книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

Г л а в а 3

КРАЕВЫЕ ЗА ДАЧИ МЕХАНИКИ КУСОЧНО -ОДНОРОДНЫ Х ТЕЛ

С НЕОРТОГОНАЛЬНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ РА ЗДЕЛ А

В настоящ ей главе излож им постановку и метод решения трехмерных краевы х задач механики кусочно-однородных тел с неортогональными поверхностями раздела. П ри этом ограничимся рассмотрением поверх­ ностей с мелкомасш табными отклонениями от плоских, круговых ци­ линдрических, сферических и конических поверхностей, что (как и в гл. 2) связано с возможностями развиваемого приближенного ана­ литического метода, основанного на общих идеях теории возмущений. Согласно принятой в работах [27— 29] терминологии под неортогональ­ ной условимся понимать поверхность, на которой в произвольной ее точке для координатных единичных векторов используемой криволи­ нейной ортогональной системы координат и орта нормали в общем слу­ чае не выполняю тся условия ортогональности. Следовательно, по­ верхность этого класса не совпадает ни с одной из координатных поверхностей применяемых криволинейны х ортогональных систем ко­ ординат (в частности, прям оугольны х, круговы х цилиндрических или сферических). И злож им второй вариант метода возмущения формы границы , который применяется к решению пространственных крае­ вых задач механики деформируемых тел, ограниченных неортогональ­

ными поверхностями [70, 75, 85, 88]. Е го развитие	на трехмерные кра­
евые задачи механики кусочно-однородных тел с	нёортогоиальными

поверхностями раздела дано в работах [73, 79, 80, 87, 88].

Развиты й подход (как и первый вариант метода возмущения фор­ мы границы , изложенный в гл. 2) не зависит от уравнений состояния,

равновесия	или	движ ения	тела, что предоставляет широкие возмож­
ности для	его	прилож ения	к решению	родственных проблем в раз­
личных областях механики			сплошных	сред. Характерной особенно­

стью данного метода является то, что он позволяет свести поставлен­ ную краевую задачу для кусочно-однородной неканонической области

к рекуррентной последовательности		соответствующих краевых за ­
дач для кусочно-однородной канонической области.
В работах [1— 9] в рам ках модели		кусочно-однородного тела дана
постановка трехмерных краевы х	задач	механики слоистых и волок­
нистых композитных материалов	с мелкомасштабными отклонениями

в структуре и предлож ен эффективный приближенный аналитический метод их реш ения.

81

§ 1. М н о г о с л о й н ы е т е л а с п о в е р х н о с т я м и р а з д е л а , б л и з к и м и к п л о с к и м

Р а с с м о т р и м

к р а е в ы е

зад ач и

д л я

м н огослой н ы х тел , поверхности р а з ­

д е л а кото р ы х

н езн ач и тел ьн о

о тк л о н я ю тся

о т

коорд и н атн ы х

плоскос­

тей в

н а п р а в л е н и я х

п р ям о у го л ь н ы х

осей

ко о р д и н ат, а

т а к ж е

в

р ад и ­

а л ь н о м

и о к р у ж н о м

н а п р а в л е н и я х

[87].

1 .1 .

П о стан о в к а

за д ач и .

Д л я

простоты

и зл о ж е н и я

рассм отрим

б еско н еч н у ю

ср е д у ,

со д ер ж ащ у ю

один

слой

со своим и

м еханическим и

х а р а к т е р и с т и к а м и . Слой с в я ж ем

с п рям о угольн ой

(декартовой)

систе­

мой

к о о р д и н а т х ,

у ,

г. П л оскостям и х

=

co n st, у

=

co n st

и z

=

co n st

вы дели м н екоторы й

объем , сод ерж ащ и й часть сл оя

(рис. 3 .1).

