книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы

где и— начальная энергия электрона, выраженная через эквива­ лентную разность потенциалов.

При фокусировке немоноэнергетических пучков возникают до­ полнительные ошибки изображения, называемые по аналогии со

световой оптикой х р о м а т и ч е с к и м и	а б е р р а ц и я м и .	Физи­
чески возникновение хроматических	аберраций вызвано	зависи­

мостью оптических параметров электронных линз от энергии элек­ тронов фокусируемого пучка. Эта зависимость непосредственно

следует из формул				(1.156) и (1.196), в которых величины LJb и U0y
стоящие	перед		интегралом,
имеют смысл		меры			энергии
электрона.				траектории
Рассмотрим
двух электронов, один из кото­
рых покинул		катод		с	нулевой
начальной	скоростью				(и = 0),
второй — с отличной					от	нуля
начальной	скоростью					(и>0)
(рис. 1.60).		первый,				болег
Очевидно,
медленный электрон будет на­							Рис. 1.60. Происхождение хроматических
ходиться	в поле		линзы			боль­	аберраций
шее время и, получив больший
импульс,	пересечет			ось		ближе

к линзе, чем второй, более быстрый электрон. Рассматривая сово­ купность электронов пучка с начальными энергиями, распределен­ ными в интервале от нуля до некоторого значения ей, нетрудно убедиться, что ни в одной плоскости, перпендикулярной к оптиче­ ской оси, пучок электронов, вышедших из одной точки на оси, но имеющих разброс начальных скоростей, не может быть сведен в одну точку.

Предположим, что электроны с нулевыми начальными скоростя­ ми, вышедшие из точки га на оси линзы, пройдя линзу, соберутся в точке гь на оси. Тогда, очевидно, электроны с отличной от нуля начальной скоростью, вышедшие из той же точки zay пересекут ось в точках с координатами zb + kz. При этом, чем больше начальная скорость, тем больше значение Az. В плоскости zb электроны, име­ ющие отличные от нуля начальные скорости, создадут некоторый кружок рассеяния.

Предположим далее, что большинство электронов имеют на­ чальную энергию, не большую некоторого значения ей. Соответст­ вующую этому значению энергии величину Az обозначим АЪ. Тогда

согласно построению на рис. 1.60 радиус кружка рассеяния				(радиус
кружка хроматической аберрации) будет равен
. ,		Ab	АЬ	(1.211)
rxp = Abtgy2 =	rd————		— ,
	о	До	о

где rd — радиус апертурной диафрагмы и величина Д6 < 6 .

Учитывая (1.142) и считая потенциалы по обе стороны линзы одинаковыми, определим положение изображений, создаваемых соответственно медленными (и = 0) и быстрыми (ы >0) электро­ нами

		1
I _1_Т				1	( 1.212)
а	b +	АЬ	/ +	А Г }
где Дf — величина, учитывающая		увеличение фокусного			расстоя­
ния линзы для быстрых электронов.				(1.212) первое и прене­
Вычитая из второго уравнения системы
брегая величиной Дf по сравнению с f, получим
"ь	= ±f	4 f-			(1.213)

Из (1.213) следует, что радиус кружка хроматической аберра­ ции пропорционален отношению Af/f. Используя формулу для оп­ тической силы электростатических линз (1.156), найдем отношение

№

\1 •*? Uy'jz) dz,

1	4ущ :		(1.214)
1	1	+ 0 0 Uo (2)	dz
/ + Д/	4]/L/ь +и	УUо(2)	I
			>

Разделив первое уравнение системы (1.214) на второе, после несложных преобразований получим

Д/ _ 1 и

(1.215)

~ Т ~ Т 1 Г ь -

Таким образом, отношение Aflf пропорционально отношению начальной энергии электрона (ей) к энергии (еИъ)> приобретаемой электроном в ускоряющем поле. Окончательно на основании урав­ нений (1.211), (1.213) и (1.215) для радиуса кружка хроматичес­ кой аберрации можно записать:

Гхр = СхрГd-JJ .

( 1 .2 1 6 )

Выражение (1.216) показывает, что хроматическая аберрация аналогично сферической аберрации имеет место для точек объек­ та, лежащих на оси. Этот вид аберрации носит название х р о м а ­ т и ч е с к о й а б е р р а ц и и п о л о ж е н и я п л о с к о с т и изо -

б ра же н и я, или о т в е р с т н о й х р о м а т и ч е с к о й а б е р ­ рации, так как величина гхр пропорциональна радиусу отверстия апертурной диафрагмы rj.

