книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела
..pdf6.2. Поверхности раздела, близкие к круговым цилиндрическим- В краевы х задачах о напряженно-деформированном состоянии много слойных толстостенных цилиндров с возмущенными поверхностями раз
дела, рассмотренных в § 2, |
условия сопряж ения и краевые условия в |
||||||
произвольном приближении |
|
преобразованы |
к виду (3.57), |
(3.60) — |
|||
(3.63). При этом дифференциальные операторы D |
(k = |
1, 2, 3) в слу |
|||||
чае когда |
неортогональные |
поверхности раздела |
5, являются некру |
||||
говыми цилиндрическими, |
описываемыми |
уравнениями |
г = rt -f- |
||||
+ есо/Д (0) |
(в предполож ении, что нормаль к S t направлена в сторону |
||||||
увеличения функции уровня), |
на основе (3.64) имеют вид |
|
|||||
|
D f f - l , |
= |
0, |
|
|
|
|
|
= с о ^ ( 0 ) - |г , |
= - - ^ ( 0 ^ ( 0 ) , |
D31 |
= 0, |
|
О |
(3.143). |
Если поверхности раздела S t являю тся поверхностями вращения,, описываемыми уравнениями г = rt + е с ( г ) , то дифференциальные
операторы D $l) (k = 1 , |
2, |
3; |
m = |
0, |
1, |
2, |
3) (в предположении,, |
|
что нормаль направлена в сторону увеличения |
функции уровня) со |
|||||||
гласно (3.65) |
примут форму |
|
|
|
|
|
|
|
|
Dfi |
= |
1. |
Dfi = |
D$> = |
0, |
|
|
^ |
= ( 0 ^ ( 2 ) ^ - , |
|
Du = 0, |
^ |
= - 0 ) ^ ( 2 ) , |
О Ч Ы 0, |
(3.144). |
|
D g' = |
0, |
D§> = |
- |
- f - |
f, (г) (Я (г) + |
_ |
(z)|. } . |
|
|
||||
Замечание. В случае осесимметричных поверхностей |
разд ела |
S {r |
||||||||||||
близких |
к |
|
сферическим |
и |
описываемых |
уравнениям и |
г = |
/7 + |
||||||
+ ecuJ((0), |
|
дифференциальные операторы D*?\ ф игурирую щ ие |
в |
ус |
||||||||||
лови ях |
сопряж ения |
(3.84), |
(3.85) |
и краевы х |
условиях |
(3.88), (3.89), |
||||||||
в четырех приближ ениях |
( т |
= О, |
1, .2, 3) ф ормально |
будут иметь вид |
||||||||||
(3.143), |
если |
под г, 0 понимать сферические координаты . |
|
|
|
|||||||||
6.3. |
|
Поверхности раздела, |
близкие к |
коническим. |
Рассмотренны е |
|||||||||
в § 5 краевые задачи для составных тел с поверхностями |
раздела |
5 /, |
||||||||||||
близкими |
к |
коническим |
и |
описываемыми |
уравнениям и |
0 = 0 / |
-4- |
|||||||
+ есо/уг (г, |
а ), |
сведены к |
последовательности соответствую щ их |
задач |
||||||||||
для конических поверхностей раздела. При |
этом дифф еренциальны е |
|||||||||||||
операторы ($ ? |
, фигурирующие в условиях сопряж ения |
(3.127) в пер |
||||||||||||
вых четырех приближениях ( т = |
0, 1 ,2 , 3) для сл учая, |
когда норм аль |
||||||||||||
направлена в сторону увеличения функции уровня, |
имеют вид |
|
|
В частном |
случае, |
когда поверхности раздела S t описываю тся |
уравнениями |
0 = 0 / + |
еоа/у/ (г), т. е. являю тся поверхностями вра- |
112
щ ения, дифференциальные операторы (3.145) |
существенно упрощаются |
|||||
и принимаю т форму |
|
|
|
|
|
|
б ^ - й у у Д г ) , |
( $ = « |
* |
|
= |
О, |
|
Си = — <в/Гу, (г) |
, |
Gf? = - у - {у? (г) - ~ |
— г2 [у', (r)l2j , |
