книги / Хрупкость металлов при низких температурах
..pdfреза, определены размеры и конфигурация пластической зоны. Распределение деформаций по радиусу пластической зоны оказа лось обратно пропорциональным расстоянию от вершины тре щины:
т |
R |
(1.24) |
<гт |
||
Здесь R — размер пластической |
зоны; |
G — модуль сдвига. |
Один из принципиальных выводов, вытекающий из работы [353] и приведенного за ней обсуждения, заключается в том, что при малых нагрузках (следовательно, при малых пластических зонах) распределение напряжений за пределами пластической зо ны можно достаточно точно описать с помощью упругого решения для трещины, увеличенной на радиус пластической зоны, опре деляемый как
гр — |
КП1 |
(1.25) |
|
2л-4 |
|||
|
Впримечании к работе [353] Ирвин отмечает, что даже если напряжение в нетто-сечении всего лишь в 0,78 раза меньше пре дела текучести, расхождение в напряжениях между упругим ре шением для длины трещины I + гр и упруго-пластическим для длины I не превышает 1 %. Связь между протяженностью узкой пластической зоны и нагрузкой для антиплоской деформации ус тановлена также в работе [293].
Вработах [85, 432] изучались условия формирования пласти ческой зоны в упрочняющемся материале для случая антиплос кой деформации. Авторы этих исследований рассчитали связь между размерами пластической зоны и нагрузкой. В работе [85 ] найдено распределение смещений вдоль свободной части трещины.
Плоская деформация. Для случая плоской деформации в работе [255] на основе интерпретации трещины в виде системы полостных дислокаций в идеально пластическом материале полу чено выражение для размера пластической зоны, которое в слу
чае малых напряжений (<Тоо от) преобразуется в формулу, ана логичную (1.25). Представления эти получили развитие в иссле довании [273].
В работах [218, 434, 435] с целью решения упруго-пластиче ской задачи для трещины отрыва в упрочняющемся материале использован метод криволинейного интеграла по контуру, охва тывающему область кончика трещины. Рассматривался случай плоской деформации в вершине трещины.. Авторы работы [434] основывались на деформационной теории пластичности. Материал предполагался несжимаемым с соотношением между девиаторами напряжений и деформаций в форме Мизеса и упрочнением по
степенному закону
_ т |
Для Y < YTÎ |
|
х = Gy = — у |
||
■Т |
(1.26) |
|
г=т,Ш" |
||
для Y ^ YT* |
Здесь т и у — максимальное касательное напряжение и макси мальный истинный с д в и г ; т т и ут — то же па пределе текучести; п — показатель деформационного упрочнения. В результате ана лиза Г. П. Черепанов [218], а также Райс и Розенгрен [434] при шли к заключению о том, что в окрестности вершины трещины должна иметь место сингулярность типа 1/г для произведения тензора напряжений оу на тензор деформаций еу:
OijEij->■ ^ 9) . |
при r-vO , |
(1-27) |
где F (в) — некоторая функция |
угла при |
вершине трещины |
(см. рис. 2), определяемая из условия текучести на контуре плас тической зоны. Хотя авторы и не дают строгого доказательства этого выражения, тем не менее его справедливость для случая линейно-упругого (п = 1, сингулярность г~1/г) и идеально плас тического (п = 0, сингулярность г-1) материалов, а также для отмеченных выше упруго-пластических решений в случае антиплоской деформации дает основания надеяться на его примени мость и для реального материала с показателем упрочнения п в случае трещины отрыва.
Для упрочняющегося по закону (1.26) материала из выраже ния (1.27) вытекает распределение напряжений и деформаций вблизи вершины трещины
(1.28)
где R (0) — некоторая функция угла 0.
Путем численного решения полученных дифференциальных уравнений 4-го порядка в работе [434] приближенно определены конфигурации пластической зоны и притупленной вершины тре щины, а также напряжения в пределах пластической зоны в за висимости от величины показателя деформационного упрочнения п.
На рис. 6 показано отношение среднего напряжения р — °хх ^ ° —
к эквивалентному касательному напряжению т в вершине трещи ны в зависимости от угла 0. Из рисунка видно, что максимальное
Рис. 6. Зависимость отношения р/т от угла 0 [434].
