отчет 5
.rtfКазанский Национальный Исследовательский
Технологический Университет
Кафедра химической кибернетики
Отчет
по
ЧИСЛЕНННЫМ МЕТОДАМ
Выполнил: студент
гр. 4111-71
Сулейманова Д.И.
Проверила: доцент каф. хим.
кибернетики Кошкина Л.Ю.
Казань, 2012
Содержание
ТЕМА 1. «Системы нелинейных уравнений» 3
Постановка задачи 3
Решить систему нелинейных уравнений с Ɛ=0,001. Принять за начальное приближение в методе простых итераций =0, =0. 3
Листинг программы 4
Результаты 5
ТЕМА 1. «Системы нелинейных уравнений»
Постановка задачи
Решить систему нелинейных уравнений с Ɛ=0,001. Принять за начальное приближение в методе простых итераций =0, =0.
Sin(x1+1)-x2=1,2
2x1+cosx2=2
Для решения СНУ использовали следующие методы:
-
Метод простых итераций;
-
Графический способ решения СНУ.
Решение:
1.Метод простых итераций
Система нелинейных уравнений в общем виде:
F1(x1,x2,…xn)=0;
F2(x1,x2,…xn)=0;
………………..
Fn(x1,x2,…xn)=0;
Выразим неизвестные в системе и представим ее в следующем виде:
X1=f1(x1,x2,…xn);
X2=f2(x1,x2,…xn);
………………….
Xn=fn(x1,x2,…xn);
Зададим начальное приближение для x1, x2, … xn. Подставим их в правую часть системы. Получим значения неизвестных в следующей итерации.
X1(k)=f1(x1(k-1),x2(k-1),…xn(k-1));
X2(k)=f2(x1(k-1),x2(k-1),…xn(k-1));
……………………………….
Xn(k)=fn(x1(k-1),x2(k-1),…xn(k-1));
Где k – номер итерации.
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполняться условие
|xi(k)-xi(k-1)|<Ɛ i=1,2,…n.
Где n-количество уравнений.
Если условие не выполняется, итерации повторяются, приняв xi(k-1)= xi(k)
Для того чтобы не проверять условие для всех уравнений, условие окончания итераций можно записать так:
max|xi(k)-xi(k-1)|<Ɛ i=1,2,…n
Алгоритм метода:
n- количество уравнений;
Ɛ - точность
X(n)-массив начальных приближений неизвестных.
Ввод n, Ɛ, x |
Начало цикла |
Вычисление F1(x1,x2,…xn) |
Вычисление F2(x1,x2,…xn) |
………………………………… |
Вычисление Fn(x1,x2,…xn) |
For i=1 TO n |
S= |
Xi=fi |
Конец цикла, по условию s<Ɛ |
Печать xi |
2.Графический способ решения СНУ
Для двух уравнений область сходимости можно найти, построив графики функций f1(x2), f2(x1). Точка пересечения этих графиков и есть начальное прилижение.
Листинг программы
Sub SNU_PrIt()
e = 0.01
x10 = 0
x20 = 0
k = 0
Do
x1 = 0.8 + Sin(x2 + 1)
x2 = 1.3 - Sin(x1 - 15)
s = Abs(x1 - x10) + Abs(x2 - x20)
x10 = x1
x20 = x2
k = k + 1
Loop While s >= e
With Worksheets("Лист1")
.Range("B1").Value = x1
.Range("B2").Value = x2
.Range("B3").Value = k
End With
End Sub
Для запуска программ нажать на кнопку или на Run.
Полученный результат находится на Листе 2.
Результаты
Метод простых итераций:
Для начала выразили x1,x2: x1=(2-cosx2)/2
x2=sin(x1+1)-1,2
Далее написали программу (см. листинг) и вывели результат:
x1 |
0,661398 |
x2 |
2,27978 |
k |
5 |
Графический способ решения СНУ:
Выбрали интервал значений x1, x2 от -1 до 3 построили точечную диаграмму для графиков функций f1(x2), f2(x1).
Вывод:
Для сходимости решения важен выбор начального приближения. Та область, в которой выбор начального приближения обеспечивает сходимость численного метода, называется областью сходимости метода. Для двух уравнений эту область можно выбрать построив графики функций. Точку пересечения графиков можно принять за начальное приближение. К сожалению, этого не удается сделать при большом количестве уравнений. Кроме того, при увеличении количества уравнений область сходимости сужается, и здесь нельзя дать общих рекомендаций.
В нашем случае оба метода дали один и тот же результат. Алгоритм метода простых итераций достаточно простой и более быстрый в выполнении. Для построения графиков надо удачно подобрать интервал, чтобы найти точку пересечения (начальное приближение) и данный способ не приемлем для решений СНУ с большим числом уравнений чем 2.
Список литературы
-
Лекции по численным методам доцента кафедры химической кибернетики КНИТУ Кошкиной Л.Ю.
-
Кошкина Л.Ю. и др. Вычислительная математика в среде Excel: Методические указания. Часть 2. / Казан. гос. технол. ун-т; Казань, 2003, с. 72
-
Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 2001.-256 с:ил.
-
Рено Н.Н. Численные методы. Учебное пособие / Казан. гос. технол. университет; Казань,2007, 112 с.
-
Турчак Л.И. Основы численных методов. - М.: Наука, 1987. – 318 с.
-
Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для персональных ЭВМ: Справочник. – М.: Наука.1989. –240 с.
-
Назаров С.В., Мельников П.П. Программирование на MS Visual Basic: Учебное пособие / Под ред. С.В. Назарова. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 320 с.: ил.