contentblob
.pdfКонтрольная работа.
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
1. Даны векторы a ={2 ;d+1; γ }, b ={c; 2-α ; c-1}, c ={α ; α ; 2-γ }, d ={2+c+α ; d+3; c+1}
в декартовой системе координат. Показать, что векторы a ,b , c образуют базис. Найти координаты вектора d в этом базисе (написать разложение вектора d по векторам a ,b , c ).
2.Даны координаты вершин пирамиды А1(с;-d;1), А2(γ +1;c;d+1), А3 (-1;d;0), А4(d;1;-γ ).
Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А3; 3) угол между ребром А1А2 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж.
3.Пусть даны векторы a ={c, d-α , α +5}, b ={2-γ , -d, c+d}. Найти
а) скалярное и векторное произведение векторов k =α a -γ b и m =-(3+α ) a +(d-γ )b ,
б) угол между векторами k и m .
в) длину и направляющие косинусы вектора m .
4-13. Привести уравнения к каноническому виду, определить тип кривой и построить ее.
4. x2-y2+4x-6y-30=0 |
5. |
3x2+5y2+18x-10y-13=0 |
|
6. x2-4x-y-5=0 |
7. |
-2x2+y2-4x+2y-5=0 |
|
8. 3x2+y2-12x+6y-13=0 |
9. |
6x2+y2-244x=0 |
|
10. |
2y2+4x-4y-6=0 |
11. x2 -6x+y-1=0 |
|
12. |
3x2-y2+6x-4y-2=0 |
13. 5x2+2y2+30x-8y-7=0. |
14.-23. Построить кривую в полярной системе координат.
14. r=4sin3ϕ |
4 |
16. r=3-sinϕ |
|
6 |
|||
15. r= |
|
17.r= |
|
||||
2 − cosϕ |
3 − sin ϕ |
||||||
18. r=5cos2ϕ |
19. r=4+cos2ϕ |
20. r= |
5 |
21.r=3sin2ϕ |
|||
6 − 2sin ϕ |
|||||||
7 |
23. r=3cos3ϕ |
|
|
|
|
||
22. r= |
|
|
|
|
|
||
4 − 3cosϕ |
|
|
|
|
Контрольная работа. Элементы линейной алгебры.
24. Решить систему линейных уравнений двумя способами: методом Гаусса и методом Крамера.
|
|
|
α x + |
4dy − 3cz = α + |
4d − 3c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(α + 2)x − (c + 3) y + (c + 2)z = α + 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ x − (α + 4) y + α z = γ − 4 |
|
|
||
25.-34. Решить однородную систему уравнений. |
|||||||
|
x + |
6y − |
5z = |
0 |
|
x − |
y + 3z = 0 |
25. |
|
3y |
− z = |
0 |
26. |
|
+ 2 y − z = 0 |
2x + |
5x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ y + 2z = 0 |
|
x − 3y + 4z = 0 |
|
6x |
|
x + |
|
2 y − |
z = |
0 |
27. |
|
|
4y − |
15z = 0 |
|
2x − |
|||||
|
|
+ |
6y + |
z = |
0 |
|
3x |
||||
|
x + |
|
4 y − |
z = |
0 |
29. |
|
|
y + |
z = |
0 |
2x − |
|||||
|
|
|
7 y − |
z = 0 |
|
|
4x + |
x + 6y − z = 0
31.5x − y + 2z = 06x + 5y + z = 0
|
x + |
7 y + |
8z = |
0 |
33. |
|
2y − |
z = |
0 |
x − |
||||
|
|
|
− 3z = 0 |
|
|
6x − 3y |
|
3x + |
2 y − |
z = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
28. |
|
+ |
7 y − |
3z = |
0 |
9x |
|||||
|
|
|
|
8z = |
0 |
|
24x − y − |
||||
|
x + |
|
4 y + |
z = 0 |
|
30. |
|
|
6 y + |
2z = 0 |
|
7x + |
|||||
|
|
+ |
2 y + |
z = |
0 |
|
6x |
x − y + 2z = 0
32.x + y + z = 0
4x − 2y + 7z = 0
3x + 7 y − 6z = 02x + 2y − 4z = 0
5x + 4y − 10z = 034.