Д о п у с т и м ,

что

в е р х н я я

и

н и ж н я я

S ~

поверхности

слоя

я в л я ­

ю тся

н екан он и чески м и

и опи сы ваю тся

у р авн ен и ям и

S *

г

=

i

h -f- воi-j-f

(x, y )t

(3.1)

гд е ф у н к ц и я

f±

(x, у)

п ред п олагается

достаточно

гл адкой

(произволь­

ное

ч и сло

р а з

диф ф еренцируем ой);

е — м алы й

парам етр

(8

1);

ш± — п арам етр ы

(— 1 ^

со± ^

1), которы е

вм есте с ф ункциям и f±

(.х,

у) х а р а к т е р и зу ю т

геометрию

поверхностей

S ± , а вм есте с

парам етром

8 —

степ ен ь

их

отклон ен и я

от плоскостей г =

± h

(2h — толщ ина не­

возм у щ ен н о го

с л о я ,

причем

h >

б).

В соответстви и с введенной

в

раб отах [27— 29] терм инологией по­

вер хн о сти

5 + и S - явл яю тся

неортогональны м и , т а к к а к в произволь­

ны х

и х

точ ках

м еж ду

ортам и

е х, еу, ег и ортам и норм алей

e t

и

е7

не

в ы п о л н яю тся

у сл ови я

ортого н ал ьн ости , т. е. ех • е * Ф

0, еу • е * Ф

О

(ег • en

^

1).

Д о п у с т и м ,

д алее,

что

слой

и среда

являю тся

линейно упругим и

однородны м и

и и зотропн ы м и .

Рассм отрим

зад ач у

о нап ряж ен н о -д е­

ф орм и рован н ом состоянии неограниченной среды , арм ирован н ой слоем,

при дей стви и		на	«бесконечности» равном ерно расп ределен н ы х		нор­
м ал ьн ы х и к асател ьн ы х усилий .
Н а	основе	(2.12), (2.34) запиш ем в п рям о угольн ы х		координатах
х , У>	2 у р авн ен и я		равн овеси я (в отсутстви е объем ны х	сил) и	закон

82

Ui'tn индекс m

=

1 относится к матрице, а т

=

2 — к слою; Gm и vm —

м одуль сдвига и

коэффициент Пуассона.

П редположим, что между слоем и средой выполняются условия

полного сцепления (идеального контакта), которые на поверхностях S +

и S

запиш ем в

виде

ПЙ)|

_ „ (2 )

1

T (I)

I

_ __rp

(2) I

(3.3)

где

u

ls± — U

Ь±*

n±

\S± ~

—n± 1

u (m) =

(tt*m>

»j(m)

^_m

(m)

+

T '£ ±et +

T™±e„

(3.4)

n±

—n*

Т™± =

a ix,mtix +

oiy,mn f

+

а и>тПг

(ех, еу, е2 — орты осей

х,

у,

z; m

— 1;

2).

Следовательно, в компонентах перемещений Ui>m и напряжений

сUf,m условия

сопряж ения

(3.3)

на поверхностях

5 *

примут

форму

(« и

— и и )5± =

О

(* =

х, у, г),

.

.

.

(3.5)

[(O'lA-,1~ Фл.г) fix

Ч-

(^1у,1

&iy,1) fly

“f" (Oiz,l

tftz.s) flz 1^± =

0.

Здесь и в

(3.4) rtf — направляю щ ие косинусы единичных векторов е*

нормалей

п± к поверхностям

раздела

S ± , которые

определяются по

формуле

е* =

■

(с* =

п ?ех +

пу еу +

п*е2),

(3.6)

где V — оператор Гамильтона.

Ф ункции

уровня

Ф *

для

поверхностей

S * , описываемых

уравне­

ниями

(3.1), имеют вид

Ф * (х, у, z) =

z — есо±/ ± (х, у).

