книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

И з граничны х условий (4.106) или (4.107) и условий сопряжения (4.108) или (4.109) в итоге получаем систему алгебраических уравне­ ний д л я определения произвольных постоянных, входящих в вы раже­

ния для	u f f ,	которые соответствуют общему решению уравне­
ний равновесия		(4.102).
Таким	образом, в настоящ ей главе поставленные краевые задачи

стационарной теории теплопроводности и термоупругости для ортого­ нальны х и неортогональных неканонических областей сведены к ре­ куррентной последовательности краевы х задач для соответствующих канонических областей.

Замечание. Аналогично могут быть рассмотрены краевые задачи теории теплопроводности и термоупругости для слоистых тел с по­ верхностями раздела, близкими к плоским и коническим, которые яв­ ляли сь объектом исследования § 1,5 гл. 3.

Г л а в а 5

ПРИМЕНЕНИЕ МВФГ В СОЧЕТАНИИ

СДРУГИМИ АНАЛИТИЧЕСКИМИ М ЕТОДАМ И

ВНЕКЛАССИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗА Д А Ч А Х

П од неклассическим и краевыми задачами механики кусочно-однород­

ных у п р у ги х тел	с неканоническими поверхностями раздела (в тем
числе граничны ми	поверхностями) в настоящ ей главе будем понимать
так и е, которые ввиду математических трудностей принципиального

х ар актер а не поддаются аналитическому реш ению с помощью разви ­

ты х в гл . 2, 3 вариантов метода возмущения формы границы						(М ВФ Г),
несм отря	на то что		геометрия границ раздела		рассм атриваем ы х тел
относится	к тому ж е		классу ортогональны х или неортогональны х				по­
верхностей . К		ним,	в частности, относятся краевы е задачи для				не­
канонических		областей		конечных размеров,	требую щ ие	наряду	с
М ВФ Г на	каж дом этапе итерационного процесса применения метода
суперпозиции		Л ам е	(или	метода однородных решений); краевы е зад а ­

чи для тел неканонической формы с усложненными упругими свойст­ вами (физическая нелинейность, неоднородность, анизотропия), для реш ения которых в ряде случаев можно эффективно использовать М В Ф Г в сочетании с методом возмущения упругих свойств; некоторые связанны е квазистатические краевые задачи механики насыщенных сред с неканоническими поверхностями раздела, допускаю щ ие ан али ­ тическое реш ение М ВФ Г вместе с методом преобразования Л ап ласа по времени, и др. Подходы к реш ению каж дого из указанны х классов краевы х задач имеют свои особенности и различия, однако общим для них является геометрия и исследуемые физико-механические поля рассматриваемых тел, которые приводят к необходимости примене­ ния М ВФГ совместно с другими аналитическими методами.

§ 1. М етод суперпозиции и МВФГ в краевы х задачах д л я конечных упругих ц илиндров с осесим м етричны м и вы точкам и

Аналитическое решение пространственных краевы х задач теории у п ру ­ гости для тел конечных размеров сопряж ено со значительными мате­ матическими трудностями. В настоящее время для такого класса за ­ дач успешно развиваю тся преимущественно два аналитических мето­ да: суперпозиции и однородных решений.

142

П ервый из них основан на идее Л аме [154]. Она первоначально относилась к задаче о симметричном (относительно трех плоскостей симметрии) напряженном состоянии параллелепипеда под действием нормальны х нагрузок на гранях. Принцип суперпозиции для указан­

ной	задачи заклю чается		в следующем: если требуется удовлетворить-
краевы м условиям		на трех парах граней параллелепипеда, то необхо­
димо	использовать	три	соответствующих линейно независимых ре­

ш ения уравнений равновесия для слоя. Такой подход неизбежно при­ водит к бесконечной системе алгебраических уравнений относительно постоянных коэффициентов рядов, входящ их в каждое решение для слоя. Теория такого типа бесконечных систем, в которой наряду с дру­ гими математическими вопросами должное внимание уделено исследо­

