2933
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
А.В. Бесклубная, Н.Х. Селиванова
КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика»
для обучающихся по направлению подготовки 07.03.01 Архитектура, профиль Градостроительное проектирование
Нижний Новгород
2016
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
А.В. Бесклубная, Н.Х. Селиванова
КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика»
для обучающихся по направлению подготовки 07.03.01 Архитектура, профиль Градостроительное проектирование
Нижний Новгород ННГАСУ
2016
1
УДК 517.9
Бесклубная А. В. / Кривые и поверхности второго порядка [Электронный ресурс]: учеб.- метод. пос. / А. В. Бесклубная, Н. Х. Селиванова; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 30 с; ил. 1 электрон. опт. диск (CD-RW)
В данном учебно-методическом пособии даются основные понятия по разделу математики «Кривые и поверхности второго порядка», рассматриваются приемы построения кривых и поверхностей, описываются методические рекомендации по самостоятельной работе обучающихся по данному разделу, указывается необходимая литература.
Предназначено обучающимся в ННГАСУ по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 07.03.01 Архитектура, профиль Градостроительное проектирование.
© |
В А. В. Бесклубная, Н. Х. Селиванова, 2016 |
© |
ННГАСУ, 2016. |
2
§ 1. Понятие кривой на плоскости
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy . Кривой (или линией) на плоскости называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению F (x, y) = 0 . Например, множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют линейному уравнению Ax + By + C = 0 , есть прямая.
Знание уравнения линии позволяет для любой точки определить, принадлежит ли она линии. Если координаты точки удовлетворяют уравнению линии, то точка принадлежит этой линии, если не удовлетворяют – не принадлежит.
Пример. Определить, принадлежат ли точки M 1 (− 1,3) |
и M 2 (1,1) линии, |
|
заданной уравнением |
y − x2 − x − 3 = 0 . |
|
Решение. При |
подстановке координат точек M 1 и |
M 2 в уравнение |
получим 3 -1 + 1 - 3 = 0 , 0 = 0 ; 1 -1 -1 - 3 = -4 , - 4 ¹ 0 . Следовательно, точка M 1 принадлежит, а точка M 2 – не принадлежит данной линии.
Важный класс линий составляют те, для которых F (x, y) есть многочлен от двух переменных. В этом случае линия называется алгебраической кривой, а степень многочлена – порядком кривой. Алгебраическая кривая первого порядка
– это прямая линия. Алгебраические кривые второго порядка – это окружность, эллипс, гипербола и парабола – будут изучаться в дальнейшем.
Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 , |
(1) |
где хотя бы один из коэффициентов A, B,C не равен нулю.
§ 2. Окружность. Каноническое уравнение окружности
Окружностью называется множество точек плоскости (геометрическое место точек), находящихся на равном расстоянии R от фиксированной точки C . Число R называется радиусом окружности, а точка C – её центром.
Найдем уравнение окружности в заданной системе координат oxy . Пусть точка C совпадает с началом координат O(0,0), а M (x, y) – текущая точка окружности, т.е. точка, описывающая окружность.
Из определения окружности следует, что точка M (x, y) тогда и только
тогда принадлежит окружности, когда |
OM |
= R или |
x2 + y 2 |
= R , возводя обе |
части этого равенства в квадрат, получим уравнение |
|
|
||
x2 + y2 = R2 . |
(2) |
Это есть каноническое уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R .
3
y
M(x,y)
R
О x
Рис. 1.
Если центр окружности находится в точке C(x0 , y0 ), то уравнение такой окружности будет
(x − x |
0 |
)2 |
+ (y − y |
0 |
)2 |
= R2 |
. |
|
(3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Возводя двучлены, стоящие в левой части равенства (3), в квадрат, |
||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y 2 − 2x |
x − 2 y |
0 |
y + x2 + y |
2 |
− R2 = 0 . |
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
Мы видим, что уравнение окружности |
есть |
|
алгебраическое |
уравнение |
второй степени, и, сравнивая с уравнением (1), получаем, что уравнение (1) есть окружность, если B = 0 и A = C . Обратное тоже верно.
Пример. Показать, что уравнение x2 + y 2 − 8x + 2 y + 8 = 0 задает окружность. Найти ее центр и радиус.
Решение. Т.к. B = 0 , A = C = 1 – это окружность. Выделим полные квадраты
x2 − 8x + 16 − 16 + y 2 + 2 y + 1 − 1 + 8 = 0
(x − 4)2 − 16 + (y + 1)2 − 1 + 8 = 0
(x − 4)2 + (y + 1)2 = 9.
