книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела
..pdfрезультатов сравнения в конкретных задачах, нельзя полностью рас
пространить |
на другие задачи без дополнительных обоснований. По |
|
этому всегда |
возникает необходимость проверки точности |
и пределов |
применимости |
полученных приближенных результатов |
в каждой |
новой конкретной задаче. Приведенные в настоящем параграфе услов ные мажорантные оценки могут служ ить дополнительным свидетельст вом эффективности развитого подхода. Однако они основаны на сле дующем предположении: если между найденными несколькими первы
ми последовательными приближениями |
выполняется |
неравенство |
| 0£/+1> И a \f | < | of} |/| а!/- 0 !, то оно |
выполняется и |
для после |
дующих приближений. Сравнение условных мажорантных оценок сточны м и решениями показывает, что для такого предположения есть основания [76]. Это подтверждаю т такж е оценки сходимости рядов, соответствующих номинальному напряженному состоянию. Если такое предположение справедливо, то появляется возможность оценить произвольный член степенного ряда, а такж е остаток ряда через из вестные предыдущие члены. Практически это означает, что, не решая задачу, можно оценить вклад (л + 1)-го приближения через известные (л — 1)-е и л-е приближения. Т акая оценка будет тем точнее, чем боль
ше членов |
ряда нам известно. |
2.1. |
Некоторые основные неравенства. Решение краевых задач |
механики |
кусочно-однородных тел с ортогональными (гл. 2) и неорто |
гональными (гл. 3) поверхностями раздела (в том числе граничными
поверхностями) с помощью первого и второго вариантов |
МВФГ ищется |
в виде рядов |
|
оц,1 = S |
(6-16) |
/1=0 |
|
Предположим, что функциональные коэффициенты af/j рядов (6.16) обладают свойством
4 .1 |
т(и) |
|
(6.17) |
Jf/./ |
( П > 1). |
||
■Лп) |
|
|
Некоторые аргументы, послужившие основанием для такого предпо
лож ения, будут приведены в пп. |
2.2, 2.3. |
|
Н а основе (6.17) имеем |
|
|
И /М 3 |
(6.18) |
|
1 |
( п > 1). |
|
I |
|
Неравенство (6.18) позволяет оценить произвольный член ряда (начи ная с третьего) через известных два предыдущих приближения. Это неравенство имеет важное значение при решении конкретных задач, так как позволяет, избегая трудоемкую работу, оценить целесообраз
ность отыскания точного значения более |
высоких приближений. |
|||
Из (6.16) следует; что для |
любого k ^ |
0 имеем |
|
|
|
k |
|
(6.19) |
|
К ' . / К |
+ |
1 Rk I» |
||
|
||||
|
п=0 |
|
|
181
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
(от+й+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
| / ? . ы « П < № 1 Е 1 « г |
aii,l |
|
(6.20) |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
m=О |
|
|
|
|
||
Т ак как из (6.17) следует, что |
|
|
|
т |
|
|
|
|||||
|
|
|
_(m+fc+l) |
|
|
„Щ, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
aif.l |
|
( m > |
1), |
(6.21) |
|
|
|
о<*+1> |
|
|
|
°ij.l |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Ihi |
|
|
|
|
|
|
|
||
то |
для оценки |
остаточного |
члена |
Rk ряда |
получаем неравенство |
|||||||
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
„<*> |
— |
|
|
|
|
,ft+i |
|
|
1 — |
/tW. |
(6.22) |
||||
|
| К , К |
- Ь |
^ |
|
(*—1) |