Как следует из (1.216), уменьшения отверстной хроматической аберрации можно добиться, уменьшая отверстие диафрагмы, т. е. диаметр электронного пучка, и повышая ускоряющее напряжение. Однако полное устранение этого вида аберрации невозможно.

При отображении точек объекта, не лежащих на оси, электро­ нами, имеющими разброс энергии, проявляется хроматическая аберрация, приводящая к искажению масштаба увеличения. Этот

вид аберрации	называется х р о м а т и ч е с к о й а б е р р а ц и е й
л и н е й н о г о	у в е л и ч е н и я . Наконец, при использовании маг­

нитных линз разброс скоростей электронов приводит к х р о м а т и ­ ч е с к о й а б е р р а ц и и у г л а п о в о р о т а и з о б р а ж е н и я . Два последних вида хроматической аберрации также зависят от отношения ulU, но в отличие от отверстной аберрации могут быть исправлены соответствующим подбором полей и положения диа­ фрагмы.

Поскольку радиус кружка рассеяния при хроматических абер­ рациях определяется отношением и/t/, этот вид ошибок изображе­ ния оказывается существенным при фокусировке медленных (уско­ ренных небольшой разностью потенциалов) электронов. Точно так же хроматическая аберрация приводит к заметному ухудшению четкости изображения при использовании электронных зеркал, так как в области отражения потенциал пространства близок к нулю и отношение u/U может стать весьма большим. В большинстве элек­ троннолучевых приборов используются ускоряющие напряжения больше 1 кв. При этом хроматическая аберрация имеет относи­ тельно меньшее значение, поскольку величина u/U в случае приме­ нения оксидного катода с температурой 1000° К (е м »0,17 эв) ока­ зывается меньше 10_3.

Когда поле линзы примыкает к источнику электронов (иммер­ сионный объектив, см. § 3.2), наличие начальных энергий электро­ нов и разброс начальных скоростей по величине и направлению могут заметно влиять на качество фокусировки. При этом следует учитывать не только абсолютную величину начальных скоростей, но и направления вылета электронов. Очевидно, чем меньше на­ пряженность ускоряющего поля у катода, тем в относительно боль­ шем угле «разойдутся» траектории электронов, выходящих с раз­ личными по величине и направлению скоростями из одцой точки эмиттирующей поверхности. Ввиду разброса начальных скоростей по направлению электроны, выходящие из одной точки объекта, вступают в поле линзы с различными апертурными углами. Раз­ брос этих углов приводит к появлению обычной сферической абер­ рации, а разброс по величине скоростей обусловливает хроматичес­ кую аберрацию. Таким образом, на качество фокусировки иммер­ сионного объектива влияет комбинированная сферохроматическая аберрация.

юз

Радиус кружка рассеяния за счет сферохроматической аберра­ ции в плоскости гауссова изображения определяется выражением

		гСФ.хр = 2A f^ -,		(1.216а)
где	М — увеличение электронно-оптической системы; щ — наибо­
лее	вероятная	начальная	энергия электрона,	выраженная	через
эквивалентную		разность	потенциалов; Е — напряженность		элект­
рического поля у поверхности катода.				как формула Рек-
	Выражение	(1.216а) известно в литературе

нагеля. В плоскости наилучшей установки (наибольшей резкости), не совпадающей с плоскостью гауссова изображения, радиус круж­ ка рассеяния будет несколько меньше. Как показал Л. А. Арцимо­ вич, он определяется формулой

Гсф.тр= 1.2М-5-.	(1.2166)
Jh

Искажения электронно-оптического изображения наблюдаются при нестабильности источников питания электронных линз. Это яв­ ление следует рассматривать также как хроматическую аберра­ цию, поскольку при изменении потенциалов электродов электро­ статических линз и тока, создающего магнитную индукцию магнит­ ных линз, меняются оптические параметры линз.