Получили уравнение окружности с центром в т.C(4,−1) и радиусом R = 3 .
§ 3. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек F1 и F2 , называемых фокусами, есть
величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами. |
|
|||||||||||||||
Пусть |
2c |
– |
расстояние между фокусами, |
2a – |
постоянная |
сумма |
||||||||||
расстояний. |
В |
силу |
определения a > c > 0 . Точка |
М – |
произвольная |
точка |
||||||||||
эллипса, тогда |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= 2a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||
|
|
|
|
F1 M |
|
|
F2 M |
|
|
|
||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Векторы F1 M и F2 M , а так же их модули называют фокальными радиусами.
y
|
|
M(x,y) |
|
F1 |
|
F2 |
|
-с |
0 |
с |
x |
Рис. 2.
Выведем уравнение эллипса в специально выбранной системе координат,
где ось абсцисс проходит через точки F1 |
и F2 , начало координат делит отрезок |
|||||||||
F1 F2 пополам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В выбранной системе координат уравнение (4) имеет вид |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
= 2a . |
|
|
|
(x + c)2 |
+ y 2 |
(x − c)2 + y 2 |
(5) |
||||||
Это и есть уравнение эллипса. Приведем его к более простому виду путем |
||||||||||
возведения в квадрат и введения новой величины |
|
|||||||||
|
b2 = a2 − c2 |
> 0 , |
|
(6) |
||||||
а именно |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x2 |
|
+ |
y 2 |
= 1. |
(7) |
|||
|
|
a 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллипса.
Основные характеристики эллипса:
1. Оси ox и oy – оси симметрии, начало координат – центр симметрии эллипса.
2.Эллипс целиком расположен внутри прямоугольника: x ≤ a , y ≤ b .
3.Точки A1 (− a,0), A2 (a,0), B1 (0,−b), B2 (0,b) – вершины эллипса.
4. |
a – большая полуось, |
b – |
малая полуось |
(a > b) |
|
и |
c = |
b2 |
− a2 |
– |
||||||||||
|
полуфокусное расстояние. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
это ε = |
c |
< 1. Отношение |
b |
= |
|
|
|
a2 |
− c2 |
= |
|
|
|
|||||
5. |
Эксцентриситет эллипса – |
|
|
|
|
1 − ε 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
a |
||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
. Отсюда видно, что чем ближе ε |
к единице, тем меньше |
b |
, т.е. эллипс более |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
вытянут. Если эксцентриситет близок к нулю, эллипс по форме близок к окружности. Случай, когда ε = 0 , т.е. a = b – есть окружность.
5
6. |
Директрисы эллипса: x = ± a . |
|
|
|
||
|
|
ε |
|
|
|
|
7. |
Фокальные радиусы т. M (x, y) эллипса: |
|
|
|
||
|
|
|
F1M = a + εx |
|
|
|
|
|
|
F2 M = a − εx . |
|
|
|
|
x = − |
a |
y |
|
x = |
a |
|
ε |
|
|
ε |
||
|
|
|
B2(0,b) |
|
|
|
|
|
|
|
M(x,y) |
|
|
|
|
A1(-a,0) |
|
|
A2(a,0) |
|
|
|
F1(-c,0) |
0 |
F2(c,0) |
x |
|
|
|
|
B1(0,-b) |
|
|
|
Рис. 3.
«Вырождения» эллипса:
1. |
x2 |
+ |
y 2 |
= 0 – |
задает точку O(0,0); |
|
a 2 |
b2 |
|||||
|
|
|
|
|||
2. |
x2 |
+ |
y 2 |
= −1 – |
мнимый эллипс. |
|
a 2 |
b2 |
|||||
|
|
|
|
Пример. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через
точки M 1 ( |
|
|
|
|
) и M 2 (1, 2 |
|
). Построить кривую. |
|
|
|
||
2, 2 |
2 |
3 |
|
|
|
|||||||
Решение. |
Каноническое уравнение эллипса имеет вид |
x2 |
+ |
y 2 |
= 1. Если |
|||||||
a 2 |
b2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точки M 1 |
и M 2 |
лежат на эллипсе, то их координаты удовлетворяют уравнению |
6
|
2 |
|
+ |
8 |
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 и b2 , найдем |
||||||||||
кривой, т.е. a |
|
|
|
|
|
|
|
. Решая эту систему, относительно |
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
+ |
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
b2 = 16, a2 = 4 . Уравнение эллипса |
x2 |
|
+ |
|
y 2 |
= 1. Т.к. a = 2 < b = 4 , то фокусы этого |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
16 |
|
|
. Итак, F1 (0,−2 |
|
|
) и F2 (0, 2 |
|
). |
|||||||
эллипса находятся на оси oy и c = |
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
16 − 4 |
3 |
|
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
-2 |
0 |
2 |
x |
− 23 F1
-4
Рис. 4.