|
||||||
|
| е |
Г |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
К л 7 и 1 |
|
аш |
|
|
|||
Тогда исходный ряд (6.16) может быть оценен через k + |
1 известны х |
|||||||||||
его |
членов |
|
|
|
|
|
|
(fe) |
12 |
|
n(fe) |
1—1 |
|
|
|
|
|
|
ft-H |
|
|||||
I |
I < a i/.t = |
е |
(Ji/j |
+ |
|
T O |
|
1 — |
|
. (6.23) |
||
| 8 | |
|
(fe-1) I |
o g j 1' |
|||||||||
|
|
п=0 |
|
|
|
|
|
I ai/7 |
|
|
|
|
Эквивалентным |
является |
такж е несколько другое неравенство |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,<*) |
1—1 |
|
11 ././1< <1.7./ = |
Е в"«й , |
+ 1 |
е |* / о й || |
1 — |
Jt/J |
(6.24) |
|||||
|
t/./ |
|||||||||||
|
|
|
л=О |
|
|
|
|
|
|
|
|
В (6.23), (6.24) через 0/},i обозначено мажорантное значение суммы ряда
(6.16). |
|
|
|
|
|
Т ак как |
для последовательности остаточных |
членов |
вы полняю тся |
||
неравенства |
| Rk | > I Rk+\ | > | Rk+ч | > |
то |
оценки |
(6.23), |
(6.24) |
будут тем точнее, чем больше k. |
|
|
|
|
|
Допустим, что, как и прежде, известно |
k + |
1 членов |
рядов |
(6.16) |
и требуется определить количество л членов этого ряда, необходимое
для того, чтобы остаточный член не превосходил |
наперед заданное по |
||||||
лож ительное |
число 5*, |
т, |
е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.25) |
С этой |
целью представим (6.19) в виде |
|
|
|
|||
|
|
k—2 |
|
|
|
(s+fc-1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К / . / К |
2 j е а Ч‘1 |
|
E |
l e f |
Jij.l |
(6.26) |
|
|
aif.l |
||||||
|
|
s=0 |
|
s=0 |
|
||
П риняв |
во внимание (6.21) и выделив из |
(6.26) л членов (л > |
k), по |
||||
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
к—2 |
|
|
п—k |
(Ь\ |
|
|
Т О / К |
|
|
|
|
гт\К) |
|
|
Е |
+ и |
П |
о 1 ‘ 7 '’ 1 Е |® 1 ! |
+ | R n -i I- |
(6-27) |
||
Здесь |
s=0 |
|
|
5=0 |
° V |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Лк) ft—k-\-{ 00 |
|
|
|
|
|
|
|
°£/.1 |
S |
|
(6.28) |
|
|
|
|
з«7» |
(/г-1) |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
чЛ |
S=О |
о)Ш |
|
182
В предположении, что ряд |
(6.16) сходящ ийся, т. е. |
|
|||
|
|
,<*) |
|
|
|
& |
|
7и,1 |
< 1 |
(6.29) |
|
T(ft-1) |
|||||
|
|
|
р яд в правой части (6.28) представляет бесконечно убывающую геомет
рическую прогрессию. |
|
|
|
|
|
|
Следовательно, на основе |
(6.28), |
(6.29) условие |
(6.25) примет вид |
|||
„(*) |
Л—ft-fl |
1 __ |
|
„(ft: |
—I |
|
аш |
|
0(fe-D |
|
(6.30) |
||
|в Г 1 о В 7 1,| |
|
1 ■ |
J |
|||
аш |
|
|
аШ |
|
||
Отсюда находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
ft—1 |
|
„(ft) |
|
|
lg |
|
I — |
°ИЛ |
|
||
|
T(ft-H |
|
||||
I °if,I |
•8 7 " |
|
|
(6.31) |
||
Лк) |
|
1a,i |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lg |
fMt-U |
|
|
|
|
|
|
aij.l |
|
|
|
|
где £* [а] — число а, округленное до |
целого |
|
по общепринятым |
пра |
||
вилам . |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, приведенные неравенства (6.18), (6.22) — (6.24) и (6.31) позволяют оценить произвольный член, остаточный член, сумму ряда и количество членов ряда, необходимое для достижения наперед заданной точности, через известные предыдущие члены ряда (6.16). Эти оценки будут тем точнее, чем больше известно первых членов ряда (6.16).
