книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы

пределах между точками z2n и z2n, лежащими близко к z2, приво­ дит к выражению

		Г2	(1.115)
	Г2П= Г2л	AU2 (U 'z-U l),

где Vi =	U3- U 2
	Z3 — Z2

Определив из (1.113) и (1.115) г2 и г'2п и приняв их за началь­ ные данные для левой границы второго участка, находят траекто­

рию во	втором	участке,		определяют г3 и г'зп,			принимают их за
начальные данные для				третьего
участка	и т. д.	Таким		образом
может быть найдена вся траекто­
рия электрона в приосевой обла­
сти электрического поля, облада­
ющего	осевой	симметрией.			В
большинстве случаев нет необхо­
димости	определять			значение
г (г) в промежуточных точках					z,
лежащих внутри выбранных уча­
стков, можно найти лишь г\, г2, ...,
...,гп и соединить полученные точ­
ки плавной кривой, которая с до­
статочной для практических целей
точностью совпадает			с	искомой		Рис. 1.23. Построение		траектории
траекторией. Полученная кривая
будет тем ближе к истинной тра­						электронов	методом	ломаной
ектории,	чем больше		число уча­

стков, на которые разделена рассматриваемая область поля, или иными словами, чем ближе ломаная, аппроксимирующая распреде­ ление осевого потенциала, к истинной кривой UQ(Z ). Однако при слишком большом числе участков вычисления становится очень трудоемкими, а выигрыш в точности незначителен.

Если распределение потенциала представлено в виде эквипо­ тенциальных линий, полученных, например, при помощи модели­ рования в электролитической ванне, траектории электронов могут быть найдены графо-аналитически.

Из многих предложенных графо-аналитических методов пост­ роения траектории электронов распространение получили два: ме­ тод плоского конденсатора («метод ломаной») и метод радиусов кривизны («метод окружностей»).

В первом случае электрическое поле, заданное системой экви­ потенциальных линий, рассматривается как ряд областей с посто­ янными потенциалами (рис. 1.23), причем при переходе через гра­ ницу области (которая на небольшом протяжении принимается плоской) потенциал меняется скачком. В этом случае траектория изображается ломаной линией и для определения угла поворота траектории при переходе через границы областей используется за­ кон преломления ( 1.21).

Предполагая разность потенциалов AU между смежными обла­ стями небольшой, можно определить угол Да поворота траектории. На основании (1.21) можем написать

sin а	У£/ АС/
sin (а + Да)	(1.116)
	~\/и

Рис. 1.24. «Транспортир» для построения траекто­ рий

Малость AU приводит к небольшой величине Да; в этом случае можно положить sin Д а » Да, cos Д а » 1 и преобразовать выраже­ ние (1.116):

- . /	й
sin а I/ — -----гг? = sin а + cos аДа,
'	и + Ди
откуда
4 a=(ViT^w~l) tga-		(1И7>

Определяя последовательно по углу взлета а частицы в обла­ сти поля изменения угла Да, строят всю траекторию. Метод лома­ ной позволяет строить траекторию с погрешностью 3—5%, однако он весьма трудоемок. Трудоемкость можно значительно уменьшить, применяя несложное приспособление в виде специального «транс­ портира» из прозрачного материала (рис. 1.24).

По диаметру отложены отношения У и через равные

U + AU ’

промежутки проведены дуги окружностей и прямые, перпендику­ лярные к диаметру. Построение траекторий проводится в следую­ щем порядке. «Транспортир» располагается так, чтобы его базовый диаметр был касательным к эквипотенциали U в точке влета части­ цы. По заданному начальному направлению а проводится прямая

до пересечения с окружностью, соответствующей найденному отно­

шению У —	и—	где U -+- ДU — потенциал следующей эквипотен-
I U	+ AU'

циали. Из полученной точки восстанавливается перпендикуляр к касательной к эквипотенциали до пересечения с окружностью, про­

ходящей через	отметку ТА _ _ _ _ _ = 1. полученная точка соеди-
няется прямой	М U + AU
	с центром «транспортира»; эта прямая является

отрезком траектории между выбранными эквипотенциалами. Спра­ ведливость этого утверждения легко доказать, выразив отрезок а на рис. 1.24 через углы а и а+Да:

а = sin (а + Д а),	а = У и	sin а.
	U + AU

Приравнивая правые части полученных выражений, непосредст­ венно приходим к выражению (1.116).