гидростатическое растяжение достигается на линии продол жения трещины, причем вели чина показателя деформацион ного упрочнения существенно
влияет па максимальное значение этого отношения. Отношение ауу (х , 0)/2т на линии продолжения трещины так
же сильно зависит от способности материала к деформационному упрочнению (рис. 7). Следовательно, это обстоятельство необхо
димо |
учитывать |
при |
формулировании |
критерия |
разрушения |
||||||||
в вершине трещины. |
|
|
|
|
п--0,5 0? |
0,1 Щ 0,05 0,01 0,006 |
|||||||
Конфигурация |
вершины |
|
|
||||||||||
трещины |
для |
материала |
с |
т + |
|
|
|
|
|
||||
различным п при пластиче- п |
|
|
|
|
|
||||||||
ском течении в вершине пока-ч* |
|
|
|
|
|
||||||||
вана на |
рис. 8. |
Смещения иг |
|
|
|
|
|
|
|||||
и щ выражены |
в |
безразмер |
|
|
|
|
|
|
|||||
ных величинах urxTU и щтт№ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
(здесь |
J |
— |
криволинейный |
|
|
|
|
|
|
||||
интеграл |
по |
контуру, |
охва |
|
|
|
|
|
|
||||
тывающему вершину трещи |
|
|
|
|
|
|
|||||||
ны). Для случая |
малой пла |
|
|
|
|
|
|
||||||
стической зоны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
r |
|
(1 - |
v») К\ |
|
|
|
T & R m jJtjm |
0,006 |
0,00k |
0,002 |
8 |
||
J = ------ё----- == Gh |
|
Рис. 8. |
Конфигурация |
вершины |
тре |
||||||||
|
|
|
|
|
|
(1.29) |
щины в |
пластически |
деформированной |
||||
|
|
|
|
|
|
области. |
Стрелки указывают упруго |
||||||
где Gi — скорость |
освобож |
пластическую границу и |
направление |
||||||||||
смещений берегов трещины позади вер |
|||||||||||||
дения |
упругой |
|
энергии |
в |
шины (0 = |
я) [434]. |
|
|
|
|
|
|
вершине трещины. На |
нижней |
||||||||
|
|
|
шкале |
указано |
безразмерное |
|||||||
|
|
|
расстояние |
утттЛ |
(я )// |
от вер |
||||||
|
|
|
шины трещины до упруго-пла |
|||||||||
|
|
|
стической |
границы |
позади вер |
|||||||
|
|
|
шины (0 = |
я). |
Раскрытие |
тре |
||||||
|
|
|
щины |
6Х не проявляет сильной |
||||||||
|
|
|
чувствительности к показателю |
|||||||||
|
|
|
упрочнения п и для п < |
0,2 |
||||||||
|
|
|
|
|
Ôi œ 0,58 //T ,. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.30) |
||
|
|
|
Представляют |
также |
инте |
|||||||
|
|
|
рес |
рассчитанные |
в |
работе |
||||||
|
|
|
[434 ] |
изменения |
|
направлений |
||||||
|
|
|
максимального |
сдвига |
вокруг |
|||||||
|
|
|
вершины трещины для |
различ |
||||||||
|
|
|
ных |
п (рис. 9). |
Отчетливо вид |
|||||||
|
|
|
но |
различие |
в |
распределении |
||||||
|
|
|
направлений |
|
максимального |
|||||||
|
|
|
сдвига |
между |
двумя предель |
|||||||
Рпс. 9. Распределение направлений |
ными |
случаями п = 0 и п = 1, |
||||||||||
соответствующими |
идеально |
|||||||||||
максимальных сдвигов |
а |
вокруг |
||||||||||
вершины для материалов |
с |
различ пластическому |
|
и |
идеально |
|||||||
ным упрочнением [434]. |
|
|
упругому материалу. |
|
|
|||||||
|
|
|
Приведенные |
асимптотичес |
||||||||
|
|
|
кие решения не являются строги |
ми уже хотя бы потому, что не учитывают влияния геометрических изменений самой вершины трещины на распределение напряжений и деформаций и дают только структуру сингулярности в вершине трещины. Для пластических зон, малых по сравнению с длиной трещины, эта сингулярность представляет полное решение для напряжений и деформаций в пластической области в случае антиплоской деформации. Пока нет строгого доказательства того, что то же самое должно иметь место и в случае плоской деформа ции. Тем не менее некоторые выводы, следующие из работы [434], являются весьма важными. В частности, быстрый рост трехосности напряженного состояния с возрастанием п (см. рис. 6) свидетельствует о том, что для реальных конструкционных мате риалов (0,05 < п < 0,3) упрочнение может повышать напряже ния перед трещиной путем не только увеличения напряжений течения с ростом деформации, но и изменения напряженного со стояния. В связи с этим в металле с низким пределом текучести на фронте трещины может развиваться локальный пцк напряже ний, сравнимый по величине или даже больший, чем пик в более прочном материале, так как обычно материалы с малым пределом текучести показывают более высокие значения п. Наличие боль ших гидростатических напряжений на линии продолжения тре-
Рис. 10. Изменение нормальных на пряжений в вершпно трещины по толщине плоского образца [390].