2.2. О сходимости рядов для номинальных напряжений. Пред положим, что рассматривается пространственная краевая задача для бесконечной упругой среды с замкнутой ортогональной неканониче ской полостью или жестким неканоническим включением, находящейся «на бесконечности» под действием усилий, которым отвечают номи
нальные напряж ения а,у (i, / = х, у, г). В криволинейных ортогональ ных координатах р, у, <р краевые условия в этом случае могут быть представлены в виде:
на поверхности |
ж есткого |
включения |
so |
I |
|
|
|
|
|
|
|
е> |
|||
Щ (Р. V. Ф) Ip=i = |
■«/(р> ъ |
|
|
Afsm (Р- Y' Ф> |
|||
ф )|р= 1 = — 5 ] Ц - |
1CD|s 10>' Г |
Р=1 |
|||||
|
|
|
5=0 т —0 |
||||
на поверхности |
свободной от напряж ений |
полости |
(6.32) |
||||
|
|||||||
|
|
|
*1 |
- |
В/ т (Р- У» |
Ф> $ |
|
<Гр/ (р, у, ф) ]р=1 = |
— Ору (р, |
у, ф) |р=| |
- S |
S |
|||
К о Г |ш 'Г |
|||||||
|
|
|
s=0 m=( |
(6.33)
Здесь со, со' — конформно отображающ ая функция (2.174) и ее произ водная; A/smI Вjsm — известные полиномы относительно, е; s0, — целые положительные числа.
183
Представление правых частей (6.32), (6.33) основывается на форму л а х преобразования (2.135) — (2.136) и вы раж ениях (2.137), (2.143), согласно которым имеем
|
#л |
Re ак |
1гп (и |
|
|ш | |
||
|
cos kQ = |
—— — , |
sin& 0 = |
|
г = |
|
|
|
|
со |
|
I <в|* |
|
|
(6.34) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c o s n P = . K |
g |
s , s ln n p = |
? g y > |
. |
||
|
|
P | (O1 |
| Ofl |
I |
p |
I 0) |n I 0) |
I |
Т ак как |
<в (£) = г<Г' 1C + |
е/ (£)], то характер |
сходимости рядов по |
||||
степеням |
параметра |
е, полученных в результате разлож ений правых, |
|||||
частей (6.32), (6.33), зависит |
от показателей s, т . Т ак, наприм ер, если |
вслучае осевой симметрии предположить, что в сферических коорди-
ЛЛ
натах г, 0, а перемещения ип ив (при осесимметричной деформации
без |
кручения) |
в |
соответствии с (6.34) |
содержат |
(r0r)~ s = |
| со |“ s, а |
||||||||||
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
Л |
иа (при |
осесимметричном кручении) — | со |~ , то |
напряж ениям а гг, |
||||||||||||||
СТ0О, |
оаа, |
огв будет |
|
отвечать |
| со | s |
а |
ога, а 0а ~ |
| со | к |
'. |
Следова |
||||||
тельно, |
согласно |
(2.135) — (2.136), |
(6.34) |
наблю дается |
соответствие |
|||||||||||
|
|
|
|
|
ир, |
иу — | со | |
s 1J со' J |
\ |
ыф ■—-1 со | |
k, |
|
|
||||
|
|
|
Орр, |
Oyy, |
Opy ~ | со |—15—31 со' \~2, |
а,рф ~ | со |—s_l, |
|
(6.35) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"'Рф! |
со I—k—2 ICO' |
|
|
|
|
||
H a |
основе неравенств |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
| с |
о |
Г |
< Л |
- 5 ( 1 |
- | |
|
| со' Г * < ro m (1 - 1б 11f |
|Г т (6.36) |
||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.37) |
Расклады вая |
правые части (6.37) в ряды по е, получаем |
|
|
|||||||||||||
I—s | |
/ \—т |
^ |
—s—т |
р |
s |
(п + tn + |
S— I) ! |
|
|
|
|
|||||
со I |
I |
со |
I |
^ Г о |
|
|
Я=0 |
п ! (m + s — 1) ! 1 « П / '| |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(я + m + s - l ) ! j ,п |
|
(6.38) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/1=0 п \ (т + |
s — l)l |
|Е | |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
184
О бласть сходимости рядов (6.38) определяется условиями
Таким образом, ряды в правых частях (6.38) являю тся сходящимися при условии (6.39). Следовательно, ряды, соответствующие правым;
частям |
(6.32), |
(6.33) |
такж е |
будут сходящимися |
при |
условии |
(6.39). |
||
Т ак как |
для |
любого |
положительного |
s справедливо |
неравенство |
||||
|
|
д + 7 |
|
< - |
и -------- |
( п > и |
т > \ ) , |
(6.40> |
|
то для сходящ ихся |
при условиях (6.39) рядов в правых частях |
(6.38). |
|||||||
выполняется |
условие |
(6.17). Оно такж е выполняется и для |
рядов |
по е, отвечающих правым частям (6.32), (6.33). Это является одним из аргументов, на основе которого сделано предположение, что ряды (6.16) обладают свойством (6.17).