Применение «транспортира» значительно сокращает время по­ строения траекторий, однако погрешность при построении все же остается значительной главным образом из-за геометрических оши­ бок при прикладывании «транспортира» по касательной к эквипо­ тенциали, особенно если последняя сильно искривлена.

Метод радиусов кривизны основан на равенстве силы, дейст­ вующей на частицу в электрическом поле, центростремительной силе при движении частицы по кривой с мгновенным радиусом кривизны г:

mv2

-----= бЕп,

г

где Еп— нормальная к траектории составляющая напряженности электрического поля.

Выражая скорость частицы через пройденную разность потен­ циалов U, получим соотношение для мгновенного радиуса кривиз­ ны траектории:

Определяя в отдельных точках поля величины U и Еп, можно построить траекторию в виде ряда сопряженных дуг окружностей. Метод радиусов кривизны позволяет строить траектории с погреш­ ностью, несколько меньшей, чем метод плоского конденсатора. Однако он также очень трудоемок и становится практически не­ удобным при больших значениях г. Относительная погрешность при этом методе может достигать 2— 3%.

Приближенные и графо-аналитические методы нахождения тра­ екторий электронов в электрических полях во многих случаях могут

обеспечить необходимую для практических целей точность, но они требуют большой затраты времени и достаточно высокой квалифи­ кации работников. Решение уравнений движения электронов с лю­ бой степенью точности может быть выполнено при помощи элект­ ронных вычислительных машин, но и при этом для расчета траек­ торий в сложных полях требуется значительная затрата машинного времени.

В последнее время для быстрого и достаточно точного нахож­ дения траекторий электронов в электрических полях, обладающих плоской или осевой симметрией, все чаще начинают использоваться автоматические устройства, называемые траектографами. По прин­ ципу действия траектографы должны быть отнесены к специали­ зированным вычислительным машинам непрерывного действия, ре­ шающим уравнения движения заряженных частиц в электрическом поле.

Практическое применение получили траектографы двух типов: траектографы, решающие уравнения движения в декартовой систе­ ме координат, и траектографы, решающие уравнения движения в «естественной» (в проекции на касательную и главную нормали к траектории) системе координат. В обоих типах траектографов элек­ трическое поле моделируется в электролитической ванне, хотя прин­ ципиально возможно создание траектографов с использованием в качестве моделирующего поле устройства проводящей бумаги или упругой мембраны.

Траектографы, работающие в декартовой системе координат, автоматически решают уравнения движения электрона в электри­ ческом плоском [Е{х, у)] или осесимметричном [E(z, г)] поле. Уравнения движения электрона в плоском поле записываются в виде [см. 1.7)]

х = - - £ * ,

т

(1.119)

У — -------Еу.

т

При рассмотрении траекторий в осесимметричных полях пред­ полагается, что в исходной точке электрон не имеет азимутальной составляющей скорости (о<|,= 0). В этом случае траектория элек­ трона будет целиком лежать в меридиональной плоскости, посколь­ ку в осесимметричном поле £^,=0 и, следовательно, нет силы, ко­ торая могла бы вывести электрон из этой плоскости. Поэтому, координаты меридиональной плоскости (z, г) можно считать де­ картовыми и записать уравнения движения электрона в меридио­ нальной плоскости аналогично системе (1.119):

z = ~ — Ez,	)
т	)I	( 1. 120)

Решение системы уравнений (1.119) или (1.120) выполняется при помощи серийно выпускаемых электронных интеграторов. Оче­ видно, для решения рассматриваемой системы уравнений необхо­ димо четыре интегратора, выполняющих последовательно операции нахождения составляющих скорости электрона (ия, »„), а затем координат {х, у):

t

V y

Eydt, у = vvdt.	( 1. 121)
О

Рис. 1.25. Блок-схема траектографа	Рис. 1.26. Зонд для		изме-
первого типа	рения составляющих		напря­
	женности	электрического
		поля

Блок-схема траектографа первого типа приведена на рис. 1.25. Исследуемое поле обычным способом моделируется в электро­ литической ванне. Необходимые для вычисления траектории вели­ чины Ех и Еу «измеряются» в ванне при помощи четырехштырь­ кового зонда, неподвижно закрепленного на зондовой каретке, которая может перемещаться над ванной в двух взаимно перпен­ дикулярных направлениях (ОХ, 0Y). Зонд ориентирован так, что при перемещении каретки плоскости, проходящие через противо­ лежащие штырьки зонда, всегда остаются параллельными выбран­

ным координатным осям (0X,0Y) (рис. 1.26).