§ 1.10. ФОКУСИРОВКА ПОЛЯМИ, НЕ ОБЛАДАЮЩИМИ ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И КВАДРУПОЛЬНЫЕ ЛИНЗЫ

Для фокусировки электронных пучков, кроме рассмотренных осе­ симметричных электрических и магнитных полей, в некоторых слу­ чаях могут быть использованы поля, не обладающие осевой сим­ метрией. Примерами таких полей являются электростатические и магнитные плоские поля, т. е. поля, не зависящие от одной из де­

картовых		координат	(например,	х).	Для плоских	полей
U ( x y	У, z) =	U (0, у, z)	и В(ху уу z )= B ( 0,		уу z). Очевидно,	такие
поля	имеют	плоскости	симметрии,	перпендикулярные к оси ОХ.

Электростатические плоские поля создаются диафрагмами со ще­ лями или парами плоских пластин, магнитные плоские поля — вы­ тянутыми катушками, которые могут быть заключены в ферромаг­ нитные оболочки со щелями.

Эквипотенциальные поверхности электростатических плоских полей являются цилиндрами с образующими, параллельными оси ОХ. Поскольку аналогом преломляющих поверхностей световой оптики в электронной оптике являются эквипотенциальные по­ верхности электрического поля, прохождение электронного пучка в плоском поле аналогично прохождению света сквозь цилиндричес­ кую линзу. На основе этой аналогии электронно-оптические систе­ мы, образованные плоскими полями, получили название ц и л и н ­ д р и ч е с к и х э л е к т р о н н ы х линз .

Обычно электростатической электронной линзой является об­ ласть плоского поля, имеющего плоскость симметрии, параллель­ ную оси ОХ (рис. 1.61).

Выберем начало координат в этой плоскости. Тогда траектория электрона, начинающего движение из начала координат перпенди­ кулярно к плоскости X0Y, будет прямолинейной, совпадающей с осью 0Z. Это утверждение непосредственно следует из равенства нулю вдоль оси 0Z составляющих напряженности поля Ех (вслед­ ствие независимости U от х) и Еу (вследствие симметрии поля от­ носительно плоскости X0Z). Таким образом, эта траектория, сов­ падающая с осью 0Z, является осью электронного пучка.

Рис. 1.61. Плоское поле	Рис. 1.62. Элементарный парал­
	лелепипед

Рассмотрим движение электрона в поле цилиндрической линзы (рис. 1.61). Поскольку поле плоское, составляющая напряженности поля Ех= 0. Сила, действующая на электрон в поперечном направ­ лении (вдоль оси OY), будет равна

d2u	(1.217)
т - ^ = - е Ё у.

Для определения составляющей поля Еу используем теорему Остроградского— Гаусса. Построим параллелепипед с ребрами, параллельными осям координат (рис. 1.62).

Поток вектора Е через поверхность параллелепипеда будет равен

1 дЕ	— xyl — y	(1.218)
х:1Еу -\-ху С— ^ -d z =
о dz	60

где х, у, I— ширина, высота и длина параллелепипеда; р — плот­ ность объемного заряда (Ех= 0 по условию) .

При малых величинах тока пучка можно считать, что поле не искажается зарядом электронов пучка, т. е. однозначно определя­ ется формой, расположением и потенциалами электродов. В этом случае можно положить р = 0. При малой величине I производная dEz/dz= — U" (штрихи обозначают дифференцирование по z) ма­

ло изменится на длине / и может быть вынесена из-под знака интеграла. Тогда

	Еу =		U"y.		(1.219)
Подстановка значения Еу в		(1.217) приводит к уравнению
	m- ^	=	— eU"y.		( 1.220)
	dt2		У
Ограничиваясь параксиальной областью, можно от дифферен­
цирования по t перейти	к дифференцированию			по z	(см. §	1.6).
Применяя дважды дифференциальный оператор				,!L =	__1	и за-
				dt	dt dz
мечая, что dz/dt — vz	» га		получим
	т
агХ	d z’		2у у		( 1.221)
или после дифференцирования			V
	U'				( 1.222)
	и’ А------- и = 0*.
У "+ ■2и		^	2(Г

Полученное уравнение является основным уравнением цилинд­ рической оптики. Оно показывает, что в одном направлении — в плоскости Y0Z— цилиндрическая линза действует аналогично осе­ симметричной линзе [разнипа между уравнениями (1.222) и (1.82) только в постоянном множителе в последнем члене], а в перпенди­ кулярном направлении — в плоскости X0Z — поле линзы не влияет

на движение	электронов	(Ех= 0).	Следовательно,	параллельный
оси 0Z пучок	электронов,	пройдя	цилиндрическую	линзу, создает

в ее фокальной плоскости изображение в виде отрезка прямой, па­ раллельной оси ОХ.