(3.7)

Следовательно, направляю щ ие

косинусы

n f ,

входящие в

условия

полного

сцепления

(3.5), определяю тся

согласно

(3.6)

функциями

Ф * по формулам

n f

=

1

зф *

+

1

зф*

„±

1

зф*

(3.8)

А±

дх

1

Пу — Д±

ду

Пг

д±

дг

Тогда

на

основе

(3.7),

(3.8)

имеем

±

=

ш ±

_?±

±

ш ±

ТЬу

—

(3.9)

Пх

~

А±

дх

Ну =

------ 7 ^ -

ду

Д±

где

/

df± \2

/ df±

\3

А*

1 +

= ±

E-(0±

j / 1

[( a . ) + ( % ) J

Здесь, как и ранее, знак

« + »

относится

к

верхней

поверхности

слоя

5 + , а знак

«— » — к нижней

S ~

Если

контакт

на

5 ±

неидеальный

83

(т. е. отсутствует полное сцепление), то в предполож ении, что на по­ верхностях раздела возникают силы трения, подчиняю щ иеся закону Кулона, условия сопряжения могут быть, например, следую щ ими:

[Wz,I — Нг,2]5± =

О,

1(°г.г,1

®гдс,г) Чх

~Ь

(Угу,2) Чу

"Ь (^zz,I '

^гг.г) Чг ]^± =

О»

[(<W +

p*< w ) П* +

((Уху,l +

Рхауг.д Пу

+

(3.10)

+ (Oxz.l +

Px°zz,l) n t ] s± =

0,

l(°Jty,l +

py(*XZ,l) 4 * +

(Pyy.l +

PiPyz,i) n f

+

+

iPyz.l 4* pyGzz.l)

= 0

( / = 1 , 2 ) ,

где

pjc,

Pj, — коэффициенты

трения

в

направлениях

координатны х

осей

Ох и 0у, которые изменяются

в

пределах 0 ^

р* ^

1

(/ =

х, у).

В частности, при р( =

0 уравнения

(3.10)

представляю т

условия

про­

скальзы вания

без

отслоения.

Таким образом, для решения поставленной задачи имеем уравне­

ния равновесия и закон Гука (3.2), а такж е условия сопряж ен и я

слоя

и матрицы (3.5). При

этом под а*/,т , щ,т

( т — 1; 2)

понимаю тся

пол­

ные

напряж ения

и

перемещения,

включающие составляю щ ие

как

возмущенного

состояния,

вызванного

мелкомасштабными

отклоне­

ниями в

структуре,

так и

основного напряж енно-деф ормированного

состояния, соответствующего заданной нагрузке на бесконечности. Хотя и известно точное общее решение уравнений равновесия (3.2),

все же сложность геометрии поверхностей S * , описываемых уравне­ ниями (3.1), не позволяет получить непосредственно аналитического

решения

поставленной краевой задачи

вследствие слож ности

условий

сопряж ения

(3.5), в которых переменные не разделяю тся.

1,2.

Поверхности раздела с

мелкомасштабными

отклонениям и от

плоских в направлениях прямоугольных координат.

Д л я

реш ения

поставленной

в п. 1.1 трехмерной

краевой

задачи теории упругости

для среды, армированной упругим слоем с неортогональными

поверх ­

ностями

раздела, применим

второй

вариант метода возмущ ения

ф ор­

мы границы 183, 85, 87]. На его основе решение краевой

задачи

ищ ет­

ся в виде рядов по положительным степеням малого парам етра в (е

<<( 1), фигурирующего

в уравнениях

(3.1)

поверхностей

раздела

S ±

и характеризующего их отклонение от координатных

плоскостей г —

=

± h . Следовательно,

перемещения «*,т

и

напряж ения

а*/,т (/, /

=

=

х, у,

z) представим

в виде

оо

оо

щ,т =

£

гпиТ)п,

Оцм =

£

(3.11)

n=l)

/1=0

Д ля

определения

составляющих

uT?m,

предполож им,

что

функции f ± (х , у), описывающие геометрию

поверхностей

S * , а такж е

заданные нагрузки на «бесконечности» таковы, что искомые компонен­

ты

напряженно-деформированного

состояния допускаю т

разлож ения

£4

в ряды Тейлора в окрестности плоскостей г = ± h . В этом случае по­ лучаем

. м	I	-	V г<7	<*• у)
4 m ls ±			2 jB
„('»)	I	__	V-<7	w± '± (*. 4Г)
	ls± —		Z j 8	41
			</=0