Так как в (6.40) получаем |
равенство в двух случаях ( т + |
s = 1*. |
п Ф оо, или /п + s > 1, п = |
оо), то отсюда следует вывод: |
оценка |
(6.18) будет точнее при малых значениях m, s и для более высоких при
ближений. |
|
|
|
|
|
|
|
Д л я |
наглядности рассмотрим первый ряд |
(6.38) |
при s = |
0, сходя |
|||
щийся к соответствующей сумме (6.37), т. е. |
|
|
|
|
|||
^ |
= [ 1 - | 8 | | Л Г т |
£ ¥ к Г г 5 |
| ' | « Г |
1 г г |
(1Е/ ' к |
о |
- (6 .4 0 |
|
|
I—о |
|
|
|
|
|
В качестве функции / примем ее аналитические выражения |
из табл. 2.7~ |
||||||
(№ 3—9), т. е. f (р, у) = |
р-N g -tth (N > |
1). |
|
|
|
|
В табл. 6.6 приведены маж орантные оценки суммы QJ! и количест ва п членов ряда (6.41), необходимого для достижения заданной точ
ности б*, которые вычислены при k = |
2; 3, т |
= 1, 2, 3, р = 1 ,7 |
= 0,. |
|||||||
е = V9 на |
основе |
неравенств |
(6.23), (6.31), т. е. по формулам |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
----- |
|
|
|
|
О» |
= |
Е |
e 'a ff |
|
|
г |
8 --- ------ |
|
||
|
1 ч г ц | |
|
|
|||||||
|
|
/=о |
|
|
|
т |
J |
(6.42).- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ig |
|
fit*-» |
I — |
|
OS? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
^ |
_1> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
asт |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
lg |
|
|
|
|
|
Числовые |
данные |
табл. |
6.6 |
наглядно |
иллюстрирую т |
влияние |
пара |
метра т , связанного с видом |
нагрузки, геометрии поверхности, харак |
||||
теризуемой |
показателем |
М, |
а такж е |
количества k известных |
членов, |
ряда (6.41) |
на точность |
маж орантных |
оценок. Так, например, |
мажо |
рантная величина й т ( т = 3, N — 3) при учете трех членов ряд а
185
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
6.6 |
(6.41) (/ = |
0, |
1 ,2 ; |
k — 2) пре* |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вышает |
точное |
значение |
Q,n |
|||||||
т |
10“ 1 |
10 - |
ю—3 |
|
|
на |
18,5 |
% , а |
при |
учете четы |
|||||||||
|
|
|
рех |
членов |
ряда |
(6.41) |
(I = |
||||||||||||
|
|
|
N == 1, k = =2 |
|
|
= |
0, |
1, 2, 3; |
к |
= 3) — только |
|||||||||
|
|
|
|
|
на |
3,7 % . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
1 |
2 |
|
3 |
1,125 |
1,125 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Замечание. |
Вопрос |
о |
схо |
|||||||||||||
2 |
|
2 |
3 |
|
4 |
1,266 |
1,267 |
димости |
рядов для н о м и н ал а |
||||||||||
3 |
|
2 |
3 |
|
5 |
1,424 |
1,429 |
||||||||||||
|
|
ных |
напряж ений в случае не |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
N = |
3, |
k ==2 |
|
|
ортогональны х |
поверхностей |
||||||||||
1 |
|
2 |
5 |
|
7 |
1,500 |
1,500 |
раздела |
(см. гл. 3) |
рассм атри |
|||||||||
2 |
|
5 |
8 |
|
11 |
2,250 |
2,333 |
вается |
в |
той |
ж е |
последова |
|||||||
3 |
|
9 |
15 |
|
21 |
3,375 |
4,000 |
