|
|
|
|
Г а д а * |
9 Ч Ч |
||
|
|
|
|
|
Я - С О |
|
V n * + 1 __________ |
||
«256. |
Игл {С">-=+4 ~ ^ " 2+ ?-. «257. |
|||
п-.ооКл4+2— |
|
|||
О 258. |
lim |
|
(«4-3)1 |
( 259 |
|
n—.оо |
|
|
|
260. |
Н т |
1 + Т + Т + |
- , + j" |
|
л-о® H -g- + Q - + - - + ЗЯ |
||||
*261. |
Н ш -1у(1+2 + 3 + ... + я). |
|||
л-»оо |
п |
2—}—3—* -. —J—л ti\ |
||
а 262. |
|
^1 |
||
Нш (- |
л + 2 |
Т j ' |
||
П-+ОЭV |
||||
263. |
Нш (\—2 + 3 — |
—2п1 |
||
П-¥00 |
|
|
|
П т |
У п ! > - 2 п * + 1 + У И 4 + 1 |
y w + m + 2 - y r t + M + \ '
п\
Нш (п+ 1)! —л1 *
Н т (п+ 2)!+ (»+ 1Н
|
|
|
|
|
|
|
$ А. |
НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ |
35 |
||||||||
264* . lim (-р^ + |
2^3 + |
•“ + |
(п=1)п)- |
|
|
|
|||||||||||
|
Л-»OO\e |
|
|
|
|
|
|
\ |
/ |
/ |
|
|
|
||||
265‘ i i |
i |
(ггз |
+ |
зТВ + |
••■+ |
W - l ^ |
H |
+ |
l ) )- |
||||||||
* 266. lim J r r . |
' |
267. |
|
2 Л — 1 |
|
|
|
|
|||||||||
lim *— |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
П - Ю О * |
|
|
|
|
|
Я - Ю О - |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2" + 1 |
|
|
|
|
|||
|
Функция непрерывного |
|
аргумента |
||||||||||||||
В задачах 268—304 найти |
пределы. |
|
|
|
|||||||||||||
« 268. |
lim |
х2+ 5 |
|
|
|
|
|
о 269 |
lim /*3 |
8jc+ 1 | |
|||||||
|
х - » 2 |
х2— 3 - |
|
|
|
|
|
|
|
х-»о \ |
X —4 |
||||||
«270. |
lim |
X |
|
|
|
|
|
* 271. |
lim |
|
* |
~ |
3 .. |
||||
1 - х * |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J v i * + * + ' ■ |
|||||||
* 272. |
Нш |
х2 — 2 х + 1 |
|
|
273. |
lim |
* + * * + * |
||||||||||
|
х -*1 |
|
х ® ~ х _____ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
« 274. |
lim |
( X - 0 / 2-JC |
|
|
275. |
lim |
|
8^8- |
1 |
||||||||
|
X—.1 |
|
X2— 1 |
|
|
|
|
|
|
1 6 x 2 - 5 * + 1* |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х-» — |
|
|
‘ |
|
> 276. |
lim |
|
* ® + х - 2 |
|
|
277JL"? ( п Ь - г ^ д ) - |
|||||||||||
|
х3- х 2- х + Г |
|
|
||||||||||||||
|
“ |
|
|
|
|||||||||||||
г7а- 1™ [« (» = 3 ? ~ х ‘ -зх+ г\ - |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
279 |
|
|
|
х + 2 |
|
+ |
|
|
х — 4 |
|
Л. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
5 х + 4 |
~ |
3 (х*— Э *+ 2 ) ]" |
|
|
|
|
|||||||
280. |
lim |
|
|
|
(т и п —целые |
числа). |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
282. |
lim |
х‘ - 5 х |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ха— Зх + |
Г |
|
||||||
283‘ |
|
|
2 F + 1 ‘ |
|
|
|
п о . |
|
|