щины способствует раскрытию ми кротрещин в материале, подвер женном сколу, или продвиже
нию |
вязкого |
разрушения |
путем |
гуу (1, 2) вдоль линии |
продол |
|
роста |
и объединения пор. |
|
жения трещины |
[390]: |
||
В обзорной работе [281] отме |
J, а — нагружение; |
г, |
4 — раз |
|||
чается, что |
интерпретацию этих |
грузка. |
|
|
||
результатов |
затрудняют |
два об |
|
|
|
|
стоятельства: |
во-первых, |
анализ |
|
|
|
проведен лишь на основе сингулярного члена без учета геометри ческих изменений вершины, во-вторых, при анализе не учтена упругая сжимаемость материала, которая в условиях высокого трехосного растяжения впереди трещины может играть важную роль. Первое приводит к тому, что выводы справедливы лишь для малых пластических зон, причем авторы считают, что не только для случая антиплоской деформации, но и для случая плоской деформации возможен диапазон размеров пластических зон, когда указанная сингулярность будет представлять полное реше ние в пластической области для несжимаемого материала. Для случая больших пластических зон эти решения неприменимы.
Иная возможность проверки указанных соотношений и ана лиза напряженно-деформированного состояния материала основа на на применении конечно-разностных методов численного ана лиза, в частности метода конечных элементов. В ряде работ [122, 124, 220] рассматривались вопросы квазихрупкого разрушения и процессы образования локальной пластической зоны в вершине трещины для плоской деформации [220]. Авторами построены пластические зоны для различных уровней нагрузок и кривые распределения напряжений и деформаций на линии продолжения трещины. В силу невысокой сходимости метода численного реше ния этих задач, по-видимому, возможно дальнейшее их уточне ние. Более обширные результаты вычислений приведены в моно графии [168].
Рис. 12. Распределение |
максималь |
|
|
|
|
|
|
|||||||
ных касательных напряжений в вер |
|
|
|
|
|
|
||||||||
шине трещины [350]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Аналогичные |
задачи, |
но |
в |
Рис. |
13. |
Распределение |
напря |
|||||||
трехмерной постановке |
решались |
жений |
на |
расстоянии |
г = |
0,05 I |
||||||||
от вершины трещины |
в зависи |
|||||||||||||
численно в работах |
[49, |
390], где |
||||||||||||
мости |
от |
угла 0 для |
линейно- |
|||||||||||
были |
рассчитаны |
пространствен |
упругого (1—3) и упрочняюще |
|||||||||||
ная форма |
пластической |
|
зоны, |
а |
гося (п = |
0,05) (4—6) материалов |
||||||||
также |
распределение |
по |
толщи |
[363]: |
|
|
б — а. |
|||||||
не образца |
главных |
|
напряжений |
1, 4 — Оуу\2, 5 — а ху\3, |
||||||||||
на линии |
продолжения |
трещины. |
|
|
|
|
|
|||||||
В работе [49] дано |
сравнение с решением упругой задачи. |
|
На рис. 10 показаны изменения всех трех нормальных напря жений по толщине плиты. Авторы рассмотрели поведение мате риала в вершине трещины при циклическом нагружении и опреде лили характер распределения напряжений и деформаций вдоль линии продолжения трещины при нагрузке и разгрузке (рис. 11). Оценка конфигурации и размеров пластической зоны на основе упругих решений (текучесть по условию Мизеса) дана в статье [60].