—

2—±h

(3.12)

d°ajf ljjn

dz? z=±h

Следовательно, на основе (3.11), (3.12)						перемещения ш,т		и напряж е­
ния а,/,,» на поверхностях			S *	допускаю т представление
Щ.т |г=±Л+е<о± Л£<*.у) ~			S	6	S	k~\	л,й	z=±ft
			/l-о		fc=0		^
								(3.13)
„	I	_	v	о" V		ю±>± (*’ У)	6 °а .т
u if,tn |z=±h+eG±f±(x,!j) —				е	Л=0		dz*	z=±h
			n=0
Разлож им	направляю щ ие	косинусы я *				в ряды
		n f =		S	в*»/*®.			(3.14)
				А=0

И х явный вид легко получить из вы раж ений (3.9), а именно:

" ?

=

±

4 г

£

< -

^

ей+1

4

=

±

^

i

( - D

S+1 02s+I

(3.15)

l25) Ч

ду

“ o '

*

,

V

I

i\s

2s

(2s— 1) И

2s . s

«z

— ±

^ q(

1)

S

(2s> II

®±1l>±

Ряды в правых

частях (3.15) сходятся

при условии

где

е2й)±гр± (х, у ) <

1,

(3.16)

, .

.

Г

Щ± (*. У)

I2

,

Г df± (г, у)

(3.17)

* * ( * • * > = [ ------дх

J

+

[

ду

Учитывая

соотнош ения

(3.13),

(3.14),

на

основе

(3.5) получаем

следующие

условия

идеального

контакта

(полного

сцепления) в про­

извольном

приближении:

S

L ± m

1 « ! Г ” -

« I W

±

*

-

0

(<• =

jc. у,

г),

т=О

(3.18)

S

\ N t m <аЧ5т

- <

©

“ ) +

N $ m

( o f t T

-

®ЙУ"> +

m=0

+

N i m (<r!V “ -

o f e " ') ] » * » =

0.

85

В случае неидеального контакта на основе (3.10), (3.13), (3.14) имеем

	m=0
Ё	1А1?1ВД (оЙТ"1 -		я й л 4 ) +	N t " ' < < Г ’ -			< ? ' )	+
m=0
	+ N f M (яЙлп> -			e g ? * ) ] - .* . = 0,
Ё	№ « “ >(Я Й Т	+	Р ,« £ Г ”) +	N f*> (« S T * +			p .o f c " ’1) +		(3.19)
m=0
	+	( я £ Г + р / С Г ) Ь - ± » = о.
Ё	IN fw (oSST1 +		р „ ° £ Г ') +		« У	1 +	р Л	” ’) +
m=0
	+ t f ? " 1 ( p f c * + P ^ S T V - * / . = о.
Здесь L ±(m), N ± m (v =		1, 2, 3) — дифференциальные операторы
		£±(m) __ to±/± (•*> 1/)			^
				ml	dz"«	’
	m				m
	Л ^ (т) = S	n * {s)L±{m~ s\		N ? {m) = Ё		n ? s)L ±in~ s),			(3.20)
	s=0				5=0

II*- 5=0

Явный вид операторов ДО*(т) получаем с помощью рядов (3.15), (3.20) в форме

= ± a %т

д*±—

т*

fe+1

А—1

N f m

V

(

] \ ~

(k -2 )U

т ~ А .—

—к

дх

-fJ

'

*'

(k— 1) II (т — k) 1 '*

'Р*

Аг±(т)___ L ,Лт

ас

V

/

k+\

(fe — 2) II

—I

°i±

1 \

2

fm—ft.,. :a - a™—*

" *

— =ЬШ±

01/

fcj f J

tft— 1) I! (m — ft) !