|||
|
|
3 |
|
|
|
(3.146) |
Gif = 0, Giv = |
----- у - ry] (г) {у? ( |
г |
) |
— |
IV/ O')]2} » |
П риведенные дифференциальные |
операторы |
участвуют |
при решении |
|||||||||||||
с |
точностью |
О (е4) соответствующ их краевы х |
задач |
для |
кусочно-одно |
|||||||||||
родных тел |
с неортогональными |
поверхностями раздела. |
|
|||||||||||||
§ |
7. О б одн ом обобщ ен и и второ го варианта |
|
|
|
|
|
||||||||||
м е т о д а возм ущ ения ф о р м ы |
границы |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Рассмотрим случай, когда |
уравнение |
поверхности |
нелинейно зависит |
|||||||||||||
от малого параметра, т. е ., когда в уравнении поверхности раздела |
||||||||||||||||
многослойного цилиндра ф ункция ft зависит как |
от координат 0, г |
|||||||||||||||
так и от малого параметра е, |
характеризую щ его отклонение |
поверх |
||||||||||||||
ности раздела от соответствующего кругового |
цилиндра. Указанная |
|||||||||||||||
ф ункция |
выбирается в |
виде |
полинома |
относительно |
е.‘ Приведем яв: |
|||||||||||
ный вид дифференциальных операторов, необходимых для. решения |
||||||||||||||||
краевы х |
задач для кусочно-одн'ородных тёл |
с‘ неОртбгональными ‘ по |
||||||||||||||
верхностями |
раздела с точностью |
О (е4).. Н а основе указанного обоб |
||||||||||||||
щ ения покажем |
взаим освязь |
первого, и второго .вариантов метода воз |
||||||||||||||
мущ ения |
формы |
границы . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
7.1. |
Обобщенный |
вид |
дифференциальных операторов |
в частных |
|||||||||||
случаях. П редположим, что |
ф ун кц и я .//, входящ ая |
в уравнение (3.39) |
||||||||||||||
поверхности |
раздела S t |
многослойного |
цилиндра, |
зависит не только |
||||||||||||
о т |
цилиндрических координат |
0, г, но и от малого |
параметра |
в, т. е, |
||||||||||||
// |
= U (9. |
z. е). Д опустим, |
что эта зависимость полиномиального типа |
|||||||||||||
относительно |
в. Тогда вместо |
уравнения (3.39) будем |
иметь |
|
||||||||||||
|
|
Г = Г[ + е// (0, 2, е), |
fi (0, г, |
в) = |
£ |
е % / |
(0, г). |
(3.147) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fe=0 |
|
|
|
|
|
|
Е сли решение поставленной в |
§ 2 задачи ищем |
в виде рядов |
(3.51). |
|||||||||||||
то на поверхности раздела S h в предположении, что искомые компонен |
||||||||||||||||
ты |
перемещений |
и напряж ений |
допускаю т разлож ения |
в ряды Тей |
||||||||||||
л о р а в окрестности г = |
rh |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
M s , = £ «" 2 / Г « Й г т , и , . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
ri=fi |
тг=П |
|
' |
* |
|
|
|
(3.148) |
||
|
|
|
|
|
|
оо |
|
п |
|
|
|
|
|
|
113
Здесь дифференциальные операторы L\n) |
в отличие от (3.58) в первы х |
|||||||||||
четырех приближ ениях (п = |
0, |
1 ,2 , 3) имеют вид |
|
|
|
|
||||||
|
£ f = l , |
|
|
if* |
= -п,, |
д . |
1 |
2 |
<Эа |
|
||
|
|
|
дг |
+ - 5 - Ло/ |
дг2 |
(3.149) |
||||||
|
|
|
|
|
дй |
, |
1 |
„з |
д3 |
|
|
|
|
|
= Ч21 - jr r |
+ |
Ло/Ли |
|
|