тельности |
и |
приводит |
к |
ана |
|||||||
|
|
|
N = |
3, |
k ==3 |
|
|
логичным |
результатам |
и вы |
|||||||||
|
|
|
|
|
водам. |
В |
частности, |
по |
ана |
||||||||||
1 |
|
2 |
5 |
|
7 |
1,500 |
1,500 |
||||||||||||
|
|
логии с исследованной |
выше |
||||||||||||||||
2 |
|
4 |
7 |
|
10 |
2,250 |
2,266 |
||||||||||||
|
|
задачей |
для |
случая |
ортого |
||||||||||||||
3 |
|
6 |
11 |
|
14 |
3,375 |
3,500 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нальных |
поверхностей |
разде |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ла рассмотрим пространствен |
||||||||||
ную |
краевую задачу для бесконечной среды |
с |
замкнутой |
осесиммет |
|||||||||||||||
ричной |
неортогональной поверхностью полости или ж есткого |
вклю че |
|||||||||||||||||
н и я, |
находящ ейся на «бесконечности» под действием |
усилий, которым |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
отвечаю т номинальные перемещения щ и напряж ения а (/ (/, / = |
х, у, г). |
||||||||||||||||||
Согласно (3.76), (3.77) граничные условия на поверхности |
раздела S , |
||||||||||||||||||
описываемой уравнением г — г 0+ е/ (0), можно записать |
в |
виде: |
|||||||||||||||||
на |
поверхности |
S |
жесткого включения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Щ (г> 0) Is = |
— щ (г, 0) Is |
(j = |
г, |
0); |
|
|
|
|
|
||||||
на |
поверхности S |
свободной от напряж ений |
полости |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\оп Пг -f- Oojne)s = |
— (сfrffir + |
o>Btto)s. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
2 |
|
«г Is = |
(гД Г 'Ь . |
т |
= — |
|
Д 7 1)s , |
A *|s = |
[г 2 + |
|
) .S |
|
|
||||||||
Следовательно, |
источниками |
появления |
бесконечных |
маж орантны х |
|||||||||||||||
рядов, соответствующих правым частям указанны х |
граничны х |
усло |
|||||||||||||||||
вий, |
в отличие от |
(6.37) являю тся |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
(г-",Д 7 ') 5 < г Г ,~ ' |
|
|
|
|
|
( 1 / К 1 П ) . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 /1 > 1 Л ) . |
|
|
|
■что приводит к рядам, аналогичным (6.38), т. е.
( г - ' Х ^ г |
Г |
V |
(п + т ) ! |
|
( l / l < l f I). |
|
^ |
п \ т \ |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
п=0 |
|
|
|
|
(Г-МД Г')5 ^ |
^ |
S |
(n + т) |
! , и |П |
f |
г |
|
|
|
||||
|
|
Л—0 |
п \ т \ |
lfel '•о |
( 1 /1 > 1 П ) - |
186
И х область |
сходимости опре |
|
|
|
Т а б л и ц а |
6.7 |
|
деляется неравенствами |
|
|
|
|
|
||
|е |1 Л < М 1 Л < 1 П > . |
Ь/а |
е |
ftT |
kM |
а". % |
||
|
|
УФ |
ТФ |
||||
Л егко проверить, что три про |
2 |
—0,333 |
1,633 |
1,655 |
1,3 |
||
1/2 |
0,333 |
1,087 |
1,179 |
8,5 |
|||
извольных |
последовательных |
||||||
|
|
|
|
|
|||
члена этих |
рядов обладаю т |
|
|
|
|
|
свойством типа (6.17) и, следовательно, для них выполняются услов ные мажорантные оценки, приведенные в п. 2.1.