§ 4. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы
Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух фиксированных точек F1 и F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами, и отличная от нуля.
Пусть 2c – расстояние между фокусами F1 и F2 , 2a – постоянная абсолютная величина разности расстояний. В силу определения c > a > 0 . Пусть M – произвольная точка гиперболы, тогда
F1 M |
|
− |
|
F2 M |
|
= 2a . |
(8) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7
Векторы F1 M и F2 M , а так же их модули называют фокальными радиусами гиперболы. Выведем уравнение гиперболы в специально выбранной системе координат.
y
M(x,y)
F1(-c,0) |
0 |
F2(с,0) |
x |
|
|
Рис. 5.
Пусть точка M (x, y) – произвольная точка гиперболы, тогда для нее выполняется равенство (8).
|
− |
|
|
= 2a . |
|
(x + c)2 + y 2 |
(x − c)2 + y 2 |
|
(9) |
Это и есть уравнение гиперболы в выбранной системе координат. Преобразуем (9) к более простому виду, дважды возводя в квадрат и упрощая, получим
x2 |
− |
y 2 |
= 1. |
|
a 2 |
c2 − a 2 |
|||
|
|
Введем новую величину b2 = c2 - a2 > 0 , тогда
x2 |
− |
y 2 |
= 1. |
(10) |
|
a 2 |
b2 |
||||
|
|
|
Уравнение (10) называется каноническим уравнением гиперболы.
Основные характеристики гиперболы:
1.Оси ox и oy – оси симметрии гиперболы, начало координат – центр симметрии гиперболы.
2.Область расположения гиперболы x ³ a , с осью oy гипербола не пересекается. Точки A1 (− a,0), A2 (a,0) называются вершинами гиперболы. Действительной осью называется ось, пересекающаяся с кривой (в уравнении (10) ось ox ), а мнимой – ось, не пересекающаяся с кривой ( oy ).
3.а – действительная полуось, b – мнимая полуось, c = a 2 + b2 – полу фокусное расстояние.
4. Эксцентриситет гиперболы - это ε = |
c |
> 1, |
b |
= |
|
c2 − a2 |
= |
|
. |
|
ε 2 −1 |
||||||||
|
|
|
a |
||||||
|
a |
a |
|
|
|
8
5. Асимптоты гиперболы: y = ± |
b |
x . |
Асимптоты |
являются диагоналями |
|
||||
|
a |
x = ±a, y = ±b . |
|
|
прямоугольника со сторонами |
Этот прямоугольник |
называют основным прямоугольником гиперболы. Вся кривая расположена вне прямоугольника, и только вершины A1 , A2 лежат на сторонах x = ± a .
6.Директрисы гиперболы: x = ± εa .
7.Фокальные радиусы т. M (x, y) гиперболы:
F1 M = ε x + a u F2 M = ε x − a .
y
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M(x,y) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1(-c,0) |
|
-a |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
a |
|
|
|
F2(c,0) |
|
|
|
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = − |
a |
|
|
|
|
|
|
x = |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Рис. 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8. |
Уравнение |
|
x2 |
− |
|
y 2 |
|
= −1 |
задает |
гиперболу, |
сопряженную |
|
к (10). Для |
||||||||||||||||||||||||||||
|
a 2 |
|
b2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
сопряженной гиперболы b – |
|
действительная полуось, a – |
|
мнимая полуось. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Она расположена в области |
|
y |
|
³ b .(на рис. 6 изображена пунктиром). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«Вырождения» гиперболы: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x 2 |
y 2 |
|
|
x |
|
|
y x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
x |
|
y |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
= 0 , |
|
|
|
- |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= 0 |
отсюда |
|
|
|
- |
|
= 0 и |
|
|
+ |
|
= 0 |
||||||||
|
|
a 2 |
b 2 |
|
|
a |
|
|
b a |
|
|
|
|
b |
|
|
|
a b |
|
a b |
|
||||||||||||||||||||
или |
y = |
b |
x |
и |
y = - |
b |
x – |
пара пересекающихся прямых. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9