35.-43. |
Дано тригонометрическое число а. Требуется: |
записать число а в алгебраической |
|||||||||||||||
тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения z5=a2. |
|
|
|||||||||||||||
35. a= |
|
|
4 |
|
|
36. a= |
|
|
8 |
37. a= |
− |
4 |
|
38. a= |
− 8 |
||
1 |
− i |
1 |
− i 3 |
1 + i |
+ i 3 |
||||||||||||
|
|
|
1 |
||||||||||||||
39. a= |
|
|
4 |
|
|
40. a= |
|
− |
4 |
|
41. a= |
− |
8 |
42. a= |
8 |
||
1 |
+ i |
1 − i |
i + |
3 |
3 − i |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
43. a= |
1 |
− |
8 |
44. a= |
|
|
8 . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
− |
i 3 |
|
|
|
3 + i |
|
|
|
|
|
|
Контрольная работа. Введение в математический анализ.
45.-54. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
45. |
а) lim |
|
4x6 |
− x + 5 |
|
б) lim |
|
|
|
|
x2 |
− 9 |
|
|
|
|
в) lim |
x2 + 2 − |
2 |
||||||||||||||
|
x6 + 3x2 + 1 |
|
3x2 − 8x − 3 |
x2 + 1 − 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x→ |
∞ |
|
x→ 3 |
|
x→ |
0 |
||||||||||||||||||||||||||
|
г) lim |
1− cos6x |
д) lim x[ln(3x − |
1) − ln(3x − |
2)] |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x→ 0 |
7x sin 3x |
x→ +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
46. |
а) lim |
2x6 − 3x2 + 5 |
|
|
б)lim 2x2 − |
5x − |
3 |
|
|
в) lim |
7 − x − |
7 + x |
|||||||||||||||||||||
3x6 + 4x2 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x |
|
||||||||||||||||||||||
|
x→ ∞ |
|
x→ 3 |
|
|
x2 − x − 6 |
x→ |
0 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
г) lim sin 4x + sin 2x |
д) lim |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
ln(1+ |
|
|
x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
6x |
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
47. |
а) lim |
|
|
x3 |
− 3x2 − 2x |
б)lim |
|
|
x2 |
|
− |
3x + |
2 |
|
в) lim |
3x2 |
|||||||||||||||||
3x3 + 4x2 + x + 4 |
3x2 − 4x − 4 |
1− x2 − |
x2 + 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→ ∞ |
|
|
x→ 2 |
x→ |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8+ |
|
x |
|
|
|
|
|||||||||
|
г) lim |
|
π |
− |
x tgx |
д) lim(1+ 5x) |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x→ |
π |
|
2 |
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
48. |
а) lim |
6x5 |
− 4x2 − x |
|
б)lim |
3x2 |
− |
14x − 5 |
в) lim |
2x + 1 − |
3 |
||||||||||||||||||||||
|
2x5 + 2x − 3 |
|
|
x2 − 7x + 10 |
x − 2 − |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
x→ ∞ |
|
|
|
x→ 5 |
|
|
x→ |
4 |
||||||||||||||||||||||||
|
г) lim tgx − |
sin x |
д) lim |
x + |
4 |
|
− 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
xsin x |
|
|
+ |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→ 0 |
|
|
|
x→ ∞ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49. |
а) lim |
7x3 − |
2x2 − 4x |
||||||||||||||
2x3 + 8x2 − x + 5 |
|||||||||||||||||
|
x→ ∞ |
||||||||||||||||
|
г) limsin 7xctg5x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
50. |
а) lim |
− |
x4 |
+ |
6x2 + |
5 |
|
|
|
||||||||
4x4 − 5x + 3 |
|||||||||||||||||
|
x→ ∞ |
||||||||||||||||
|
г) lim cos x − |
cos3 x |
|||||||||||||||
|
x→ 0 |
|
4xsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
51. |
а) lim |
|
|
x3 + 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7x2 + 10x + 5 |
|||||||||||||||||
|