|
|||||
|
|
дг2 |
"Г “5" ЛО/ |
дг3 |
|
|
|
|||||
|
|
дг |
|
|
|
|
|
|||||
С |
учетом (3.54), |
(3.147) представим направляю щ ие |
косинусы |
tijj (/ — |
||||||||
= |
г, 0, г) в форме рядов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
ОО |
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
пг.1 = |
£ гт а mt, |
Пв,1= £ |
emfw , |
гсг>/ = |
£ |
в^у,,,/. |
(3.150) |
||||
|
r?i=0 |
|
/71=0 |
|
|
|
|
т=0 |
|
|
|
П одставляя ряды (3.148), (3.150) в уравнения (3.40), (3.42), получаем условия сопряж ения в произвольном приближении в виде (3.57), где дифференциальные операторы D u( (k = 1, 2, 3) определяю тся через Lf* и коэффициенты рядов (3.150) по формулам
|
D ® = £ |
a slL f ~ s\ |
D® - |
£ рstL(r |
s\ |
D ® - |
|
£ |
у ^ Г |
Л |
(3-151) |
|||||||
|
s=0 |
|
|
|
|
S—0 |
|
|
|
|
s=0 |
|
|
|
|
|||
Если ф ункция |
fi |
в |
уравнении |
(3.147) |
не |
зависит |
от переменной г, |
|||||||||||
т. е. |
fi = ft |
(0, |
в) |
= |
л о/ |
(9) + |
ели |
(0) + егЛ2/ (0) |
+ |
..., |
то в |
р яд ах |
||||||
для |
направляю щ их |
косинусов |
(3.150) |
ymt = |
0, |
а |
д руги е |
|
вы раж ения |
|||||||||
для |
коэффициентов разложений |
при т |
— 0, |
1, 2, |
3 |
имеют |
вид |
|
||||||||||
а |
1 |
а п = |
п |
«2/ |
|
1 |
'2 |
|
|
Ло/ |
/ 1 |
' |
|
' \ |
||||
01 = 1, |
0, |
----- Ло/. |
аз/ = |
—j- |
|
|
Ло/Ло/ — “Hi/J * |
|||||||||||
|
Ро/= |
0, |
ри --------— Ло/. |
р2/ = — |
|
Ло/Ло/— Лi/j> |
(3-152) |
|||||||||||
|
|
|
\ |
I |
|
J |
|
/ |
|
r |
|
J |
# |
/ |
2 |
|
|
|
|
Рз/ = |
-----— Лг/ + |
— |
(Ло/Лн + |
Л1/Л0/) + |
— г |
Ло/ (Ло/ — |
2ло/)- |
|
|||||||||
|
|
|
I |
|
|
О |
|
|
|
|
|
" / |
|
|
|
|
|
|
Приведенные в явном виде |
дифференциальпые |
операторы |
L/ml, Dj™ |
( |
т = 0, 1 ,2 , |
3) позволяют решать поставленные в § 2 краевы е задачи |
с |
точностью |
О (в4) в случае, когда уравнение поверхности раздела не |
линейно зависит от малого параметра. Аналогично могут быть обоб щены дифференциальные операторы и других краевы х задач для кусоч
но-однородных |
неканонических областей, рассмотренных |
в гл. |
3. |
|
7.2. |
О |
взаимосвязи первого и второго вариантов |
м етода |
возму |
щения формы границы. На основе обобщенного представления урав нения поверхности раздела типа (3.147) можно установить некоторую взаимосвязь изложенных в гл. 2, 3 первого и второго вариантов метода
возмущения формы границы. Предположим, что некруговая |
цилин |
|||
дрическая поверхность раздела (или замкнутая |
поверхность вращ ения) |
|||
описывается с помощью конформно отображающей функции |
со (£) = |
|||
= г0 [£ + |
в/ (£)] (£ = pe*v, | е |
1), причем |
координатная |
поверх |
ность р = |
р* совпадает с поверхностью раздела S (, а величины р, = |
114
= const, |
и |
r 0 = |
|
const |
характеризую т размеры |
S ,. В этом |
случае |
ко |
|||||||||||||
ординаты г, 0 |
определяю тся |
через |
<о (£) |
по формулам |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
г « г Г , 1/ й о |
Щ |
|
|
9 = |
|
a r c t g - g . “ g -. |
(S = |
pe‘v). |
(3.153) |
|||||||||||
Если из |