ванию асимптотических свойств неизвестных постоянных,		разработана
Б . М. Кояловичем [42]. На ее основе метод суперпозиции		получил су­
щественное развитие в монографии	В. Т. Гринченко [19] применитель­
но к статическим и динамическим	задачам теории упругости для тел

конечных		размеров, ограниченных координатными поверхностями (или
линиями)		различных	семейств.
Второй аналитический подход к решению краевых задач для тел
конечных		размеров — метод однородных решений — впервые предло­
ж ен	в работах П. А. Шиффа [158] и				В. А. Стеклова [134]. Сущность
его	заклю чается в том, что			ставится	граничная задача	о построении
собственных функций			на	части общей границы тела,		являющейся

координатной поверхностью одного семейства, при нулевых напряже­

ниях	или смещ ениях на остальной части границы, которая принадле­
ж ит	к другому семейству координатных поверхностей. Развитие и
практическое применение этот подход получил			в работах В. К. Про­
копова [125] (он освещен		такж е в монографии	[51]).
Задача принципиально		услож няется, если	одна из частей общей
границы тела (например,		боковые или торцевые поверхности цилин­

дра) отклоняется от координатной поверхности.

В работах [11, 89, 91] предложен подход к решению пространствен­ ных задач теории упругости для цилиндрических тел конечных разме­

ров с боковыми или торцевыми							выточками, основанный на совместном
применении			МВФГ и принципа				суперпозиции. Сущность его состоит
в том,		что с	помощью второго варианта М ВФГ (см. гл. 3) поставленные
задачи сводятся к рекуррентной последовательности соответствующих
краевы х задач для круговых цилиндров конечных размеров, в которых
торцы совпадают с координатными плоскостями, а на каждом этапе
итерационного				процесса	применяется			принцип	суперпозиции. Это
приводит в каждом из последовательных приближений к бесконечной
системе алгебраических уравнений, в которых асимптотические свой­
ства	неизвестных постоянных					исследуются с помощью разработанного
в [19,		20, 42] метода. Такой				подход излагается			ниже применительно
к осесимметричным задачам для							конечных изотропных и трансверсаль­
но изотропных упругих цилиндров с выточками									на боковых и торце­
вых	граничных			поверхностях.
1.1.		Цилиндры с			выточками на			боковых	поверхностях. Д л я про­

стоты изложения рассмотрим сплошной цилиндр, боковая поверхность

143

S r которого в безразмерных цилиндрических координатах г, z (отне­

сенны х

к

радиусу

г0 соответствующего

невозмущ енного

цилиндра)

описывается уравнением

r =

l +

e/(z)

( | в К 1 ) ,

(5.1)

где f (2) — непрерывная и дифференцируемая

ф ункция,

хар актер и зу ­

ю щ ая

геометрию

поверхности

S r.

Д опустим ,

что

в

направлении

оси

г

рассм атриваем ы й

цилиндр

ограничен

координатными

плоскостями

S * ,

т. е.

S f ~ z

= h,

ST ~ z

=

— h

{h = const).

(5.2)

П усть требуется

определить

напряженно-деформированное

состояние

рассм атриваем ого

цилиндра в случае действия осесимметричны х

уси­

л и й

F k (z) (k = г, z) на боковой

поверхности

S r и Q * (г) на

торцах

Sz

С ледовательно, на общей границе цилиндра краевы е условия име­

ют

вид

(оггЯг -f~ ^ггЛг)г=1+е/(г) =

F г,

(рггПг -J- ОггЦг)г=1+е/|г) ~

F г’

(5.3)

Огг |z=±h =

Qr » Огг |z=±ft =

Qz •

.Д л я

реш ения

поставленной

осесимметричной задачи

необходимо

найти

перемещения иГ, иг и напряж ения агг, стае, сггг,

о гг,

удовлетворя­

ющие уравнениям

равновесия

(2.12)

(в отсутствие

объемных

сил) и

краевым

условиям

(5.3).

Согласно

второму варианту МВФГ (см. гл. 3) реш ение задачи ищ ем

в виде рядов

м»!= Е

е У / \

a km =

£

e'ojS*.