Поскольку ванна питается переменным током, а электронные интеграторы являются устройствами постоянного тока, между зон­ довой головкой и интеграторами включаются специальные линей­ ные демодуляторы. Первая пара интеграторов вырабатывает на­ пряжения, пропорциональные vx и vy\сигналы с первой пары инте-

граторов поступают на вход второй пары интеграторов, с выхода которых снимаются сигналы, отображающие в соответствующем масштабе координаты движущегося электрона. Сигналы со второй пары интеграторов подводятся к следящей системе, состоящей из электронных усилителей и двух пар сельсинов. Информация о ко­ ординатах электрона при помощи пары сельсин-датчик — сельсинприемник передается на ходовые винты, перемещающие зондовую каретку, и жестко связанное с ней записывающее устройство.

Рис. 1.27. Схема каретки траек-	Рис. 1.28. Схема вращающегося
тографа второго типа	трансформатора

При перемещении зондовой каретки согласно данным о коор­ динатах, рассчитываемым электронными интеграторами, записыва­ ющее устройство вычерчивает кривую, совпадающую с траекторией электрона, движущегося в электрическом поле, смоделированном в ванне. На построение одной траектории затрачивается 3—4 мин. Относительная погрешность не превышает 1— 1,5%. При подклю­ чении дополнительных узлов траектографы могут учитывать реля­ тивистские поправки, а также вычерчивать траектории в скрещен­ ных электрическом и магнитном полях.

Принцип действия траектографов, решающих уравнения движе­ ния электронов в «естественной» системе координат, состоит в сле­ дующем. Допустим, что по плоскости без скольжения катится трех­ колесная каретка, имеющая два опорных свободно вращающихся колеса и одно направляющее (рулевое) колесо, плоскость которо­ го может поворачиваться относительно продольной оси каретки (рис. 1.27).

На оси опорных колес помещен отметчик, вычерчивающий кри­ вую. Как видно из рисунка, мгновенный радиус кривизны, вычер­ чиваемой отметчиком,

ъ

tg а ’

( 1.122)

rAe b— расстояние между осью опорных колес и осью направляю­ щего колеса («база» каретки); а — угол поворота плоскости на­ правляющего колеса по отношению к продольной оси каретки.

Сравнивая выражения (1.118) и ( 1.122), получим основное урав­ нение траектографа:

2U tg а =	ЬЕп.	(1.123)
Входящие в уравнение (1.123)	величины U и £ „	могут быть

измерены в электролитической ванне при помощи двухштырько­

вого зонда, ориентирован­
ного	так,	что		плоскость,
проходящая			через		оси	~гмв Силовой	Решающий
штырьков			зонда,		нор­
мальна		к	направлению			длон	Ьлок
движения		зонда.			Зонд	Т ______1		+
через	механическое				коор­
динатное устройство					свя­	а ----- —ц
						Передача	Г 2		оет ка
зан с кареткой таким об­						координат
разом,		что		плоскость		Ь 'З о н д ^	Z------ ----------------2Г
								Стол
штырьков зонда все вре­
мя остается параллельной							-Элект роды		исследу­
оси направляющих					колес		емой	модели
каретки.			видеть, что			Рис. 1.29. Блок-схема траектографа второго
Нетрудно
при	таком		перемещении			типа
каретки,		когда		в каждой

точке поля удовлетворяется уравнение (1.123), отметчик вычертит кривую, совпадающую с траекторией электрона.

Уравнение (1.123) удобно привести к виду
2t/ sin а = ЬЕпcos о.	(1.124)

Напряжения, соответствующие измеренным в электролитиче­ ской ванне величинам U и сЕп (с — расстояние между штырьками зонда) после усиления электронными усилителями подводятся к синусно-косинусиому элементу, расположенному на каретке. В ка­ честве такого элемента используется синусно-косинусный вращаю­ щийся трансформатор.