2.3. |
Сравнение маж орантных |
значений для напряжений с точны |
||||||||||||
ми |
реш ениями. |
Кручение. Обратимся |
снова |
к задаче |
о |
кручении |
||||||||
тела |
|
вращ ения |
с эллипсоидальной |
полостью, рассмотренной в п. 1.1 |
||||||||||
гл. |
6. |
Непосредственной проверкой легко убедиться, |
что |
три най |
||||||||||
денных первых приближения для компонентов |
напряжений оУФ(п = |
|||||||||||||
= 0, 1 ,2 ) |
возмущенного |
состояния |
рассматриваемого |
тела |
вращения |
|||||||||
удовлетворяю т |
неравенству |
(6.17), |
а |
условие |
(6.39) |
для |
функции |
|||||||
f (£) |
= |
£_I |
выполняется |
при |
| е | < |
1. |
|
|
|
|
|
|||
В табл. 6.7 наряду с точными значениями коэффициента концентра |
||||||||||||||
ции |
напряж ений kУф (е = |
0,333) [48] приведены его мажорантные зна |
||||||||||||
чения |
|
а такж е относительные |
отклонения |
А*1 (в |
процентах), где |
|||||||||
kM |
- |
^УФ |
ом |
|
|
|
|
kм |
— 1К уф - ^ ф ! |
|
100% . (6.43) |
|||
УФ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
— |
Р'Ь |
+ ■р'Ь |
1р=1,у=я/2 |
|
|
|
ЬТ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛУФ |
|
|
|
|||
При |
этом |
маж орантные |
значения |
вуу/р'Ь определялись |
по |
формуле |
||||||||
(6.23) при k = 2, причем |
|
a ^ lp 'b = |
0,25; а ^ /р 'Ь = — 0,7143; |
o ^ lp 'b — |
||||||||||
= 0,8842. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кроме этого на основе расчетов по формуле (6.31) можно сделать заклю чение, что при е = 0,333 остаток ряда для оУФне будет превышать
значения б* = |
10-1 , если |
взять |
не |
менее |
трех |
членов (п ^ 3). Это |
подтверждают |
и данные |
табл. |
6.1, |
так |
как |
| £УФ— Л^ф | < 1 0 ~ 1'. |
Всестороннее растяжение-сжатие. Проведем аналогичные сравне ния для коэффициентов концентрации напряжений в осесимметричной
задаче об |
упругом равновесии |
изотропной |
среды |
с эллипсоидальной |
полостью, |
рассмотренной в п. |
1.2 данной |
главы. |
М ажорантные зна |
чения для коэффициентов концентрации напряжений kfl определялись в соответствии с (6.24) по формуле
Kll -- U ff | + е* |
off 1 |
1 __ |
| С 1 off |
(i = y, (p). (6.44) |
|
|
°о |
\ |
1 |
Iе ! |
|
|
|
|
off |
|
В табл. 6.8 приведены числовые данные мажорантных значений для коэффициентов концентрации при е = — 0,268, которые сравниваются с соответствующими точными результатами [149], а в табл. 6.9 ука зано количество п членов ряда для соответствующих напряжений, необходимое для удовлетворения условию (6.25). Эти значения полу-
187
|
|
Т а б л и ц а |
6.8 |
|
|
Т а б л и ц а |
6.9 |
|||
|
,т |
*и |
Дм. % |
Ь .. |
|
о. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
*« |
|
10—1 |
КГ-2 |
10—3 |
к»—4 |
||||
У |
2,265 |
2,331 |
|
2,9 |
kyy |
3 (0,068) |
6 |
8 |
|
11 |
ф |
1,461 |
1,483 |
|
1.5 |
k |
2 (0,078) |
5 |
8 |
|
11 |
|
«фф |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
6.10 |
||
6 |
|
V |
*(2> |
kM |
|
*(2) |
|
км |
|
|
|
|
|
|
|
фф |
|
фф |
|||
1/9 |
|
0 |
2,405 |
2,415 |
2,405 |
2,415 |
||||
|
|
л/2 |
2,567 |
2,764 |
1,586 |
1,672 |
||||
- 1 /9 |
|
0 |
1,038 |
1,048 |
1,038 |
1,048 |
||||
|
|
я/4 |
2,521 |
2,697 |
1,602 |
1,904 |
||||
чены |
по формуле (6.31) при k = |
2. В скобках |
приведены |
разности |
||||||
f£fy — |
ky\ и |
£фф — &ф<р, |
характеризую щ ие |
достаточно хорош ую |
точ |
|||||
ность |
указанной формулы. |
|
|
|
|
|
|
|||
Приведенные данные подтверждают эффективность таки х |
м аж о |
|||||||||
рантны х оценок. Однако |
их главное назначение — получить |
оценки |
в тех случаях, которые не допускают точного аналитического реш ения.