(5.4)

/=о

/=о

Тогда

в

/-м приближении (/ >

0) на

основе (5.3), (5.4)

получаем сле­

дую щ ие краевые

условия

на

координатных

поверхностях:

Л!) I

=

F /{] — £

[D fa 5 T s) +

D f o g A - i

Огг 1г=1

s=I

_(/1 1

II

" S 1

-

Q

a I

= <pi"!(z),

M

Б

+

«

-

*

1,-1

Огг |г=1

I

nii) I

f

_гл±(/>

=

f i \ r ) ,

°2Z |z=±ft =

Чг

nU) 1

,

_

n ±(/)

=

± q 4 'V > .

Orz \z=±h — 4.r

Зд есь

F iP,{

Q(iP — известные

коэффициенты

разлож ений

заданны х

функций

F k, Q t

в ряды по степеням е (если F k и Q* не

зависят

от е,

то

F ? =

F„,

= Q „

f t

=

Q*u>

=

0

при / >

1).

Д л я

удовлетворения

граничным

условиям

(5.5)

в соответствии с

известным методом суперпозиции [19, 201 предположим,

что

компо-

.ненты перемещений

w(/ \

и(Д

а

такж е

напряжений

a Jr\(

а $ ,

о Д

<$1,

144

соответствую щ ие

общему

решению

уравнений

равновесия, состоят из

д ву х

частей:

и)? =

иЦ\ +

Ы*.2,

Окт = 0*т. I +

^т.2 -

(5.6)

Компоненты

выбираю тся в такой форме, чтобы найденные по ним

на основе соотношений (2.9) и закона

Гука

(2.31) или

(2.34) напря­

ж ения Okl, 1 удовлетворяли

граничным

условиям

(5.5) на

поверхнос­

ти

г — 1.

Составляющ ие

ufy

выбираются

так,

чтобы

напряжения

«4т,2 удовлетворяли

краевым

условиям на

торцах г =

Н апря­

ж ени я, соответствующ ие первой и второй частям (5.6), должны

иметь

вид рядов

по полным

на отрезках

0 ^

r

1 и —h ^ . z ^ h системам

ортогональны х функций.

И з о т р о п н ы й

ц и л и н д р . Согласно

представлению

реше­

ния

уравнений равновесия изотропного тела в форме П. Ф. Папкови-

ча — Г Нейбера

(2.52) в случае осевой симметрии компоненты

пере­

мещений

«ЦР (k — г, z) определяю тся

по формулам

и<п =

дг

4 ( l _ v ) 4 '< /),

дФ^

—

4(1 - v

) ^ ,

(5.7)

дг

где

Q U) =

цг</) +

r \y(/'i + 2y ( j\

(5.8)

Зд есь

— гармонические

ф ункции,

а

Ч'У1

удовлетворяет

уравнению

д2

—

^

(Г, z) — 0.

(5.9)

дг* ^

г

дг

^

дг2

В предположении, что цилиндр находится под действием усилий, сим­ метричных не только относительно оси г, но и плоскости г — 0, функ­

ции	xFo(l,	¥ $ ,	^ ? i»			отвечающ ие первым частям					(5-6), выбираются
в виде
		Y #		=	ао° (г) +		Е	<*пЛ (г) cos knz,		4^1	= 0,
											(5.10)
		Уол		=	6оЛ (г) +		Е	b f (г) cos knz		(ftn =	.
Ф ункции		¥0(2,			гР^2, соответствующие вторым слагаемым в (5.6),
выбираю тся в форме
		4	$	=	0,	Ч'(Д	=	со0 (z) + Е	c\h (г) J 0 (V )*
											(5.11)
				=	4 / , (2) +		Е	d \» (z)Jo	(V )»
							f=i
где	к{ — корни			уравнения			J x (X) = 0;		J n (Xjr) — функция Бесселя
первого		рода.

145

Т ак

как

ф ункции

= 0,

z\

£ = I;

2) долж н ы

быть

гарм они ­

ческими,

а

ф ункция

Должна удовлетворять уравнению (5.9),

то

на

основании

этого

легко

получить

уравнения

для

ф ункций

а р (г),

Ь р

(г),

с р

(2),

d f

(2):

( " г г

+

~ r

So" (о

=

о,

- £ r #

М =

о,

-g^r *ЙР(г) = О,

J___d_

(5.12)

r

dr

d2

(n !>

1,

£ !>

1).