1 + х — Зх3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
284‘ х |
^ |
1+ * 2 + ^ 3' |
|
|||||||||
285. |
lim |
|
( .**■. —х |
')• |
|
286. |
lim |
|
х3 |
|
|
х2 |
|||||
|
|
\2ха— 1 |
2х + 1)• |
||||||||||||||
|
|
,U *+ i |
|
|
|
х -.ю |
|||||||||||
287. |
Пш [ + |
1 |
- |
в » -Ч № Ч -« + 2 П |
|
|
|
|
|||||||||
|
x ^ » L 2* + |
l |
|
|
|
4х2 |
|
|
J - |
|
|
|
|
||||
288 |
Н т |
|
(*+ 1)10 + (^+2)1° + ... + (д:+100)Ц| |
|
|
|
|||||||||||
‘ |
*-*со |
|
|
|
|
|
х10+ |
10м |
|
|
|
|
|
|
|
||
289. |
П |
|
V * T j+ V T |
|
|
|
290 |
|im |
/ g + i - i ^ + T |
||||||||
|
т |
_________ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Х - . + 0 0 |
>/ Х 3 + Х — X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
291. |
lim |
v^ 7± i ± |
2lf * 3^ |
l |
|
ж . |
Нш |
|
|
||||||||
|
х - +ао |
{/х» + хТ+1_дс |
• |
|
|
у х7 + 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
X -*00 |
|
2*
36 |
ГЛ. 11. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ |
|
« 293. |
lim Ki t * * " 1-, |
294. lim — + ,* l . |
|
x - » 0 |
|
295.Нш v & + \ -\
х - о У * 2 - 1 - 1 6 - 4 *
4 297. |
lim |
|
|
|
x - l V'* - 1 |
|
|
299. |
lim К 1 I f - |
1. |
|
|
x~o |
|
|
301, |
lim |
|
(a > b). |
|
x2— a2 |
|
296. |
lim — |
— 1Xt 2 . |
|
x —.В |
* ~ 5 |
298. |
lim ^ - tttz K JL . |
|
|
Л—M) |
A |
300. lim — t -— К * —*
x - » 0 |
* |
Vx —1
302.lim —-z — (n и tn — целые числа). ■*—* У х —1
303*. |
|
|
|
304. l i m ^ + ^ - 3- ± t . |
|
|
Х - . 0 |
* + |
* * |
Х^1 |
* - 1 |
305. |
Как изменяются корни квадратного уравнения ajc2 + k t + |
||||
+ с = 0, |
когда |
б и |
с |
сохраняют постоянные |
значения (Ь 0), |
авеличина а стремится к нулю?
Взадачах 306— 378 найти пределы.
< 306. |
lim (У х + а - У х ) . |
307. |
lim |
{ У ^ + Х - У Т ^ Х ) . |
|
с 308. |
Нш |
(К х 2+ 1 — х )*). |
309. |
Нш |
х ( у х2+ 1 — х). |
|
х—* + оо |
|
X-♦ +оо |
|
|
310. |
Нш |
(У (х + а ) (х + b) —х). |
|
|
|
|
Х-++ СО |
|
|
|
|
в 311. |
lim |
(У х 2 — 2 х - I - У |
х 2 — 7х + 3). |
|
х-»+ оо
312.Нш ( К ( х + 1 ) 2 - | / ( х - 1)“2). х-*оо
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
313. |
Iim x 2 0 / x 3 + |
l - / x 3 - l ) . |
|
|
|||||
314. |
lim |
sin Зх |
315. lim |
igte |
316. lim |
sin a x |
|||
|
|
X-»U |
х |
‘ |
|
x—*o |
x |
x-»o |
sin fix' |
317. |
lim |
tg?x |
|
|
|
|
|
||
|
|
х -»о |
sin 5x ‘ |
|
|
|
|
|
|
318. |
lim |
sin (a't) |
(n |
и in — целые |
положительные числа). |
||||
|
|
Q.—►0 |
(sin a )«* |
|
|
2x —arcsinx |
|
||
319. |
lim2arcsin3x |
x * |
|
|
|||||