x→ ∞ |
||||||||||||||||
|
г) lim cos 2x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→ 0 |
3x sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
52. |
а) lim |
x2 |
− |
3x + 2 |
|
|
|
|
|
||||||||
6x2 + 4x + 9 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→ ∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
г) lim |
|
xtg3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
cos6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→ 0 1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
53. |
а) lim |
− |
3x4 |
+ x2 |
+ |
|
5x |
||||||||||
|
x |
4 |
+ |
3x |
2 |
− |
2 |
|
|
||||||||
|
x→ ∞ |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
г) lim |
|
sin 2 (x − 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3x2 − 6x + 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→ 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
54. |
а) lim |
x4 |
+ |
10x2 − 3 |
|
||||||||||||
2x5 − 5x4 + 3x |
|||||||||||||||||
|
x→ ∞ |
г) lim cos 4x − cos2 4x |
||
x→ |
0 |
2x sin 6x |
|
б)lim |
2x2 − |
3x − 2 |
|||||||||||||||||||
x→ |
2 |
|
x2 − |
6x − 16 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||
д) lim(1 + |
cos x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
cos x |
|||||||||||||||||||||
x→ |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б)lim |
|
2x2 |
− 72 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→ |
6 |
|
|
x2 |
− |
7x + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
д) lim |
|
x |
|
|
2 x− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→ |
∞ |
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) lim |
|
3x2 − |
|
x − |
14 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→ |
− 2 |
|
x2 + 8x + 12 |
||||||||||||||||||
д) lim 3x[ln(x + |
4) − ln x] |
||||||||||||||||||||
x→ |
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б)lim |
|
|
x2 |
− |
|
6x + |
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||
2x2 − 11x + 5 |
|||||||||||||||||||||
x→ |
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
д) lim(1+ |
3x) |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б)lim |
|
|
x2 |
− |
7x + |
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2x2 + 5x − 7 |
|||||||||||||||||||||
x→ |
1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|||||||
д) lim(1+ |
2sin x) |
|
|
||||||||||||||||||
sin x |
|||||||||||||||||||||
x→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) lim |
|
3x2 + |
10x + 3 |
||||||||||||||||||
x→ |
− 3 |
|
|
2x2 + 5x − 3 |
|||||||||||||||||
д) lim |
|
2x |
|
|
− |
4 x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→ |
∞ |
|
2x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) lim |
4x + |
1 − |
3 |
|
3x + |
10 − |
4 |
||
x→ 2 |
в) lim |
x + |
4 − |
3 |
x→ 5 |
x − |
1 − |
2 |
|
|
|
в) lim |
x2 + |
2 − |
2 |
x→ 0 |
x2 + |
9 − |
3 |
в) lim |
4x − |
|
3 − 3 |
||
x |
2 |
− |
9 |
||
x→ |
3 |
|
|||
|
|
|
|
в) lim |
x2 + |
16 − |
4 |
x→ 0 |
x2 + |
1 − |
1 |
в) lim 2 − |
2 |
|
x2 |
+ 4 |
|
x→ 0 |
3x |
|
|
|
55.-64. Задана функция y=f(x) и два значения аргумента х1 и х2.Требуется: 1) установить, является ли эта функция напрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;
2)в случае разрыва функции найти ее пределы справа и слева;
3)сделать схематический чертеж.