(

dz2

У читы вая

требование

ограниченности решений уравнений (5.12)

при

г

=

0,

представления

(5.6),

(5.7), (5.10), (5.11), а

так ж е

симмет­

рию

поля напряж ений

относительно

координатной

плоскости 2 = 0 ,

д л я

перемещений получаем

оо

и Р

=

B f r

+

2

\А р z sh Xcz + C f ch X{z]

( V )

+

+

2

[ В™ ■4 '1ь ~ - ~

11 (knr) — B^ r I о ( V ) — D n{ l i (knr)I cos knr,

n=1 L

Rn

J

(5.13)

u f

=

4 "

Z +

s

A P

3

. 4vsh X/Z — A pz ch X(z —

i=l L

— C p sh V

J

J 0 (V )

+ 2 ISn'V/i ( V )

+ ^ n ’/o ( M

l

sin knz.

/1=1

Здесь

I„(k nr) — ф ункция

Бесселя

мнимого

аргумента;

А р ,

В Р ,

С р ,

D P — произвольные

постоянные.

В

случае

антисимметричного

относительно плоскости

2 =

0

на­

пряж енного

состояния

вы раж ения

для компонентов

перемещений

имеют

вид

и Р

=

— 2(1 — v) ( В р +

С Р) гг +

2

[A pz ch \ г

+ C P sh М

h

( V )

+

1=1

+

S

Г-

4(lr

Л

V)' 7‘ ( W

+

BnV /, ( м

+

О У /, ( V )

sin /г„2;

/1=1 L

(5. И )

и Р

=

+ В р г2 +

C pz2 +

2

[/11Л

ch Х<2 -

4

Лг sh V

-

— С р ch М ]

«/0 (^ г) +

[BP r I l (&„г) -{- D ^’/ 0 (ifenr)J

cos knz.

T46

В (5.13), (5.14)			слагаемы е			с	произвольными постоянными А(Р , С|Л
соответствую т решению для периодически нагруженного слоя											и эта
часть	реш ения	(5.6) ответственна						за удовлетворение граничным			усло­
виям	(5.5) на торцах z =				± / i ,		а слагаемые с произвольными постоян­
ными	B p , DjP	соответствуют решению							для периодически нагружен­
ного	цилиндра	и удовлеворяю т граничным условиям (5.5) на боковой
поверхности г =			1.
Н а основании			закона		Гука		(2.34) и выражений (5.13) или (5.14)
легко	записать	формулы			д л я		компонентов напряжений			aim-
В	предположении,			что		в	краевы х		условиях (5.5)	выполняются
равенства
	f P (z ) =			f (/ ) ( - z ) ,				ср!л (2)	= - с р '/ Ч - г ) ,		(5.15)

при построении общего решения задачи можно ограничиться представ­ лением (5.13). Кроме этого будем считать, что в рассматриваемой крае­

вой

задаче выполнены

условия

парности касательных напряжениям

по угловым

линиям (г =

1, г =

±

к),

т. е.

ф<7) (h) =

ф2;) (1),

ф<7) (— ft) =

— ф2У) (1).

(5.16)

Д л я

этого необходимо,

чтобы производная

f ' (z) обращась в ноль при

z =

± Л и относительно заданны х

усилий соблюдались условия

F P

(ft) =

Qr±(/) (1),

F f

( - ft) =

-

Q*(7) (1).

(5.17)

Д л я

реш ения

краевой

задачи с граничными условиями (5.5) предста­

вим функции / (Д

ф;Л рядами Ф урье и Ф урье — Дини:

f P

(z) = f P +

£

f P cos knz,

ф1Л (z) =

£

ф(1п sin knz,

(5.18)

f p

(z) =

/20 +

£

f p J Q( V ) .