второго |
соотношения |
(3.153) выразим |
угол у |
= у (Р. 9» |
в) и |
|||||||||||||||
подставим |
в первое, |
то |
получим |
уравнение |
г = |
г (р, 0, е) |
(| е | |
1), |
|||||||||||||
которым |
описывается семейство (при различных значения |
р = р, = |
|||||||||||||||||||
= const,) |
|
некруговы х |
цилиндрических |
|
поверхностей |
раздела |
(если |
||||||||||||||
г, 0, г — цилиндрические |
координаты) |
или |
замкнутых поверхностей |
||||||||||||||||||
вращ ения, |
близких |
к сферическим |
(если |
г, 0, |
а — сферические коор |
||||||||||||||||
динаты). |
Т ак, например, |
при |
f (Q = |
f (р, |
у) = |
р~1ё~1у |
с помощью |
||||||||||||||
(3.153) находим |
|
зависимости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
г = р К |
1 + 2ер- 2 c o s 2у + |
t^p-4 , |
|
0 = |
a rc tg ( |
j ~~ ер_ 2 |
tg у ) . |
(3.154) |
|||||||||||||
Н а основе |
этого |
|
получаем |
|
уравнение |
|
|
\ |
1 + |
еР |
|
/ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
г |
= |
р |
|
|
I — е2р—4 |
|
|
|
|
|
(3.155) |
|||||
|
|
|
|
|
V |
, _____ |
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 2ер |
2 cos 20 -(- е2р 4 |
|
|
|
|
|
|||||||
которым |
при |
р |
|
= |
р, = const, |
1 |
описывается |
семейство эллипсов. |
|||||||||||||
Если |
правую |
часть |
уравнения |
(3.155) |
разлож ить в ряд |
по малому |
|||||||||||||||
параметру е ( |е | |
|
|
1), |
то с точностью О (в6) получим нелинейное |
от |
||||||||||||||||
носительно |
е уравнение типа |
(3.147), т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
г = р + |
ер-11cos 2 0 ---- 1- е2р—3 sin 2 2 0 -------е3р—5 sin 2 20 cos 20 + |
|
|||||||||||||||||||
|
|
- f |
-g -e 4p—7 ( 5 cos4 2 0 — 6 cos2 2 0 + |
1) + О (e8). |
|
(3.156) |
|||||||||||||||
И злож енны й в |
п. |
7.1 |
подход с учетом структуры уравнения |
(3.156) |
|||||||||||||||||
позволяет реш ать |
краевые задачи |
теории |
оболочек и пластин с эллип |
тическими свободными и подкрепленными отверстиями в полярных координатах г, 0, пространственные краевы е задачи для некруговых цилиндров с эллиптическими поверхностями раздела в цилиндричес
ких |
координатах |
г, 0, г, а такж е для вытянутых (в > 0) и сжатых |
|
(е < |
0) однородных и слоистых эллипсоидов |
вращ ения в сферических |
|
координатах г, 0, а |
(0 — угол широты). При |
таком подходе отсутству |
ет тот недостаток первого варианта метода возмущения формы границы,
о котором отмечено в п. 5.3 гл. 2. |
|
|
|
|
|
||
З а м е ч а н и е . Н а основе (3.154) зависимость |
переменной |
г |
от |
||||
угла у, представленная |
рядом по степеням в, |
имеет |
вид |
|
|
|
|
г — р + ep—1 cos 2у + |
~ е2р~3 sin 2 2 у ----- е3р—5 sin2 2у cos 2у — |
|
|
||||
— ~ |
в4р~ 7 (5 cos4 2у — 6 cos2 2у + |
1) + 0 (в8). |
(3.157) |
||||
Если у считать |
углом |
широты сферической системы |
координат |
г, |
у, |
а , то уравнение (3.157) в линейном приближении аналогично (3.156). Поэтому геометрические объекты, которые описываются уравнениями (3.156), (3.157), при малых значениях параметра е близки между собой.