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
55. f(x)=10 |
|
|
, |
х1 |
=2; х2=-1/3. |
56. f(x)=3 |
|
|
|
|
, |
х1 |
=0; х2=-2. |
||||
3x+ 1 |
2+ |
x |
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
57. f(x)=5 |
|
|
|
, |
х1 |
=1; х2=-4. |
58. f(x)= 2 |
|
, |
х1 |
=0; х2=1. |
||||||
4+ x |
x− 1 |
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
59. f(x)=7 |
|
, |
х1 |
=0; х2=-3 |
60. f(x)= 4 |
|
|
, |
х1 |
=2; х2=4 |
|||||||
x |
2− |
x |
61. f(x)=6
63. f(x)= 2
1
4− 2 x
1
4 x+ 2
|
|
|
1 |
|
|
|
||
, |
х1 |
=1/2; х2=2 |
62. f(x)= 4 |
|
|
, |
х1=3; х2=4 |
|
6− 2 x |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
||
, |
х1 |
=1; х2=-1/2 |
64. f(x)=8 |
|
, |
х1 =7; х2=5. |
||
7− x |
65.-74.Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
− 1, |
|
|
|
x < 0, |
|
|
x + 2, |
|
|
|
|
|
x ≤ − 2, |
|
||||||||
65. y= − |
cos x, |
|
|
0 ≤ x ≤ |
π / 2 |
|
66. y= 2 − |
x, |
|
|
|
− |
2 < |
x < |
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 2, x ≥ 0 |
|
|
|
|
|||||||
π / 2 + x, x > π / 2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x, |
|
|
x ≤ − 1, |
|
|
x2 − 4, |
|
x < − 1, |
|
|||||||||||||
67. y= 1/ 2, − |
1 < |
x ≤ π |
/ 6 |
|
68. y= 3x, |
|
|
|
|
|
|
− |
1 ≤ |
x ≤ |
3 |
|||||||
|
|
|
x > |
π / 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > |
|
3 |
|
|||
sin x, |
|
|
5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2, |
|
|
x < − 1, |
|
|
4 / x, |
|
|
|
|
|
x < − 2, |
|
|||||||||
69. y= 2 − 2x, |
|
− |
1 ≤ x ≤ |
1 |
|
70. y= x, |
|
|
|
|
|
|
− |
2 ≤ |
x < 0 |
|||||||
|
|
|
|
x > 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≥ 0 |
|
|
|
||||
ln x, |
|
|
|
1− x, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(4 − x) |
|
, |
|
x < 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ |
π |
, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
71. y= cos 2x, |
|
|
|
|
0 ≤ |
x ≤ π / 4 |
72. y= − |
1, |
|
|
|
|
|
|
− π |
< |
|
x ≤ |
0 |
|||
− x, |
|
|
|
|
x > π / 4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x > 0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
+ 1) 2 , |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x + π , |
|
|
|
x ≤ − π , |
|
|
|
|
x < − 2, |
|
||||||||||||
73. y= sin x, |
|
|
|
− π < x ≤ |
0 |
74. y= 3x + |
2, |
|
|
|
− |
2 ≤ |
x ≤ |
2 |
||||||||
|
|
− 2x, |
|
|
|
x > 0 |
|
|
|
− |
x |
2 |
, |
|
x > 2 |
|
||||||
3 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
Контрольная работа. Производная и ее приложения.
75.-84. Найти производные |
dy |
для данных функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
1+ |
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
75. |
а) y= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) y= 5arctg 2x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x + |
|
|
|
x |
|
|
|
б) y= |
|
|
|
|
г) y= x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
76. |
а) y= |
|
|
|
|
|
|
1 |
− 2 6x + |
5 |
|
б) y=cos2xsin2x |
в) y=ln(arctgx) |
|
г) y= х x + 1 |
|||||||||||||||||||
|
|
(x2 + |
|
3x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
77. |
а) y= |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y=cos53xsin35x |
в) y= |
|
x -arctg |
x |
г) y= xln x |
||||||||||||||||
(x3 + |
|
1) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
78. |
а) y=x |
3 1+ |
x |
|
|
|
б) y=ln |
1+ |
cos x |
в) y= |
|
x 2 + |
1 arcsinx |
г) y=(x+x2)х |
||||||||||||||||||||
|
|
|
1− |
x |
|
|
|
|
|
|
|
1− |
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
79. |
а) y= |
|
x + |
|
3 |
|
x |
|
|
|
б) y=e |
tgx |
cosx |
в) y= |
2 |
arcsin2 |
3x |
|
|
|
|
|
|
tgx |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) y=(cosx) |
||||||||||||||||||||
80. |
а) y= |
|
x2 + 1 + 3 |
x3 + 1 |
б) y=arcsin(tg |
x |
) |
в) y=ln(ex+ |
e2 x + 1) |
г) y=(cos3x)x |
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x + |
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81. |
а) y= |
|
|
2 |
|
|
|
|
б) y=e |
cosx |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
+ |
x |
4 |
+ 1 ) |
г) y=x |
arctgx |
|||||||||||
|
x − |
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
в) y=ln(x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
82. |
а) y=5 |
|