Ф21(г) =

£

Фи Л (Я,г),

£=1

i=l

коэффициенты

которых определяю тся по известным формулам:

h

h

/ 1 0 = 4 " 0S №

w

dz’

№

=

x 0J ^

w

cos k"zdz'

h

1

ф $

—

£ ф!Л (z) sin knzdz,

/20 = 2 j

/гЛ (г) rdr,

(5.19)

t

о

0

1

/2? = -.y f. ,

$

И

•/« (Я.г) rd r,

ф2; = - г Л —

J Ф2Л (r) J t ( V )

•'о

о

J() lAj)

0

Подстановка выражений для

напряж ений,

соответствующих пере­

мещениям (5.13),

и рядов

(5.18) в краевы е условия

(5.5)

показывает,

что

так как

(Я/) =

0

и

sin knh

=

0, то

условия

для касательных

напряж ений приводят

к следующим

зависимостям

между

произволь­

147

+ £ n=l

и учтем разлож ения

cos knz

ными	постоянными:
	С \%	=	A f (1 — 2v — %th cth Щ						Фй
								+ - jjfg jj- ,
										(5.20)
	n</)fe	_	Го И _V)__k				^	1 -I---- — ___
	U n bn - t S n |^ ( 1			V)	Ra h(kn)			J f	h(kn) •
П ри	удовлетворении		краевым	условиям			(5.5) для		норм альны х	н ап ря ­
ж ений используем представления					гиперболических ф ункций					триго­
нометрическими
			sh %h	v i	2 (— l)n %, sh K.h
	Л %iZ =		+	2		h u £ + tf>			cos knZ'	(5.21)
	г sh Xtz =	------- + Yj		\ t _	3	r	ch V * cos k*z +
		£	Kin	n=l		Rn	' Ki

2 (— l)n (k„ — Ц) sh W h(k2 + ^ ) a

	i . м		-	Rn	+	a . / ,			S		.
										+ Ц) Jo ( \)
											(5.22)
	V	/ i	(V ) =		2 /0 (*„) -				+	2k'nI 0' (/>„) x
	у		^o(V )			-		( / ? ) У			/д(Х£г)
	f i	< 4 + 4>			<V			1 (	,t !	< 4 + Ч> л (4)
В итоге приходим к системе уравнений второго порядка
	2v	0(Л |		1 — v		да)		rf/)	л	V (	1 \« Ф1я
Т ~ 2 7 Во + T - 2 V							= Л о — 2 У (— 1) - г — .
									n=i		(5.23)
	1 — 2v		вС/> i		v	у|(Л_х(Л			•	V1	Ф2^
			+ " i _ 2 v			Л°	~	/ 10----- г 2 J			J о (^f)
и к бесконечной			системе алгебраических уравнений
			л л _	1	V	./л		kl		,
			"			1		w		+ t	-
											(5.24)
				I	V»	,(/)		_______		Мл
										____
					] £	*я				+
					>		" « г + Ч )* "г г < ’
в которой	вместо Л /			и б!/1 введены				новые неизвестные по формулам
*пл =	8G (—		l)rt		(/г„),		£/1л	=	- - § £ . л 1 '\ Sh у г . / 0 (^ ) . (5.25)

148

К ром е этого в (5.24) введены обозначения

,

= _ L \ А

(*я>

1 — 2

I — V

(Ал)

4Xi

s^ \ h

j

’

1)П/ы —

A i k L l ___ L

V

J ^

L

/ ПЧ

(5.26)

(

J

An

L1

Rn

h (An)

J

A

2 j

£ +

X2

J 0 (h h

N V =

~ J o

( h ) <№ +

Ф2? Cth l th)

+ 2 S

\n

‘PinAn

( - 1 ) " - Г Т 7 У .

/2=1

K~n + fcjf

Исследование бесконечных систем алгебраических уравнений типа (5.24) подробно проводится в работах 119, 20, 42]. Поэтому здесь на данном вопросе останавливаться не будем. Отметим только один из наиболее существенных результатов, имеющий принципиальное значение при практической реализации метода суперпозиции. Это — справедливость закона асимптотических выражений для неизвестных

х р и у \'\	согласно которому они		обладаю т	следующими асимпто­
тическими	свойствами:
	lim	х Р — П т	у Р{ — а Р ,	(5.27)
	П-*оо	1-*оо

т. е. неизвестные в каждом приближении стремятся к общему для них

иотличному от нуля пределу.