Г л а в а 4
КРАЕВЫЕ ЗА Д А Ч И ТЕОРИИ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕРМОУПРУГОСТИ
ДЛЯ КУ СО ЧН О -О ДН О РО ДН Ы Х
НЕКАНОНИЧЕСКИХ ОБЛАСТЕЙ
Объектами исследования в настоящ ей главе являю тся пространствен ные кусочно-однородные тела с ортогональными и неортогональны м и поверхностями раздела, близкими к каноническим (координатны м) поверхностям (плоским, круговым цилиндрическим, сферическим и коническим). Д л я таких тел дана постановка краевы х задач теории теплопроводности и несвязанной линейной терм оупругости и излож ен приближ енный аналитический метод решения, аналогичны й развито му в гл. 2 и 3 на основе общих идей теории возмущ ений прим енительно к краевым задачам механики кусочно-однородных тел с неканоничес кими поверхностями раздела.
П ри этом, как и в математической теории теплопроводности [12, 38] в основу исследований положены условия идеального и неиде ального тепловых контактов, а такж е краевые условия, которы е представляю т определенную идеализацию действительны х ф изичес ких процессов.
Рассмотрены несвязанные статические задачи линейной теории термоупругости, когда действие температурного поля, известного из решения соответствующей краевой задачи теории теплопроводности, может быть заменено в уравнениях равновесия действием объемных сил, имеющих потенциал. Следовательно, на этом этапе реш ения крае вых задач предлагается использовать соответствующие варианты ме-: тода возмущения формы границы. В основу этой главы полож ены пуб ликации автора [81, 82, 84, 861.
§1. П остановка краевы х зад ач теории теплоп роводности
1.1.Уравнение теплопроводности. При обычной темплопередаче, про исходящей в неравномерно нагретом твердом теле, влиянием деформа ций тела на распределение в нем температуры можно пренебречь. Это позволяет изучать температурное поле в твердом теле независимо от его деформированного состояния. Предположим, что рассм атриваем ое
тело в |
недеформированном состоянии имеет тем пературу Т* = const. |
|
Тогда |
Т — Г* является |
приращением температуры, где Т — абсо |
лютная тем пература. Если |
в изотропном теле отсутствую т источники |
116
теплоты и пренебрегают теплотой, которая выделяется в процессе де |
|||
ф орм ирования, то |
уравнение теплопроводности |
в векторной форме |
|
имеет вид |
|
|
|
|
div (Я grad Т) = |
, |
(4.1) |
где А, — коэффициент теплопроводности |
изотропного тела; а — Х/рс —■> |
||
коэффициент температуропроводности (р — плотность материала, с — |
|||
коэффициент удельной массовой теплоемкости); |
t — время. |
||
П ри постоянном |
коэффициенте теплопроводности уравнение (4.1) |
в криволинейны х ортогональны х координатах а ъ а а, а 3 примет форму
1 |
■ д / н 2н 3 |
дт \ , д ( н хн 3 |
дт \ |
|||||
ИуН2На |
дах ( |
Нх |
даг J |
' |
даг { |
Нг |
да2 J |
|
|
■ д |
( Н ХН2 |
дТ \ ] |
__ 1 |
дТ |
(4.2) |
||
|
' |
да3 |
Н3 |
да3 |
JJ |
a |
dt |
|
|
|
|||||||
У равнениями |
(4.1), |
(4.2) |
описываются |
нестационарные температурные |
поля. Стационарному изотропному температурному полю отвечает уравнение Л апласа
1 |
г |
а |
/ |
н 2н 3 |
дТ |
\ |
д |
( |
НХНз |
|
|
НХН2Н3 |
[ |
да.! |
{ |
Нх |
дах |
J |
да2 |
( |
Нй |
|
|
|
|
+ |
|
д |
/ |
Н ХН2 |
|
|
= |
0. |
(4.3) |
|
|
да3 |
у |
Н3 |
|
|
|||||
Если теплопроводность тела |
в |
направлениях |
а х и а 2 одинакова, |
а в |
|||||||
направлении а 3 иная, |
то |
уравнение |
теплопроводности будет |
типа |
|||||||
(2.113). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теплопередача |
на поверхности S тела может происходить, как из |
вестно [381, тремя способами: теплопроводностью, конвекцией и из лучением . При этом конвективный перенос тепла осуществляется