2 |
|
|
|
|
б) y= |
|
|
|
|
1 cos6x |
в) y= 9 |
|
|
|
|
|
|
г) y=(sin3x) . |
|||||||||||||
x |
2 |
+ |
|
|
|
|
x + |
x |
|
x |
2 |
+ |
arccos2 7 x |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 + |
x 2 |
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
sin(lnx) |
|
|||||||
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
б) y= |
|
|
|
|
|
|
|
в) y=arctg(e ) |
г) y=x |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
83. a) y= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg4x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 − |
x |
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
84. |
а) y= 3 |
1 + |
x3 |
|
б) y= |
|
ex |
|
|
|
в) y=arccos(tgx) |
г) y=(tg2x)sinx. |
||||||||||||||||
1 − |
3x |
|
|
cos x |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
85.-94. Для данных функций найти |
|
dy |
, d 2 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85. |
а) y=x x2 |
+ 1 |
|
|
|
б) x=2t-t2, |
y=3t-t3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
86. |
а) y= |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
б) x=3cost, |
y=4sint |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
(1− x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
87. |
а) y= |
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) x=2cos2t, y=4sin3t |
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
88. |
а) y=x2lnx |
|
|
|
|
|
|
|
б) x=cost+tsint, |
|
y=sint-tcost |
|
|
|
||||||||||||||
89. |
а) y=xe-x |
|
|
|
|
|
|
|
б) x=2cost-cos2t, y=sint-tcost |
|
|
|
||||||||||||||||
90. |
а) y=(1+x2)arctgx |
|
|
б) x=2t3+t, y=lnt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
91. |
а) y=excosx |
|
|
|
б) x=3t-t3, |
y=3t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
92. |
а) y=e-xsinx |
|
|
|
б) x=2t-t3, |
y=2t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
93. |
а) y=x e x |
|
|
|
|
|
|
|
б) x=ctgt, |
y= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
94. |
а) y=x e |
|
− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
б) x=lnt, |
y= |
1 |
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t + |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
t |
|
|
|
|
95.- 104. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f(x)=ex вычислить значение ea с точностью 0.001.
95. а=0.49 |
96. а=0.36 |
97. а=0.13 |
98. а=0.83 |
99. а=0.59 |
100. а=0.53 |
101. а=0.78 |
102. а=0.21 |
103. а=0.15 |
104. а=0.72 |
105. |
-114. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
105.а) lim(tgx − |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
) |
|
б) lim xsinx |
|
|
106. |
а) lim( |
1 |
− |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− sin x |
|
|
x→ |
0 |
|
|
|
|
x→ 0 |
x |
|
sin x |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (ctgx) |
ln x |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|||||||||||||||||
107. |
а) lim( |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
) |
б) x→ |
0 |
|
|
|
108. |
а) lim( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|||||||
ctgx |
|
|
|
2cos x |
|
|
х − |
1 |
|
ln x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
109. |
lim2 |
|
1 |
|
|
− |
ctg |
2 x |
|
|
|
б) lim(tgx) |
2 x− π |
110. |
а) lim(ctgx − |
|
1 |
) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
а) x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
π |
|
|
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111. |
а) lim( |
|
1 |
|
|
|
− |
|
|
x |
|
) |
|
|
|
б) lim (sinx)x |
112. |
а) lim( |
|
1 |
|
|
|
|
− |
|
1 |
) |
|||||||||||||||
ln x |
|
|
ln x |
|
|
|
|
x sin x |
|
|
x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
0 |
|
|
|
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
113. |
а) lim( |
|
|
x |
|
|
|
|
|
− |
1 |
) |
|
б) lim (1+x)lnx |
114. |
а) lim(1 − |
|
|
|
1 |
|
|
|
) |
|
|
|||||||||||||||||
arctgx |
x |
|
e x − |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
x→ |
0 |
|
|
|
|
x→ 0 |
x |
|
|
|
|
б) lim (arcsinx)sinx
x→ 0
1
б) lim(x) x
x→ ∞
3
б) lim (cos 2x) x
x→ 0
б) lim(1+ |
1)ax |
||||
|
x→ |
∞ |
x 1 |
||
|
|
|
|
||
|
lim (ln x) |
|
|
||
б) |
x |
||||
x→ |
∞ |
|
|
|
115.-124. Найти наименьшее и наибольшее значение функции y=f(x) на отрезке [a,b].