В параксиальном приближении можно тем же способом, что и для осесимметричных линз, определить оптическую силу цилиндри­

ческой линзы:
±	= - ±	J	f “ l d z ,	(1.223)
f	2yu b 1		1/U
или после интегрирования по частям
1	1	+оо т	Л 2	(1.224)
			■dz,

f4уи ь

*Рассмотренным способом может быть получено основное уравнение трас-к. тории (1.82) для осесимметричного поля.

где Ub— значение потенциала вне линзы в пространстве изобра­ жений.

Сравнение выражений (1.223) и (1.224) с формулами (1.156) и (1.159) показывает, что при одинаковом распределении потенциа­ ла вдоль оси оптическая сила цилиндрических линз вдвое больше,

чем у осесимметричных линз. По аналогии									с осесимметричными
линзами цилиндрические электростатические									линзы	могут созда­
ваться	диафрагмой					со щелью,	двумя	щелевыми		диафрагмами
или двумя			парами			плоских	/	и
пластин,		тремя			щелевыми					•Ilf
/ диафрагмами или тремя па­
рами	плоских			пластин. Ци­
линдрическую				линзу можно
также	построить,					комбини­	1	-и!гТиг
руя щелевые				диафрагмы и						JIL
пары	плоских			пластин. Та­
ким	образом,				получаются		1			‘HJr
цилиндрические линзы-диаф­							о;		б)	i)
рагмы, цилиндрические им­
мерсионные			и		цилиндриче­		Рис. 1. 63. Электродные системы цилинд­
ские одиночные линзы.							рических электростатических линз:
Для		расчета			оптических		а —щелевая	диафрагма; б — иммерсионная
параметров			цилиндрических				линза; в — одиночная линза
линз	можно			использовать			(1.224), либо		приближенные выра­
либо общие			формулы (1.223),

жения, аналогичные приведенным для осесимметричных линз с со­ ответствующим изменением числового коэффициента. Например, фокусное расстояние цилиндрической линзы-диафрагмы прибли­ женно определяется формулой

/	(1.225)
| £ г| — |£ ||	'

где t/д— потенциал щелевой диафрагмы, а Е\ и Е2— напряженно­ сти поля слева и справа от диафрагмы.

Примеры электродных систем цилиндрических электростатиче­ ских линз приведены на рис. 1.63.

Интересно отметить, что в цилиндрическом поле при наличии особой седлообразной точки (например, в середине одиночной ци­ линдрической линзы) в отличие от осесимметричного поля эквипотенциали в этой точке пересекаются под прямым углом.

Цилиндрическая магнитная линза также создает линейный фо­ кус, но за счет «поворачивающего» действия магнитного поля фо­ кальная прямая оказывается повернутой на 90°, т. е. лежит в плос­ кости X0Y. Оптическая сила цилиндрической магнитной линзы

_1 е +оо

7 2mil

т. е. при одинаковом осевом распределении магнитной индукции цилиндрическая магнитная линза в 4 раэа сильнее осесимметрич­ ной линзы [см. формулу (1.196)].

Цилиндрическим линзам присущи геометрические аберрации, аналогичные аберрациям осесимметричных линз, а также хрома­ тическая аберрация.

Цилиндрические линзы иногда используются в электроннолуче­ вых приборах тогда, когда необходимо получить линейный фокус («штрих»-фокус). Цилиндрические линзы, образующиеся в прост­ ранстве отклонения электронных пучков, приводят к дополнитель­ ным ошибкам (искажениям) отклонения.

- и

Рис. 1.64. Поперечные фокусирующие	Рис. 1.65. Квадрупольная электроста-
поля	тическая линза

В осесимметричных и цилиндрических линзах траектории элек­ тронов в области линзы составляют малые углы с направлением напряженности электрического поля или магнитной индукции. Ины­ ми словами, в этих оптических системах электроны движутся при­ близительно вдоль силовых линий поля. Поэтому рассмотренные фокусирующие системы называются продольными. В продольных системах для фокусировки электронных пучков используется лишь небольшая (по сравнению с продольной) поперечная составляющая поля. Значительно более эффективны поперечные системы, в кото­ рых силовые линии поля направлены поперек пучка. Поперечные электронно-оптические системы получают все большее распростра­ нение, особенно для фокусировки электронов, обладающих боль­ шими энергиями. Поперечным системам присущи новые электрон­ но-оптические свойства, в частности, при использовании попереч­ ных полей возможно создание фокусирующих систем, свободных от аберраций.