движением |
среды (жидкости или |
газа), омывающей поверхность тела, |
||||||
а перенос тепла излучением происходит между удаленными друг от |
||||||||
друга телами |
посредством |
электромагнитных |
волн. Д ля |
однозначнос |
||||
ти |
реш ения |
уравнения теплопроводности необходимо дополнить его |
||||||
начальным |
и |
граничными |
условиями. |
|
|
|||
|
1.2. |
Начальное и граничные условия. В качестве |
начального усло |
|||||
вия обычно задается распределение температуры в начальный момент |
||||||||
времени. В |
предположении, |
что |
это распределение равномерно, на |
|||||
чальное условие записывается |
в виде |
|
|
|||||
|
|
|
|
П = о = 7 \ , |
|
(4-4) |
||
Заметим, что необратимый процесс теплопроводности описывается за |
||||||||
коном Ф урье о пропорциональности вектора |
теплового |
потока q гра |
||||||
диенту температуры, т. е. q = |
— X grad Т. Однако так как на поверх |
|||||||
ности тела могут происходить три |
указанны х выше вида теплопереда |
|||||||
чи, |
то граничные условия |
отраж аю т сложный теплообмен. Поэтому |
||||||
в математической теории теплопроводности обычно используют следу |
||||||||
ющие краевые условия [121, представляющ ие определенную идеализа |
||||||||
цию |
действительных физических |
процессов: |
|
|
117
когда на |
поверхности S |
задан о распределени е тем пературы |
|
|
|
|
T \s |
— t* |s |
(4.5) |
(** — известная ф ункция); |
|
|
||
когда |
на поверхности |
S зад ан |
подвод теп ла |
|
,дТ
|
|
|
|
|
|
|
|
дп |
= |
r *9 Is |
|
|
|
|
(4.6) |
|||
(q — тепловой поток |
в направлении |
безразм ерной отнесенной |
к |
х а |
||||||||||||||
рактерной дли н е г* внеш ней нормали |
п к S ); |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
когда на поверхности S задан а тем пература окруж аю щ ей среды |
Т* |
|||||||||||||||||
и зако н |
|
конвективного теплообмена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
а т |
— т ( Т |
— T*)s |
|
|
|
|
|
(4.7) |
|||||
|
|
|
|
|
дп |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m — критерий Б ио, |
h — коэффициент теплообмена, |
или поверхност |
||||||||||||||||
ной |
теплоотдачи); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
когда |
на |
поверхности S |
возможность теплообмена |
исклю чена (слу |
|||||||||||||
чай |
идеально теплоизолированной поверхности) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
дт_ |
|
|
|
|
|
|
|
(4.8) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
дп |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зам ечание. Если задан тепловой поток q через поверхность тела 5 в |
|||||||||||||||||
граничны х условиях. (4.6) |
необходимо |
поменять |
зн ак , |
т. е. на |
5 име |
|||||||||||||
ем ХдТ,!дп — — r*q. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
В теории |
теплопроводности различаю т теплообмен |
при |
свободной |
||||||||||||||
конвекции (при |
естественном |
перемещении ж идкости |
|
или |
газа |
вслед |
||||||||||||
ствие |
неравномерной их |
плотности, |
обусловленной |
|
неравномерны м |
|||||||||||||
нагревом) и |
при |
вынужденной |
конвекции (при |
движ ении жидкости |
||||||||||||||
или газа от механических воздействий, например, от |
нагнетания насо |
|||||||||||||||||
сом). Теплообмен при вынужденной конвекции происходит в основном |
||||||||||||||||||
более интенсивно, чем при свободной. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Заметим, |
что |
при теплообмене излучением меж ду |
поверхностям и |
||||||||||||||
S t и S 2, имеющими температуры |
T t и Т2, плотность теплового |
потока |
||||||||||||||||
через |
Sx определяется по |
формуле |
138] |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