115. f(x)=x3-12x+7, a=0, b=3. |
116. f(x)= |
x − |
3 |
, a=2, |
b=8 |
||
x2 |
+ |
7 |
|||||
|
|
|
|
||||
117. f(x)=x3-12x+7, , a=-3,b=0 |
118. f(x)= |
x − |
3 |
, a=2, |
b=8 |
||
x2 |
+ |
5 |
|||||
|
|
|
|
119. f(x)= |
1 x-sinx, a=0, b=π /2 |
120. f(x)= |
x − |
3 |
|
, a=-2, |
b=5 |
||
x2 |
+ |
7 |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|||||
121. f(x)= |
1 x+cosx, a=0, b=π /2 |
122. f(x)= |
x − |
3 |
|
, a=-2, |
b=3 |
||
x2 |
+ |
5 |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|||||
123. f(x)= |
1 x-sinx, a=-π /2,b=0 |
124. f(x)= |
x + |
|
3 |
|
, a=2, |
b=8 |
|
x |
− |
1 |
|||||||
|
2 |
|
|
|
Контрольная работа . Приложения дифференциального исчисления.
125.-134. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|||||
125. y=(1+x)(x-2) |
126. y=sin x+cos x |
127. y=2-tgx |
128. y= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1+ |
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
129. y=(x-3) x |
|
|
|
|
2 |
|
|
− x2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|||||||
130. y=(1+x )e |
|
131. y= |
|
|
|
|
|
132. y= |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x2 − 1 |
x2 + 1 |
||||||||||||||||||||||||
133.y= 3 x2 |
e-x |
134. y= |
8x2 − |
x4 |
135. y= e2 x− x2 |
136. y= ln x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||
137. y=x e− |
x2 |
138. y= |
x |
2 |
− |
1 |
|
|
|
139. y= e |
|
1 |
|
|
|
|
|
140. y= |
|
|
4x |
|||||
|
|
|
|
3− |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x2 |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
4 + |
|
x2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
141. y=ln(x2-4) |
142. y=ln(9-x2) |
|
|
x |
2 |
+ |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
143. y= |
|
|
144. y= e |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x+ |
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x2 |
− |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
145.-154. Написать уравнения касательной и нормали к кривой y=f(x) в точке М0(x0,y0).