320. lim ix + arctg x ' |
|
||||||||
|
|
X - + 0 |
|
|
|
X -M ) |
|
|
|
*) |
В |
примерах, где |
указано х-»-±оо, следует отдельно рассматривать |
||||||
случаи |
j - t + o o |
и ^ - т - д а . |
|
|
|
|
|
§ 4. НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ |
|
37 |
|||
|
|
|
о Т Ш Г - |
323. |
lim |
tga |
|
|
|
322- ^ |
|
||||
|
|
|
a - o * / (l- “ **)** |
||||
324. lim |
H -sjn^ -cosx |
с 325. нт |
|
• |
|
||
|
|
1—sin X —COS X |
|
a-*-о |
а З . |
|
|
326. |
lim |
|
327. |
( |
1 |
i |
|
tgJ « —sin»a |
lim f - |
|
t g JC )• |
|
|||
|
a -о |
|
\sin x |
|
|||
> 328. |
lim |
— * * . |
329. |
|
co s* |
|
|
lim i л_________ |
|
V (!-«ln x)«
* - ? W
*330. |
lim ^ 3JC |
|
|
» -.n s*n2x* |
|
332. |
lim |
sin a |
|
a — я |
i ___ a** |
^ |
H sinV ‘8 l)' |
331. |
lim |
( j - * ) t g * . |
|
X — — |
|
|
Я |
|
« 333. |
l i m |
( l - z ) t g ? . |
|
2 -+ 1 |
* |
335. |
lim |
^ ~ 0sir?- . |
|
л |
cos 2* |
X —
4
336. lim •M)
я/ З x~*j~2— -cos*
338. |
lim |
fox tg * - |
£ Л . |
|
„ |
' |
cos*/ |
340. |
lim |
—sa-*^ cos |
|
|
JC—0 |
** |
|
342 |
П т |
sin2ct-sin 2P |
|
|
« - 3 |
«a- P 2 |
• |
|
|
1 — sin -~ |
337. |
lim |
------------------ --------r. |
|
x- n cos-^- (cos — sin |
|
339. |
lim |
” ! « + * ) - a * f e - * ) ; |
|
|
X |
341. |
lim |
jf a f e + * ) - * » ( a - f t , |
|
x - o |
t g ( a + * ) _ t g ( a - * ) |
343. |
lim |
3111 (a~t~2A) 2 sin (a+ ft)+ s in a |
|
|
|
|
/1— 0 |
|
|
|
|
344. |
lim |
teJZ +l*) ~ 2 tg («+ ft) + tgд |
|
|
|
|
л-+ 0 |
h* |
|
|
|
345. |
x —о |
sin2* |
m . |
lira |
|
|
|
X - + 0 |
l S X |
||
|
|
|
|||
347- |
lim |
i i n x ^ V ^ 2 x . |
348. |
lim |
|
|
X — 0 |
tg3- |
|
X - + 0 |
|
|
|
|
|
|
|
349. |
lim |
VQ + ^ t g ^ - '/ i-a rcsin a * |
|
|
|
|
X - о |
V 1 — arcsin 2 x — ]/ l-|_ a rc tg 2 x |
|
|
|
3 5 0 * . |
lim |
|
|
|
|
------1 / * + 1
ГЛ. II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
: 351. Нш |
-)*. |
352. lim (1 — j-V , |
х-*а>\Х+х) |
|
|
|
х 4-1 |
|
353. lim (1 4- ~Л х .
х —. о о ' |
х/ |
з!?- а™с й г-
■ 361. lim ( ] + ± У \
х - . ± о о \ х J
354. |
lim |
(\ + - ) т *. |
|
|
X -.00 |
\ |
х ! |
356-Л тЛ |
|
т 1 ) ~ - |
|
358•Л ? „ ( Й т ) '' |
|||
360. lim |
(l + 4 ) * . |
||
|
X—*00 v |
Х' |
|
362. |
lim |
|
*2 _ 2 * + 1\* |
|
х2 — 4х + 2У в |
||
|
X - * с о |
|
|
|
|
|
1 |
363. |
Нш (1 -|-sinx)cosec X' |
364. |
lim ( j j^ ig iY x fx . |
|
х -»о |
|
|
* 365. |
li m —l+fat). |
366. |
iim !.n- i£ + ^ r i £ f . |
|
х -. О х |
|
X о |
«367 . |
lim { х [In (дс + а) — In х]}. |
|
368.