q = |
о0е12 (Т | - |
71), |
|
|
|
|
(4.9) |
|||||
где ст0 = 5,67 |
1СГ8 |
Вт/(м2 |
град4) — постоянная Стефана — |
Вольц-- |
||||||||||||||
мана; |
е12 = |
const — коэффициент, зависящ ий от характери стик и зл у |
||||||||||||||||
чения и поглощ ения поверхностей, а такж е от относительного их рас |
||||||||||||||||||
положения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1.3. |
|
У словия |
теплового контакта. При исследовании |
тем пера |
|||||||||||||
турного поля кусочно-однородных или составных тел необходимо, кро |
||||||||||||||||||
ме краевых условий (4.5) — (4.8), задать условия теплового контакта |
||||||||||||||||||
(условия сопряжения) на |
поверхности |
раздела |
S t , |
|
представляю щ ей |
|||||||||||||
общую границу сред с различными теплофизическими свойствами. |
||||||||||||||||||
При |
-этом |
условия |
теплового |
контакта, например, |
|
на границе 1-го |
||||||||||||
и (I + |
1)-го слоев |
многослойного |
тела, |
могут |
быть |
следую щ ими: |
118
в случае идеального теплового контакта (на контактирующей по
верхности температура и тепловые потоки одинаковы) |
|
|
|||||
Ti |sj = |
Т/+1 Is,, |
дТ, |
дТ1+1 |
9 |
(4.10) |
||
'1~дп |
дщ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
в случае неидеального теплового контакта |
|
|
|
|
|||
дп1 |
|
|
|
|
г* |
|
|
|
|
|
|
XtRt |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(4.11) |
Зд есь П/ внеш няя нормаль к поверхности 5 / по |
отношению к /-му слою, |
||||||
Rt — контактное |
сопротивление (R T1 — контактная |
проводимость |
|||||
поверхности раздела |
5 г); m l — критерий |
Био, |
— коэффициент |
||||
теплопроводности, |
h t — коэффициент теплообмена |
/-го |
слоя. |
|
Кроме (4.10), (4.11) условия идеального и неидеального теплового кон такта могут быть записаны и в другой, в частности, интегральной ф орм е.
§2. М ногослойны е тел а
сортогональны м и поверхностям и р а зд е л а
Исследуем в настоящ ем параграф е многослойные толстостенные ци
линдры |
и |
близкие к |
сферическим |
оболочки вращ ения, |
поверхности |
||||||||||||||
раздела которых описываются на основе некоторой конформно отоб |
|||||||||||||||||||
ражаю щ ей |
ф ункции. |
Разовьем |
приближенный аналитический |
метод |
|||||||||||||||
реш ения |
краевы х |
задач теории |
теплопроводности |
для |
указанных |
ку |
|||||||||||||
сочно-однородных тел, изложенный |
в гл. 2. Т акая |
форма аналитичес |
|||||||||||||||||
кого решения удобна для использования |
при решении соответствующих |
||||||||||||||||||
краевы х |
задач теории |
термоупругости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2.1. |
|
Некруговые цилиндрические поверхности раздела. Рассмотрим |
||||||||||||||||
многослойный толстостенный |
цилиндр. |
Его граничные |
поверхности, |
||||||||||||||||
а та клее поверхность раздела /-го и (/ -f- |
1)-го слоев обозначим соответ |
||||||||||||||||||
ственно через 5 0, 5,v и S { (I = |
1 ,2 , |
М — |
1). Предположим, что кон |
||||||||||||||||
туры |
Г 0, Гц |
.... Г,у поперечных |
сечений поверхностей |
S 0t S u |
..., |
Sn |
|||||||||||||
списы ваю тся |
функцией |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
/•гГ'ю (£) = |
£ + |
е/ (0 |
= re iQ |
(? - |
peiv), |
|
|
(4.12) |
||||||
конформно |
отображающей |
внешность |£ | > |
I |
(внутренность |£ | < |
I) |
||||||||||||||
единичной |
|
окруж ности |
на |
внешность |
(внутренность) |
контура |
Г0. |
||||||||||||
П ри |
этом |
кривым |
Г 0, |
1 \, |
..., |
Г /v отвечают |
координатные |
линии р = |
|||||||||||
= |
р0 = |
1, |
р |
= р1( |
..., |
р = |
рN |
( к ^ |
1). Аналитическая функция / |
(£) |
|||||||||
и |
малый |
парам етре ( |е | |