Т ак, например, при рассмотрении пространственной краевой |
задачи |
|||
о напряженно-деформированном состоянии среды со свободной |
от |
н а |
||
пряж ений |
замкнутой конической полостью (f (Q = £- 2 , е = |
0,25), |
на |
|
ходящ ейся |
«на бесконечности» под действием всестороннего |
растяж е- |
ги я -сж ати я, получено ПОЗ], что значение коэффициента концентрации
напряж ений в вершине конуса (р — 1, у = 0) — kфф = 2,679 (v = 0,3). Соответствующее мажорантное значение, вычисленное по
формуле (6.44), k!^ = 2,690.
В работе [102] получено с точностью О (е3) приближ енное анали тическое решение аналогичной задачи для случая биконической (е = = х/ 9) и замкнутой цилиндрической (е = — 1/9) полостей в упругой изотропной (v = 0,3) среде, находящ ейся под действием равном ерного всестороннего растяж ения-сж атия. В табл. 6.10 наряду с м аксим аль ными значениями коэффициентов концентрации напряж ений k $ и
на поверхности р = 1 биконической и замкнутой цилиндрической по лостей приведены соответствующие им мажорантные значения, вычис ленные по формуле (6.44).
В работе [60] рассмотрена задача о напряженном состоянии при
кручении |
тела вращ ения с впаянными ж естким биконическим (е = |
|||||
= V9) и |
конечным |
цилиндрическим |
(е = — V0) |
вклю чениями. |
||
В табл. 6.11 приведены полученные с точностью О (е3) |
приближ енные |
|||||
значения |
для |
коэффициента концентрации |
напряж ений | k{p4>| и |
его |
||
маж орантные |
значения |
J £рф |, вычисленные |
по формуле |
(6.44), на |
по- |
188
|
Т а б л и ц а |
6.11 |
|
|
|
Т а б л и ц а |
6.12 |
||
|
V |
1 * 1 |
K I |
8 |
V |
*<2) |
км |
*<2) |
JV1 |
|
|
|
рр |
РР |
tv |
YV |
|||
1/« |
я /12 |
2,2490 |
2,2491 |
1/, |
0 |
2,115 |
2,199 |
0,906 |
0,943 |
|
5л /12 |
2,5203 |
2,5207 |
- V , |
я/2 |
1,877 |
1,915 |
0,804 |
0,821 |
|
0 |
1,391 |
1,475 |
0,596 |
0,632 |
||||
—У |
я/4 |
4,6011 |
4,6280 |
|
я/4 |
1,875 |
1,916 |
0,804 |
0,821 |
|
я/2 |
0,501 |
1,529 |
0,639 |
0,655 |
верхности включения (р = 1) для некоторых характерных углов у. В табл. 6.12 для такого ж е объекта исследования приведены значения
для коэффициентов концентрации kfl, и соответствующих им ма
ж орантных значений kpP, kyV на поверхностях жестких биконического и конечного цилиндрического включений в изотропной (v = 0,3) среде, находящ ейся в поле равномерного всестороннего растяжения-сжатия.