V'371.
____
374.
lim |
In X— 1 |
|
"369. |
lim ah /t 1' |
||
, x — e |
' |
|||||
|
|
|
|
|
Й-»0 |
|
lim |
ex — e |
|
v |
|
1- |
e*‘ — coex |
x - l • |
|
|
372*. lim ------ x— . |
|||
X —♦ 1 |
|
|
|
дс-»о |
||
_ |
g S ln 2 x _ esinx |
\ |
|
|
gax_gbx |
|
lim- |
-. |
' 375. |
lim |
|||
x - . 0 |
|
|
|
|
x - * |
0 |
V.. ft*_1
370.lim Ц - i .
x -»o a x
N
373. lim e* —e~x x _ 0 sin *
V376. lim x |
377. lim (chx — shx). |
378. lim thx . |
X - » 0 0 |
X - . + 00 |
X - . + 00 |
Ра з н ы е п р е д е л ы
Взадачах 379— 401 найти пределы.
379. |
lim |
Отдельно рассмотреть |
случаи, когда |
п есть: |
||
х-.ОО х "Ь-” |
|
|
отрицательное |
число, |
||
1) целое |
положительное число, 2) целое |
|||||
3) нуль. |
|
|
|
|
|
|
380. |
lim |
х ( ] / х 2 + ]/х4+ |
Г - х ] / 2 ) . |
|
|
|
х -*± с о |
4 |
|
|
|
|
|
381. |
lim |
( а > 0). |
382. |
lim |
( a > 0 ) . |
|
X - > ± 0 0 |
|
|
<-♦+ 00 |
|
|
|
383. |
lim |
X |
384. |
lim |
|
|
V _ /V4 |
|
|
|
|
||
X - * 0 0 |
|
|
|
|
|
§ 4. НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
385. |
lim |
|
386. |
lim arcsin x |
|
|
|
* - » * + « « * |
|
|
|
|
|
^ |
j. |
sin (a+ 3ft) — 3 sin (a + |
2ft) + |
3 sin (a + ft) —sin а |
|
|
|
A™ |
|
W |
‘ |
_ |
ч |
388. |
lim |
tg » x (V 2 sm®x + |
3 s in x 4 - 4 —l/sin2x + |
6 sin x + |
2)- |
|
|
Х-.Я/2 |
|
|
|
|
|
389. |
lim |
i_- c < s (i-c o M |
з90* |
ф lim (COs 4 c o s 4 - ... c o s £ ) . |
||
|
JC-*0 |
|
|
|
|
|
391. |
lim x® (l —co s--V |
392. |
|||
|
К - * CO |
\ |
|
X / |
|
393* ‘ |
|
|
|
|
|
394. |
Urn. x (arctg |
- |
arctg |
||
396. |
lim |
(l + |
i ) * |
( n > 0 ) . |
|
398. |
lim |
|
|
|
|
400. |
lim (cosx + |
sinx)* |
|
||
|
дс —в |
|
|
|
|
lim (co sV ’x + T |
— co sY * ) ' |
||
X - * CO |
|
|
|
395*. |
lim |
arcsinx — a r c tg * |
|
|
x - + 0 |
|
|
397*. |
lim (cos x)4iIlJ£* |
||
|
i-*0 |
|
sin X |
|
|
|
|
399i. |
lim |
(— |
x — s i n * |
V |
|||
|
|
V * |
I |
401. lim (cosx-|-asin6x)*
|
С р а в н е н и е б е с к о н е ч н о м а л ы х |
||||||||
402. Бесконечно малая |
величина |
ип принимает |
значения |
||||||
Hi |
, |
l |
2 » |
l |
з * |
••■• |
Ип |
1 |
|
11 |
и% |
из |
^ » . . . | |
||||||
а бесконечно малая |
величина vn —соответственно значения |
||||||||
|
, |
l |
|
l |
|
•••» |
&п |
1 |
|
Vi 1» |
У* — 21* |
®а— 31» |
„|> |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а!’ |
|
Сравнить и„ |
и v„; какая |
из них |
высшего |
порядка |
малости? |
403.Функция и„ принимает значения
п |
«2 |
3 |
8 |
ип - |
га2— 1 |
и1 = о, |
= g , |
и3 = 27» •1•' |
гаа |
а функция vn— соответственно значения
О |
5 |
10 |
n2+ |
1 |
V i *•% V2 |
g | V 3 |
27» ■•• » Vn |
jp |
» ••. |
Сравнить эти бесконечно малые величины.