Поперечные фокусирующие поля обычно создаются четырьмя электродами или четырьмя магнитными катушками, расположен­ ными вокруг оси системы, причем диаметрально противоположные

электроды или магниты имеют одинаковую полярность, а сосед­ ние— разную (рис. 1.64).

Такие четырехполюсные системы, обладающие двумя	плоскос­
тями симметрии, получили название к в а д р у п о л ь н ы х	э л е к т ­
р о н н ы х линз . Особенностью квадрупольных линз	является
равенство нулю осевой составляющей поля.

В качестве примера рассмотрим квадрупольную электростати­ ческую линзу, образованную четырьмя одинаковыми электродами в виде гиперболических цилиндров, расположенных симметрично на одинаковом расстоянии от оси с потенциалами ± t / t (рис. 1.65).

Распределение потенциала в такой симметричной системе опи­

сывается уравнением
U(x,y) = ± k (x z+ yz),	(1.227)

где k= 2 U\/a2 (а - - расстояние от оси до поверхности электродов). При распределении потенциала вида (1.227) составляющие на­ пряженности поля Ех и Еу являются линейными функциями коор­

динат:

dU		kx,
Ех
дх
dU	ь	(1.228)
Еу = - —	=klJ,
ду
(Ez =	0 ) ,

т. е. градиенты н^пРяженности поля постоянны. Поэтому квадрупольная линза с гиперболическими электродами называется л и н ­

з о й с п о с т о я И я ым г р а д и е н т о м .

Рассмотрим движение электрона, входящего в такую линзу па­

раллельно оси 01- Нетрудно	видеть, что в точке р, (рис.	1.65)	на
электрон действует сила	= —eEx= ekx, направленная	от	оси

линзы, а в точке р2 — сила Fy— —еЕу— —eky, направленная к оси. Таким' образом И плоскости X0Z линза будет рассеивающей, а в плоскости yflZ-L собирающей. На электрон в любой точке поля, не лежащей в пло1«?Стях симметрии, будет действовать сила, всегда имеющая состаВРяющУю’ прижимающую электрон к плоскости X0Z и удаляющую ег0 от плоскости Y0Z.

Составим Упа<0нения Движения электрона в рассмотренном по-

ле, учитывая форр',Улы (1-228):
dzx	_	2eUi
dzy	— eEv =	2eUi
m —— =		--------—
dtz	v	az

Поскольку поле на оси линзы отсутствует, вполне допустимо для приосевой области (параксиальное приближение) считать продольную составляющую скорости электронов постоянной:

Vi —	Uо = const (здесь U0— постоянный потенциал на оси

'т

линзы) и перейти в (1.229) от дифференцирования по < к диффе­ ренцированию по 2:

2eUi

а2 х,

2eUi

а2 У,

или

х" — хеХ =

О,

(1.230)

У" + кеУ=

О,

где

VE

U,

, штрихи обозначают

дифференцирование по г.

, —

aWс

Рассмотрим

теперь

симмет­

ричную квадрупольную

магнит­

ную линзу (рис. 1.66).

При выбранном расположении

координатных осей

плоскости

X0Z и Y0Z являются плоскостями

антисимметрии

магнитного

по­

ля *.

Допустим,

что электроны

входят в линзу параллельным оси

0Z пучком со скоростью

vz=

у — U0. На электрон в точ-

11 т

ке pi будет действовать сила

Рис.

1.66. Квадрупольная

магнит­

Fx—evzBy, направленная от

оси,

а на электрон в

точке

рг — сила

ная линза

Fy= — evzBx, направленная к

оси

* Поворот осей ОХ и 0Y на 45° по сравнению с системой рис. 1.64 удобен при рассмотрении магнитных квадрупольных линз, так как в этом случае уравне­ ния траекторий в магнитной линзе совпадают с аналогичными уравнениями для электростатической квадрупольной линзы.