145. y=(x-2)e |
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
М0(0;-2) |
146. y= |
|
|
|
|
, |
|
М0(1;-1/3) |
|
|||||
x2 − |
4 |
|
|||||||||||||
2 |
|
x |
|
|
|
x − |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
147. y=(x |
+4)e , |
М0(0;4) |
148. y= |
|
|
|
, |
|
М0(0;5) |
|
|||||
x2 − 1 |
|
||||||||||||||
149. y=(x-5) |
x , |
М0(1;-4) |
150. y= |
x2 + 1 |
|
, |
|
М0(0;1/9) |
|
||||||
x2 + |
9 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
x |
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|||
151. y=(x |
-x)2 , |
М0(0;0) |
152. y= |
|
|
|
, |
|
М0(1;0) |
|
|||||
x2 + |
1 |
|
|||||||||||||
153. y=(x+1) |
x , |
М0(0;0) |
154. y= |
x2 + x − |
1 |
,М0(0;-1/9) |
|
||||||||
x2 + |
2x + |
9 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
155.- 164. Вычислить приближенно с помощью дифференциала. |
|
||||||||||||||
155. сos 59° 36′ |
156. tg 45° 18′ |
|
157. |
1+ |
(0.08)2 |
158. e0.03 159. ln(0.998) |
|||||||||
160. arcsin 0.498 |
161. sin 30° 16′ |
162. ctg 44° 58′ |
163. arctg 0.998 |
||||||||||||
164. arccos 0.995 |
|
Контрольная работа. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. |
||||||||||||||
165.-174. Построить поверхности, заданные уравнениями. |
|
|
|||||||||||||
165. x2+z2=4 |
|
166. y2-x2=1 |
|
167. 9x2+16y2=144 |
168. x2+y2=2x |
||||||||||
169. y2+2y=z |
|
170. z2+y2-3x2=1 |
|
171. x2-3y2-2z2=1 |
|
172. 5x2+y2+2z2=1 |
|||||||||
173 x2+2y2-3z2=0 |
|
|
174. 3y2+z2=-x. |
|
|
175.-184. Найти области определения функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
175. z=arccosxy |
|
|
|
|
|
|
176. z= ln(x + |
y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
177. z= |
x + |
|
y + |
x − |
y |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x − |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
178. z= |
x2 |
+ |
|
y2 |
+ |
|
4 y |
|
|
179. z=arcsin(3-x2-y2) |
|
|
|
|
|
180. z= |
x2 |
− |
|
y2 |
|
|
||||||||||||||||
181. z= |
4 − |
|
x2 − |
|
4 y2 |
|
|
182. z=ln(y2-4x+8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
183. z= |
x − |
|
|
y |
|
|
|||||||||||||||
184. z= |
x2 |
+ |
|
y2 |
− |
|
|
16 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
185.-194. Вычислить частные производные |
|
∂ z |
и |
∂ z |
|
от функций. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂ y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
+ |
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
186. z= sin( y + 2x − |
4) |
|
|
|
|
|
187. z=arcsin |
2 |
xy |
|
|
|||||||||||||||||
185. z=ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
||
188. z=e |
|
tg |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
189. |
z=ctg(ln(x-y)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
190. z=cos ln(x +y ) |
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
193. z=arctg(x2+exy) |
|
|
|
|
|
y |
||||||||||||
191. z= x y cosy |
|
|
|
|
|
192. z=e xy 4 |
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
194. z= |
1 + x2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
195.-204. Вычислить производные от сложных функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
195. z=arctg |
y |
, где y=ln(x2+x-3); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
− |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
|
|
|
|
dz |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
196. z=ln(sin(x |
y )), где x= et2 ,y= t 2 ; |
|
|
|
|
− |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
197. z=cos |
|
|
|
|
|
|
, где x=e y2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x2 |
+ y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
198. z=ln(x+lny), где x= u , y=sin u ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ z |
|
− |
? |
∂ z |
− ? |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ u |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ v |
|
|
|
|
|
|
||||||
199. z=exy+x 3 |
y , y=arcsin2 |
x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
− |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
200.z=arcsin1+y 2x2 , где x=e y 2 ;
201.z=ln(x2+ xy ), где x=euv, y= uv2 ;
202. z= |
tg(x3 − y3 ) , где x=u sinv, y= |
u |
; |
|
2v |
||||
|
|
|
203.z=ln(xy+ey), где x=t 3 , y= t −t 1, z= t −t 1;
204.z=arctg xx +− yy , где x=cos2y;
205.-214. Вычислить частные производные ∂∂ xz , ∂∂ yz
dz |
− |
? |
|
|
|
||
dy |
|
|
|
|
|
||
∂ z |
− |
? |
∂ z |
− |
? |
||
∂ u |
∂ v |
||||||
|
|
|
|
||||
∂ z |
− |
? |
∂ z |
− |
? |
||
∂ u |
∂ v |
||||||
|
|
|
|
||||
dz |
|
− |
? |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
dz |
− |
? . |
|
|
|||
dy |
|
|
|
|
|
от функций, заданных неявно.