'P*

»

m”

ЛГ,4« =

± Ш S

_ 2

( - ■ ) ’

- g r y .

(3.21)

ft=0,2,...

где

m

m — 1

для

m

четных,

m

m — 1 для m нечетных,

(3.22)

- {

m

для

m

нечетных;

4

m

для m четных.

Рассмотрим два частных случая.

Поверхности раздела с мелкомасш табными

отклонениям и

в н а ­

правлении оси Ох. Предположим,

что

/± =

/±

(х). Следовательно,

86

df±!dy з з

0,

и на основе

(3.17)

имеем

Ц>± =

df± (х)

(3.23)

Ф± (х) —

dx

В этом случае условия полного сцепления

в произвольном приближе­

нии

такие:

£

£*'"•> [ « S r *

-

« s r v

* »

-

о,

m=0

(3.24)

£ W f™ (< * r> - о й ? * ) + N i m (о й ? * -

= о.

m=0

При этом оператор L ± m

имеет

вид

(3.20),

a

Arjfc(m|, N f m

прини­

маю т

форму

r±(m)

„ т

/п*

,

А-f-l

* —

1!

гm

.

df

,

dP1"*

_

,

V

„ - 2 ”

(

\ k

N f

m

(

U

~

(fe~

2)

11

fn

-k |

Of±

Y

~

±

m±

^

^

(ft— 1) !! (m — ft) \ ' ±

\

dx

)

dz"1- '1 ’

m**

(3.25)

№— I) !!

гт—кk l( df±

V\*

dm~ k

±(m)

, , jn

V 1

/

i\ *

=

S ( - 1 )

All (m — ft)!'*

\

dx

J

- ^ = k

(> n > D -

fc=0,2,...

П оверхности

раздела

с

м елком асш табны м и отклонениям и

в н а ­

правлении оси Оу. Допустим теперь, что

/ ± =

/ ±

(у). В этом

случае

условиями

полного сцепления будут

тS—0L ± m

= 0,

(3.26)

т£—0№ * •* « Г 1- < й ? * ) + w ." * ( « Й Г - « К ? " ) ь . ы = о,

где

т*

А[?<“ >=

± ш 2

£

( - 1 )

■

№4

^

1

л"*-* *

А’—1,3,...

(3.27)

д/±(т)

.

m

у 1

/

.чТ

(ft— 1)!!

rm—ft I

\

d'"~

3

% J i . .

m * = n t r i f±

r s r J ' S T ^ r -

В

зависимости от

значений

параметров

со*

возможны

различные

варианты мелкомасштабного отклонения поверхностей слоя. Так,

например, для о>± , принимающих значения 0 и +			1, восемь всевоз­
можных вариантов указано в табл. 3.1. Однако, если			положить/.)- (у) —
	2п	(I — период волны формы искривления
= / _ (у) = f (у) = cos — У
поверхностей	S ±), то ввиду	периодичности функции / (у) и неограни­
ченности слоя	в рассматриваемом случае принципиально различными

будут только четыре варианта ( /, / / , V и V II). Об этом свидетельству87

VI

VII

VIII

Вари­

ант 1 слоя

V

ет рис.	3 .2, где представлено восемь
всевозм ож ны х вариантов сечения плос­
костью	х = co n st элем ента слоя на

п ротяж ении одного				периода.
1.3.	П оверхности раздела					с мел­
ком асш табны м и			отклонениям и			от
плоских в радиальном и окруж ном
направлениях .		Р ассм отри м			случай,
когда верхн яя S +			и	н и ж н яя	S -	по­
верхности слоя		описы ваю тся			уравн е­
ниям и,	которы е		в	цилиндрических

координатах

г, 0,

z

имею т вид

S *

г =

±

h +

б© ±/± (г, 0)

( е < 1,

— 1 < о > ± <

1).