1) характеризую т форму поверхностей |
5 0* |
|||||||||||||||
S lt ..., Sn, |
а го, plf р2........Pn |
|
их |
размеры. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Предположим, что перенос теплоты во внутрь рассматриваемого |
||||||||||||||||||
слоистого цилиндра происходит только теплопроводностью, причем |
|||||||||||||||||||
преобладает |
установивш ееся состояние (т. е. происходит стационарный |
119
теплообмен |
без источников тепла). |
В этом |
случае |
тем пература |
T t |
в |
|||||||||||
/-м изотропном слое с граничными |
поверхностями |
5 ; _ i |
и |
(/ = |
1, |
||||||||||||
2, |
N) в круговых цилиндрических координатах г, 0, z удовлетворяет |
||||||||||||||||
уравнению |
теплопроводности |
(4.3) |
(а г = |
г, |
а 2 = |
8, |
а 3 = |
г, |
Н г = |
||||||||
= |
1, Н 2 = |
г, Н 3 = |
1). Н а граничных |
поверхностях S 0 и S N м огут бы ть |
|||||||||||||
заданы |
краевые условия |
типа |
(4.5) — (4.8) |
или их |
комбинации. Н а |
||||||||||||
пример, если |
на S 0 задана |
температура t0, а |
на S n — подвод теплоты , |
||||||||||||||
то |
согласно |
(4.5), (4.6) краевыми условиями будут |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Is» = ^0 ls„i |
дТ. |
= |
|
r 0qN\sN |
|
|
|
(4.13) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
дпN SN |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(qt\ — поток теплоты в направлении |
внешней |
нормали |
Цу |
к |
S n ). У с |
||||||||||||
ловия |
сопряж ения |
на поверхности |
раздела |
|
(/ = |
1, |
2, |
.... N |
— |
1) |
|||||||
имеют вид (4.10) или (4.11) в зависимости |
от того, идеальны й или неи |
||||||||||||||||
деальны й тепловой контакт на S t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Д опустим, что |
требуется исследовать температурное поле |
рассм ат |
риваемого многослойного цилиндра при конкретных краевы х условиях типа (4.5) — (4.8) на <SP, Sn и условиях сопряж ения (4.10) или (4.11). Реш ение поставленной задачи будем искать методом возм ущ ения фор мы границы, изложенным в гл. 2 для ортогональных неканонических
поверхностей. Если на основе (4.12) |
учесть |
соотнош ения |
|
|
|
|
|||||||||||
Г = Го1Y a r n = |
г (р, V, е), |
0 = |
a r c t g - ^ - |
= |
0 (р, у, |
в), |
г = |
Ь |
(4.14) |
||||||||
то в выражении для температуры |
можно перейти |
к |
криволинейны м |
||||||||||||||
ортогональным координатам р, у, £, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Т[ (г, 0, г) = |
Г Д р, |
у Д , |
е). |
|
|
|
|
|
(4.15) |
|||||
Температуру T t будем |
искать |
в виде |
рядов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Т ^ |
у , |
1, е) = |
£ |
e " 7 f 1(р, |
у Д ). |
|
|
|
|
|
(4.16) |
||||
|
|
|
|
|
л=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно |
(2.156) |
температура |
Tt (г, |
0, |
а) |
определяется |
по |
ф орм уле |
|||||||||
|
T i(r, |
|
|
|
|
jjn)rp{m—n) |
|
|
|
|
|
(4.17) |
|||||
|
т = 0 |
м=0 |
|
|
|
(р> ? . I). |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где дифференциальные |
операторы |
1}п) |
записываются |
на |
основе |
ре |
|||||||||||
куррентного соотношения |
(2.148), |
а температура |
Т}т) |
(р, |
у, |
g) |
со |
||||||||||
гласно (2.162) удовлетворяет гармоническому уравнению |
теплопро |
||||||||||||||||
водности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
др2 |
1 Г др |
"р5" |
ду2 |
|
|
^ |
) (Р» V» £) = |
О- |
|
(4-18) |
||||||
После подстановки рядов (4.16), (4.17) в (4.15) для определения |
ком |
||||||||||||||||
понентов |
Т1п) |
(р, у, |) получаем |
формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
7 t 4 p . у Д ) |
= s |
(n — m)1 т Г Ч р , v ,i ) . |
|
|
|
(4.19) |
||||||||||
|
|
|
|
m=( |
|
|
|
|
|
120