В работе [350] использован метод конечных элементов для расчета напряжений и деформаций в вершине трещины в упроч няющемся по степенному закону материале. Из рис. 12 видно, что локальное течение вызывает некоторое перераспределение максимальных касательных напряжений в вершине трещины при напряжении в нетто-сечении ап = 0,52 ат. В этой работе подтверждена также применимость поправки Ирвина (1.25) для неттонапряжений, не превышающих (0,6 -f- 0,7) сгт. Это согласуется с мнением других авторов [19, 141, 192] и свидетельствует о том, что протяженность зоны нелинейности в вершине трещины может быть довольно значительной (0,25 от длины трещины) без замет ного ущерба для точности определения с помощью поправки типа (1.25) поля напряжений за пределами пластической зоны. Из работы [350] следует еще одно важное заключение: асимптотиче ский метод решения [281, 434] является хорошим приближением для анализа упруго-пластического состояния при наличии малой зоны нелинейности в вершине трещины. Екобори и Камеи [499], как и авторы работы [372], методом конечных элементов для иде-
ально пластического материала рассчитали конфигурацию и раз меры пластической зоны в.толстой пластине с центральной симмет ричной сквозной трещиной, нагруженной растягивающими на пряжениями перпендикулярно к плоскости трещины. Расчет проведен до напряжений, составляющих 0,7 от предела текучести. Авторами получены зависимости геометрических размеров и объе ма пластической зоны от нагрузки.
В работах [362, 363] приведены результаты аналогичных рас четов для образца внецентреиного растяжения из материала, упрочняющегося по линейному или степенному закону. Расчеты основаны на теории течения. По мнению автора, эти данные по зволяют сделать вывод о независимости /-интеграла от пути ин тегрирования и в случае применения теории течения. Даже при значительных пластических зонах наблюдается хорошее соблю дение зависимостей линейной механики разрушения, и лишь при переходе к общему течению ослабленного трещиной сечения они нарушаются.
Представляют интерес полученные в этих работах распределе ния напряжений ауу, axyt а также эквивалентного напряжения
сг по условию текучести Мизеса (рис. 13). Как видно из рисунка, решение методом конечных элементов для линейно-упругого материала качественно согласуется с результатами Вильямса (см. рис. 4). Однако упруго-пластическое решение в области ма лых углов 0 дает существенно отличный результат. Данные под робных вычислений [362, 3631 для образцов различной геометрии, линейно и параболически упрочняющегося материала, плоского напряженного состояния суммированы в работе [364]. Обширные результаты вычислений и общие принципы решения таких задач как для плоской деформации, так и для плоского напряженного состояния описаны в монографии [168].
Плоское напряженное состояние. Распределение напряжений в вершине трещины в тонкой пластине анализировалось в работе [326]. Аналогичная полученной в работе [434] для плоской де
формации сингулярность типа г-1 для произведения тензора напряжений на тензор деформации установлена в этом исследо вании и для случая плоского напряженного состояния. Однако выводы этой публикации согласуются с заключениями работы [434] только относительно радиального распределения деформа
ций. Распределение деформаций |
по углу 0 оказалось резко |
от |
||
личным, |
предсказывая |
иные |
конфигурации пластических |
|
зон, более |
вытянутые |
в направлений распространения |
тре |
|
щины. |
|
|
|
|
Значительно раньше М. Я. Леоновым и В. В. Панасюком |
||||
[131], а также Дагдейлом |
[283] были предложены модели, позво |
ляющие определить размер пластической зоны и раскрытие тре щины ôi в случае клиновидной узкой зоны вдоль линии продол жения трещины. Внешне эти модели различны, тем не менее они
Максимальный размер Контур пластической зоны Гр (0)
ЗОНЫ
|
|
|
|
|
Гр (70,5°) = |