(3.28)

Рассмотрим зад ач у о

напряж енно -

деформированном

состоянии

неогра­

ниченной

среды,

арм ированной

у к а ­

занным

слоем, при действии

на

«бес­

конечности»

равном ерно распределен ­

ных

норм альны х

и

касательн ы х

уси­

лий. П ри этом предполож им, что слой

и среда в отдельности

являю тся уп ру ­

гими

однородными

и

изотропны ми.

В

этом

случае

аналогично

п.

1.2

полная

система

трехм ерны х

у р а в н е ­

ний статики в цилиндрических координатах содерж ит уравнения

р ав ­

новесия,

уравнения

состояния (закон

Г ука),

линейные

соотнош ения

м еж ду

перемещ ениями и малыми деформациями

(соотнош ения К ош и),

а та к ж е

граничны е

условия. Последние в предполож ении, что м еж ду

слоем

и

средой осущ ествляется

полное

сцепление, приводит к

сле-

Т а б л и ц а

3.1

арнант

S±

“ ±

Уравнение по­

s±

(0±

Уравнение по­

слоя

верхности

верхности

1s + s r

п5 +

S~

шs + s ~

IV 5 +

II ~Ь3	о
(0__ =	1
C0|_ =	1
(o_=	0
II +3	о
(D_=	— 1
c + =	-
oj_=	0

г=

г=

II 2 = z = 2 = M II ? =

h —h + + 4

—fl h

- h — i00 —•h

e/__

e/__ Г-

$ + S - S+ s ~ s + S - s + s ~

(0, =	1	2 =	A + e/+
(0_ =	1	г =	—A	«/__
©+ =	—1 z =		h — sf+
co_ =	— 1	II IN>	1 •e 1	1 '«o’
co+ =	1	2 =	A + e^_
0)_ =	—1 г = —h — e/_
(0_|_ =	—1 z — h — e/+
ю =	1	2 — —A +		e/_

88

дую щ им условиям сопряж ения:

l«/,i — и/.2]5± =

0

Q =

г,

0,

г),

1(ст;>,1 — a/r,z) П? + (0/0,1 — 0/0,2) Пв

+

(°/г,1 — °пл) П*]5± =

0,

^

^

где

направляю щ ие

косинусы

n f

единичных

векторов

е*

нормалей

п±

к поверхностям

S '11 определяю тся на

основе

(3.28)

по

формулам

eco±

df±

ne

8<j)±

3f±

n ± _

1

(3.30)

Д±

Д±Г

d0

’

flz

--

Д*

’

or

1 i

<M

i

A± =

±

j / "

1 +

£2g>±

•HCD

ea

(3.31)

+

^ - 1

i

Ш

Реш ение поставленной

задачи будем искать в виде рядов типа (3.11).

П ри этом, как и в

п .1.2,

ф ункция

/±

(г, 0) и

внешние

нагрузки

пред­

полагаю тся

таковыми, что искомые напряж ения, деформации и пере­

мещения допускаю т

разлож ения

в ряды Тейлора в окрестности плос­

костей г =

± h . Тогда на поверхностях

5 *

компоненты напряженно-

деформированного состояния можно представить в виде

Uf,m |г=±Л+Ёсо±/± (г,0) —

V

. » v

<

4

('• 9)

«*»&*’

Z j

6

Z j

k I

л-ft

>—n

U—n

*

L/Z

z=±h

/1=0

k~0

(3.32>

oo

П

Gi]\m [z=±/i-{-ECD^f^(j\rS) =

V

- . V

дк< ~ п ]

Z j

e

b

------Fi------------- ^ —

z=±h

n=0

fc=0

0Z

Н а основе (3.30),

(3.31) направляю щ ие косинусы n f разложим в ряды

tlr± — ±,

df ±

V

/

, \s+l „2s+l

(2s— 1) !!

,.,2s+I„,,s

6

(2sj!!_ (0 ±

* * ’

„±

I

1

V

/

i\s+l

2s+l

(2s — I)!!