Следовательно,	для	достаточно больш их значений N и М с прием­
лемой для приложений точностью можно полагать
х Р =	а Р	( V n > N ) , у ? = а Р	(5.28)

Тогда бесконечная система алгебраических уравнений (5.24) примет вид

м

„(Л

I

м (/>

+

ivltl

i=l

<А*+*?)а

V*

(А1 +

%)*

Vn

^

N

(5.29)

.(f)

%

+

v

*£

№

У{р =

I f -

S

- f

х"

(A* +

^

nJ tf+t

(kl +

ty*

Vt •

" ,

^

Реш ение

системы (5.29), учитывающее

асимптотические

свойства не­

известны х

х Р ,

у Р ,

вблизи угловых

точек

и

линий

принципиально

отличается

от

реш ения

конечной

системы

м

м р

у(/> _

1

V

*п

Vn

~

к

у

< % + &

(5.30)

/V

ы р

U)

,(/•)

_

1

V

х<>

+

W,

1

—

ib'.

Z j

Хп

<А^ +

А,()а

‘

п=1

"'г

полученной из (5.24) методом простой редукции (какими бы большими М и N не выбирались).

149

Зам ечание. Д л я реш ения краевой задачи о напряж енно-деф орм и ­

рованном состоянии цилиндра, боковая		поверхность S r которого опи ­
сы вается	уравнением (5.1), необходимы	эффективные алгоритм ы	вы ­
числения	перемещений, напряж ений и их производны х первого,		вто­

рого и высших порядков на границе г — 1. Это следует из того, что

указанны е производные в соответствии			с	(3.65), (3.144)		содерж атся
в дифференциальных операторах D i \			D i{\	входящ их в краевы е			ус­
ловия (5.5). Затруднения, которые встречаются при					вы числении		н а­
пряж ений и их		производных в задачах	с краевыми		условиям и типа
(5.5),	приводят к	необходимости разрабаты вать соответствую щ ие при ­
емы	улучш ения	сходимости рядов для	напряж ений		при	г = 1,	а в

качестве производны х от напряжений при г = 1 брать их предельны е

значения		(при	г -> 1). Однако внутри			области, занимаем ой цилинд­
ром,	соответствую щ ие			ряды для	напряж ений		и	их	производны х
сходятся достаточно хорошо. В работе [921 приведен								явны й		вид вы ра­
ж ений	для вычисления			напряж ений и		их производных			при		г = 1.
П ри этом		для	их получения согласно			представлениям (5.20), (5.28),
(5.29)	использую тся асимптотические разлож ения						модифицированных
функций		Бесселя I m (kn) (m = 0;			1) и корней к( уравнения					Л	(Я) =
= 0 [1331		при больш их		значениях п (n		N)

				3	15		(5.31)
				8*я	128^
					П
Отметим такж е, что значения N и М в (5.28), (5.29), а такж е в соот­
ветствую щ их им вы раж ениях для напряж ений и						их	производных не
обязательно			долж ны быть одинаковыми. Кроме этого				если на каком -
либо	этапе		(решение бесконечной системы, вычисление напряж ений
или	их	производных) требуемая точность не достигается, то значения
N и	М	следует увеличить.
Т р а н с в е р с а л ь н о				и з о т р о п н ы й		ц и л и н д р . П ри

решении рассмотренного выше класса задач с краевыми условиям и (5.5) для трансверсально изотропного цилиндра общее реш ение ур ав ­ нений равновесия в перемещениях можно использовать в форме (2.66).

В	случае осевой симметрии (Ф<у) =		Ф)Л (г,	z), Фзу) = 0) вы раж ения
для	перемещений и напряж ений	имеют вид		(2.73). Д л я действитель­
ных и различны х корней х, (хх Ф		х 2)	характеристического уравнения

(2.65) функции Ф |/) (г, z) (в случае симметричного относительно плос­ кости z = 0 распределения напряж ений) допускаю т представление

(5.32)

150