Вращающийся трансформатор (рис. 1.28) имеет две взаимно перпендикулярные статорные обмотки. Подводя к статорным об­ моткам напряжения, пропорциональные U и сЕп, получим в обмот­

ке ротора	напряжения, пропорциональные Usin а и сЕпcos а, где
а — угол	поворота ротора. Таким образом, на выходе синусно-ко­

синусного элемента получаются необходимые напряжения, пропор­ циональные Usin « и Епcos а, если угол а задается поворотом ру­

левого колеса каретки.

Сумма напряжений (с соответствующими коэффициентами)

Usin а и сЕпсо£“ подводится	к усилителю, управляющему мото­
ром поворота рулевого колеса	каретки. Очевидно, что при выпол­

Fx _ dz

х

W ~ g dx

(1.125)

У- v= g - M b dy

где g — ускорение силы тяжести (направление оси 0Z совпадает с направлением силы тяжести).

Поскольку траектории заряженных частиц, движущихся в элек­ трическом поле, не зависят от заряда и массы, соответствие урав­ нений (1.119) и (1.125) позволяет моделировать траектории элек­ тронов в плоском поле U(x, у), свободно скатывая по поверхности деформированной мембраны небольшие шарики. Необходимо толь­ ко, чтобы величина деформации была пропорциональна значению

Г	v	1
потенциала в соответствующих точках I z =	— , см. ( 1.43)	I.

Обычно используют полированные стальные шарики диаметром 3—4 мм, свободно катящиеся по поверхности деформированного резинового полотна. Траектории получаются методом фотографиро­ вания бликов, образующихся на шариках при ярком направленном освещении. Если затвор фотоаппарата открыт во время движения шариков, то на фотографии получаются траектории в виде непре­ рывных линий. При освещении установки периодически повторяю­ щимися вспышками света траектория получается в виде пунктир­ ной линии, причем по длине каждого штриха (длительность вспы­ шек должна быть одинаковой) можно оценить скорость шарика, а следовательно, и потенциал в данной точке. Фотография траекто­ рии, полученной методом гравитационного моделирования, приве­ дена на рис. 1.31.

Метод гравитационного моделирования практически удобен и прост, однако погрешность построения траекторий получается зна­ чительно больше, чем в случае траектографов. Поэтому гравита­ ционное моделирование применяют для предварительных качест­ венных исследований, уточняя затем полученные результаты рас­ четными методами или моделированием с помощью траектографов.

Нахождение траекторий электронов, движущихся в магнитных полях, часто оказывается более простой задачей по сравнению с электростатическими полями. Это объясняется тем, что в уравнения Движения электронов в магнитном поле (1.98) не входят произ­ водные магнитной индукции. Поэтому в тех случаях, когда распре­ деление магнитной индукции вдоль оси осесимметричного магнит­ ного поля задано аналитически или кривая распределения индук­ ции достаточно точно аппроксимируется аналитической функцией, система уравнений (1.98) может быть решена строго. Решение пер­ вого уравнения системы (1.98) дает проекцию траектории на пово­ рачивающуюся меридиональную плоскость, решение второго урав­ нения определяет угол поворота меридиональной плоскости.

Из приближенных методов решения уравнений движения элек­ тронов в осесимметричных магнитных полях наиболее распростра­

нен метод, в основе которого лежит замена истинной кривой рас­ пределения магнитной индукции вдоль оси осесимметричного маг­ нитного поля ступенчатой ломаной (рис. 1.32).

Как видно из рисунка, внутри каждого интервала, на которые разбивается вся область поля, величина магнитной индукции на

Рис. 1.32. Построение траектории электронов методом ступенчатой ломаной

оси принимается постоянной: B0(z )\гп> гя_ц =B0(zn) = В„. При этом первое уравнение системы (1.98) принимает вид

d2r .	е	0.	(1.125а)
йгг	■ВГп =
	8тUо

Решением такого уравнения, как известно, является выражение

г (г) =	Л sin [|/ - J L j - B n{ z - z n)] +
+	С cos [У	Qfjiu	^п^	(1.126)
где А и С — постоянные, определяемые				начальными условиями
r {/ z ч) ^ z n - r n ,			dr 1	- Г „ .
				п
Простая подстановка убеждает, что
	, -|/	8mU0	1

---^11 У _ п » ^ ^п•

еВг

Сучетом начальных условий окончательно получим

r (' z )' z л’,1 71+ 1= Гп COS [V 8теU, Bn(z — zn)

1

+