ГР (0) = |
(" 0 7 ) |
4я |
( 1 -t'co s0 + 2 |
sm20) ( 1*31«) |
|
гр (9) |
= |
~£Г [(1~ 2v)2 (1 + |
C0S 0) + |
Гр (87,9°) = |
|
|
|
+ |
-| -s inaej |
(1.316) |
|
r p <e> = |
( - |
^ ) |
-sr[CS- r ( ‘ +sin4 )] |
( , '3,D> |
M e>= |
(-5r) -5г [с" 4 - х |
гт(6 0 4 = 0,27 |
||
X ( l — 2v + |
sin- j -)J |
(131r) |
||
для — 38° ^ 0 ^ 38° |
rv m = o , u ( ÿ j |
|||
|
||||
|
/ K j V |
i |
|
|
rp (0) == 1 |
J |
- sin20 для 38° ^ 0 < 322° ^ |
|
rp <e>=(-§-) 4-x
|
|
|
|
|
2 |
|
r p ( ° ) = ° , i e ( aj ) |
|
|
/ |
3 cos2 0/2 + |
cos 0/2 cos |
|
0 \ |
|
Гр (70.5°) = |
|
x |
------------------------------ |
— |
J |
a -siд) |
||||
|
||||||||
|
\ |
3 cos 0/2 -f- cos -g - 0 |
|
“ °-о95( |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
rP (0) = |
( |
aT ) 8л |
(s'“ — + |
s m -2 -e) |
(1-3lc) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
гр (70.5°) = |
Численное решение методом конечного элемента
П р и м е ч а н и е , Здесь и далее в таблицах ПНС — плоское напряженное состояние;
Размер зоны гр (0)
„ . « ( А ) 1
гр (0) = 0 .0 .8 ( ^ )
г р ( 0 ) = ° . 1 б (
гр ( 0 ) = 0 , 0 1 8 ^ )
гр (0) = о и е ( „ ; )
rp ( 0 ) = 0 , 0 3 ô ( A )
НаЛите
пря ратур Услоние текучести женное ный
состоя источ ние ник
(а, — а2)2 + |
(а2 — а3)2 + |
п н е |
+ (а3 - |
01)2 = 2а^ |
[141Г |
ПД |
а, = 2тт= а т |
п н е |
|
(ст, — о3) = |
2тт= о т |
[263] |
|
||
(Oi — а2) = |
2тт = стт |
ПД |
(°0 — °г)2 + ТГ0 _ |
п н е |
||
Татах ~ |
2 (ст0 — о г) |
|
|
тТ |
1 |
а<Г |
[399] |
2 |
ПД |
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
*г0 — т0 |
2 |
|
(CTi — а2)2 + (а2 — °я)2 + |
п д |
[372] |
+ (о3 — сг,)2 = 2а^ |
|
|
ПД — плоская деформация.
2гр = I sec |
(1.31) |
|
(1.32) |
Эти формулы хорошо описывают экспериментальные данные для узких клиновидных зон, и их можно считать справедливыми для идеально пластического материала в условиях плоского напря женного состояния в вершине трещины.
Аналогичные результаты получены в работах [255, 273] для случая плоской деформации. Раскрытие трещины при этом ока залось в (1 — v) раз меньше.
В работах [332, 443] модель с узкой клиновидной зоной была использована для расчета размеров пластической зоны и раскры тия трещины, а также их связи с эффектами хрупкого разрушения. П. М. Витвицкий [21, 22] рассмотрел условия образования полос скольжения при растяжении тонких пластин. Ему, в частности, удалось показать возможность образования на поздних стадиях нагружения узких полос скольжения под углом примерно 59° к линии продолжения трещины. Несколько иначе с помощью линейных рядоз дислокаций эта задача была решена в работе 1256].
Авторами работы [123] численно решалась упруго-пластиче ская задача для случая плоского напряженного состояния в вер шине трещины в идеально пластическом материале. Получены конфигурация и размеры пластических зон при различных уров нях напряжений. В частности, показано, что результаты расчета •существенно зависят от количества пх узловых точек элементов,
на |
которые разбивалась исследуемая область. С |
возрастанием |
пх |
пластическая зона заметно уменьшалась. В итоге |
авторы при |
шли к заключению о том, что пластическая зона представляет со бой узкую полосу, расположенную вдоль линии продолжения разреза. Дополнительные сведения о применении метода конеч ных элементов к случаю плоского напряженного состояния име ются в монографии [168].
В заключение краткого обзора аналитических методов иссле дования упруго-пластических деформаций и напряжений целе сообразно сослаться на обзорную работу [23], а также привести некоторые результаты аналитического и численного определений характерных размеров пластической зоны в вершине трещины {табл. 1). Из таблицы видно, что в зависимости от напряженного состояния в вершине трещины и выбранного условия текучести различные методы решения задачи могут предсказывать неоди наковые размеры и конфигурации пластической зоны.