§ 3. И сследования практической сходимости МВФГ
При решении новых краевых задач для неканонических областей М ВФГ необходимо иметь эффективный способ проверки точности по лученных приближенных результатов. Это особенно важно тогда, когда в рассматриваемом классе задач не имеется частных случаев, допускаю щ их точное аналитическое решение. Примером могут служить пространственные краевые задачи для цилиндрических тел конечных размеров с торцевыми или боковыми выточками, когда в каждом при ближении неизбежно приходим к бесконечной системе алгебраических уравнений, что является следствием совместного применения МВФГ и метода суперпозиции. Предложенный в настоящем параграфе кри терий проверки точности приближенных решений, полученных на основе М ВФГ, состоит в следующем: сумма абсолютных значений най денных приближений условно принимается за 100 %; если при этом вклад последнего из найденных приближений не превосходит наперед заданного значения 6 (в процентах), то считается, что решение полу
чено с удовлетворительной точностью. Если |
ж е этот вклад больше 8, |
то оценивается последующее приближение |
с помощью условных ма |
жорантных оценок и на основании этого делаются определенные выво
ды. Н иж е излагается общая схема исследования |
практической сходи |
|
мости |
МВФГ, соответствующая указанному критерию. |
|
3.1. |
Об одном критерии оценки точности |
приближенных решений. |
Согласно первому и второму вариантам МВФГ (см. гл. 2— 3) компо
ненты напряж енного |
состояния в краевой задаче для кусочно-одно |
|
родного тела с неканонической поверхностью раздела Si ищут |
в виде |
|
рядов |
оо |
|
|
|
|
Оц.1 = |
£ e V //.1/ (/, / = a v а а, а 8). |
(6.45) |
|
т=0 |
|
189
Предположим, что в результате аналитического реш ения задачи с точ
ностью О (еп) найдено п первых приближений |
|
<hl,i = s ' e 4 f t + 0(e")- |
(6.46) |
m=0 |
|
Обозначим частичную сумму абсолютных значений найденны х п при
ближ ений |
через |
S g i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
й |
= |
S ' |
А ® , |
|
|
(6.47) |
|
|
|
|
|
|
|
т=О |
|
|
|
|
|
и условно |
примем ее за 100 %. Здесь |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.48) |
|
Т огда абсолютным значением вклада произвольного члена |
Дг/°/ в сум |
||||||||||
му (6.47) |
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Д |
= 4 % - |
(Д1/.1 + |
+ |
Д1л7 " |
+ Д |/ ^ 1) + |
|
+ A i/7 l>)- (6-49) |
||||
Относительный .вклад члена Д ^ |
(в процентах) |
находят по известной |
|||||||||
ф ормуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<«) |
% = |
|
т о %. |
|
|
(6.50) |
||
|
|
|
Д*7./» |
|
|
|
|||||
Е сли |
при |
такой схеме определения |
процентного |
вклада каж дого |
из |
||||||
найденны х приближений установлено, что последний член |
Д^”7Г1>, |
%» |
|||||||||
суммы (6.47) не превосходит наперед заданного значения б, |
% , то счи |
||||||||||
тается, что аналитическое |
решение |
получено |
с |
удовлетворительной |
точностью . Заметим, что в качестве значения б (в процентах) можно вы брать, например 5 % . Этот ориентир основан на том, что многие расчеты тонкостенных элементов конструкций, проведенные на основе классических и прикладных теорий, которые допускаю т погреш ность порядка 5 % по сравнению с соответствующими результатам и по тр ех мерной теории упругости, находят широкое применение в инж енерной п ракти ке.
К ром е этого сравнение с точными аналитическими реш ениями по казы вает, что если последний из найденных трех членов ряда вносит вклад порядка 5 % в сумму известных первых трех членов ряда, условно принятую за 100 %, то остаток ряда не только не превосходит, но и значительно меньше этого значения.
Если ж е окаж ется, что значение Д1/71), % |
(последнего из найден |
||||||||
ных |
п членов ряда (6.47)) составляет более б, %, |
то последующ ий |
|||||||
член |
Дfjtl оценивается согласно |
(6.18) |
на основе неравенства |
||||||
|
|
|
тд(л—1)12 |
|
|
|
|||
|
1л ^ < |
4 |
^ |
Г |
7 |
i |
( /г > 2 ) - |
(6-51) |
|
|
|
|
I |
д г / / |
|
|
|
|
|
Е сли |
такая оценка покажет, |
что значение Д |
% , |
составляет менее |
б, % , то считается, что решение получено с удовлетворительной точ-
190