404.Бесконечно малая величина иа принимает значения
1 |
2 |
ti_1 |
I |
Hi ~ 0» |
«3= 9-» •••I |
Ия — п2 I |
40 |
ГЛ. II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ |
|
|||
а |
бесконечно малая |
величина |
v„ —соответственно |
значения |
|
|
О |
5 |
7 |
2п + |
1 |
|
Ul — 3, V2 •— 4 ■ £*3— 9 * * * * * ^п— да > * * • |
Убедиться в том, что ип и v„ —бесконечно малые одного порядка,
но неэквивалентные. |
1_у |
.-- |
405. При х ~ * - 1 функции у — утг |
и у = \ — у х бесконечно |
малы. Которая из них высшего порядка малости?
406. Дана функция у = х3. Показать, что Ау и Ах при Ах-^-0
ипри х ^ О являются бесконечно малыми одного порядка. Проверить, что при х = 0 величина Ау бесконечно малая более
высокого порядка, |
чем Ах. |
|
|
|
|
|
|
||||
При каком значении х приращения Ах и Ау будут эквива |
|||||||||||
лентными? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
407. Убедиться |
в том, что при х —>-1 бесконечно малые вели |
||||||||||
чины |
1 —х и |
1 —Y x будут |
одного порядка малости. Будут ли |
||||||||
они эквивалентными? |
|
______ |
_ |
|
|
|
|||||
408. Пусть х -* -0 . |
Тогда |
Y a + x' — V a |
( а > 0 ) будет беско |
||||||||
нечно малой величиной. Определить порядок |
ее относительно х. |
||||||||||
409. Определить порядок относительно х функции, бесконечно |
|||||||||||
малой при х -» -0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
|
+ 1000**; |
2) У * - У |
х ; |
3) |
|
|
4) |
|
||
410. |
Доказать, |
что |
приращения |
функций и = а)/х |
и v = bx* |
||||||
при х > 0 и при общем приращении Д х-*-0 |
будут одного порядка |
||||||||||
малости. При |
каком значении х они будут |
эквивалентными (а и |
|||||||||
Ь отличны от |
нуля)? |
|
|
|
|
|
|
|
|||
411. |
Показать, |
что |
при |
х - > 1 |
бесконечно |
малые |
величины |
||||
1 - х |
и |
а ( 1 |
- Ы |
где а Ф 0 и k — целое |
|
положительное число, |
будут одного порядка малости. При каком значении а они будут
эквивалентными?
412. Доказать, что при х->-я/2 функции secx — tgx и я — 2х будут бесконечно малыми одного порядка. Будут ли они эквива
лентными? |
|
|
|
|
|
|
413. Доказать, |
что |
при х -» -0 бесконечно малые величины |
||||
е2х __ех и sin2x — sinx |
будут эквивалентными. |
|||||
414. Определить порядок относительно х функции, бесконечно |
||||||
малой |
при х - > 0 : |
|
|
|
|
|
1) У 1 + Y ~ x - 1; 2) V l + 2 i - l - V x ; 3) е ^ - 1 ; 4) |
||||||
5) |
In (1 + У х sinx); |
6) l A |
+ x 2 tg |
; |
7) е* - cos х; |
|
8) |
е*2—cosx; |
9) cosx->/ cosx; |
10) |
sin(y'l + x - l); |
||
11) |
1п(1 + х * ) - 2 У ( е * - 1 ) 2; |
12) arcsin(K4 + x2- 2 ) . |