2s+l

.s

/о

oov

Л6

=

(2s) II

W±

V *

{6-6д>

*

- ±

S

( _ 1 / ви (2 8 '

1)11

2s . s

й)±ф±.

nz

s=0

<&>"

О бласть их

сходимости определяется

неравенством

е2(о±ф± (г,

0) <

1,

ф± (г, 0) =

df± (г, 0)

дг

И спользуя

разлож ения

(3.32),

(3.33),

условия

полного

сцепления

м еж ду слоем и средой на основе

(3.29)

в произвольном

приближении

преобразуем

к

виду

£

L ± m

lu '£ rm -

«

j r v *

*

=

0

и

=

г,

9, z),

(3.35)

£

Ю *1" 1( o f t " ’ - < $ * * )

+

<&т

( « Й / 0 -

+

m=0

+

(b± w ( o ! w , , - < > 8 ? " ) b - ± »

= o.

8»

Д иф ф еренциальны е операторы L ± M , Q *m {k = 1, 2, 3) определя­ ю тся по формулам

=

('.8 )

У

т*

«г!

*

S+1

(s — 2) И

1>п—*. "~2~

а"1-*

<г?м

=

±

4

г

2

( - 1 )

2

(5— 1) !! (т — s) !

F±

m—s ’

dz<

5—1

(3.36)

d2±

•<b± w =

±

«

s - ^ - % -

2

(s- 2)!!

r

/

r

V

(— i)

a/"-

s—

(s— 1) II (m — s) I

Q ? '"1 =

± ш±

2

(— 1)

cs— i)

i!

frnrm—-ss,.T;

a

( m > l ) ,

s !! (rn — s) I

±

4»j

azm-

s=0,2,.

где m* и m** принимают значения, указанные в (3.22).

Рассмотрим два частных случая.

П оверхности

раздела

с мелком асш табны ми

о тк лон ен и ям и

в ок­

р у ж н о м

направлении.

Предположим,

что

/±

=

/±

(0).

Тогда

dfldr з= 0. Следовательно,

n j — 0,

ф ± (г) = r~ 2 [f±

(0)]2.

В

этом сл у ­

чае условия полного сцепления имеют вид (3.35), где

Qi±(m> =

0,

а

операторы

Q ?m

и Q*(m) принимают форму

т щ

S+I

(s — 2) !1

/"-*(0)

am~ s

=

± « ;

2

( - i f

[Г

(0))s

(s— 1) И (m — s) I

^

dzTl~ s

’

s=l,3....

т**

(3.37)

s=0,2,...

[ f m

s

a /*■=7

Зд есь штрихом обозначена производная

по

переменной

0. В данном

случае

такж е

рассматриваются

те

варианты,

которые

указаны

в

таб л .

3.1. Если

положить

/ +

(0)

=

(0) =

/ (0)

= cos 2А0,

то при

k

— 4 элемент

слоя, ограниченный

поверхностями

S + , S ~ ,

г =

=

const

и плоскостями

0 =

const,

на

протяжении

одного

периода

(0 ^

0 ^

я/4)

имеет

вид,

изображенный

на

рис.

3.3

(он

соответству­

ет варианту V табл. 3.1 и рис. 3.2).

П оверхности

раздела с мелкомасш табны ми

отклонениям и

в р а ­

диальном

направлении. Пусть / ± =

f ± (г), тогда df±/dQ =

0. Следова­

тельно,

Ле =

0, о|)± (г) — [f± (г)]2

(штрих — производная

по

пере­

менной г). В этом случае условия полного сцепления имеют вид (3.35),

	где Q *(m) =		0, а операторы			Qi±(m) и Q i{m) принимают форму
	±(т)	±	,jn	т*	5+1		( в -	2)
				2	н и	г			•/±~s (r) [/± (r)ls
	Q?		(0±				(s— 1) II (m — s) I
				s=1.3....						dzm~ s
				m**						(3.38)
	±(m)						( s - l ) l !			gm-
	<8 =	± (0 ±		2	( - i ) 2 s II (m— s) II r±~s l/± (r)is					( m > 1).
				s=0,2,..,						~d^-
	•90