205. arcsin xy- cos-3z+3x=0; |
206. cos(ln(x-y))+tg( |
y |
)- e-z=0; |
x |
207. ln tg |
xzy + ex3 - |
1 |
|
=0; |
|
|
208. cos xy |
− |
||
z |
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
z |
y |
|||
2 |
2 2 |
|
|
|
z2 |
|
|
|
||
209. ln(x |
+y +z )-sin |
|
= e |
|
; |
210. ln (tg |
|
|||
xy |
|
x |
211. sin(x2+y2)2+ctgexz- |
z =0; |
212. arcsin |
||
213. z=sinxy+arctg |
x |
; |
214. xysin |
|
y − z |
||||
|
|
|
ln x +arcsin y2=0; )-z2lnx+y3=a;
xy +ecosz-xsiny=a;
x
2z + 1 - ecos y =zlnz.
3
215.- 224. Даны функция z=z(x,y), точка М0(x0,y0) и вектор а. Найти
1)grad z в точке М0,
2)производную z в точке М0 по направлению вектора а.
215. z=2x3+2 |
|
x − y 2 , |
М0(2,1) |
, a=2i + 5 |
|
|
216. z=2x2+xy+y2, |
|
М0(2,2) , a=i - 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
j |
|
|
j |
|||||||||||||||||||||||||||
217. z=arctg |
y |
, |
|
М0(1,3) |
, a=3i +4 |
|
|
218. z=x2+y2-3x+2y, |
М0(0,0) , a=4i -3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
j |
j |
||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
219. z=5x2y-7xy2+5x, |
М0(1,2) |
, a=i +2 |
|
|
|
220. z=xy2-xy-y2, |
|
М0(2,-1) , a=2i - |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
j |
|
j |
||||||||||||||||||||||||||||
|
x3− 3x2 y+ 3x+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
221. z=e |
|
|
|
|
, |
М0(1,-1) , a=i + j |
222. z=x +5x+y - |
|
, |
М0(0,2) , a=3i +4 j |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
||||||||||||||||||||||||||
223. z= x2 + |
y 2 , |
|
М0(3,4) |
, a=-i + |
|
|
224. z=x2+y2-xy2-3y-1, М0(2,1) , a=-2i +2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
j |
j |
225-234. Найти неопределенные интегралы.
225. а) ∫ ecos2 |
x sin 2xdx |
|
|
|
|
|
|
|
b) ∫ arctg |
xdx |
|||||||||||||||||||||
c) |
∫ |
|
|
|
|
(x − |
c2)dx |
|
|
|
|
|
d) ∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
( x + |
d) |
2 |
( |
x |
2 |
+ |
|
4x+ |
) |
|
|
|
|
1 + |
3 |
x+ |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
226. |
∫ |
2 ln x + |
3 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) |
|
∫( |
x2 + |
|
|
|
) |
||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x− |
2 Sinxdx |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) |
∫ |
|
|
|
|
(x − |
c2)dx |
|
|
|
|
|
d) |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||
|
( x + |
d) |
2 |
( |
x |
2 |
+ |
|
4x+ |
5 |
|
|
|
|
x |
1 |
2 + x |
1 |
3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
227.a) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) ∫ e x Sin3x dx |
|||||||||||||||||
(1 + |
x2)(9− |
|
|
4arctgx) |
1 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
c) ∫ |
|
|
|
(x − |
|
c2)dx |
|
|
|
|
|
|
d) ∫ 4 + x2 dx |
|
|||||||||||||||||
( x + d) 2 |
( |
x2 |
+ |
4x+ |
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
228.a) ∫ |
3x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) ∫ x ln(1 + x) dx |
|||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
9 |
− |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) |
∫ |
|
|
|
|
( |
x − |
|
c2 |
) |
dx |
|
|
|
|
|
d) ∫ |
|
|
x |
2 |
− 25 dx |
|
||||||||
|
( x + |
d) |
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
x |
2 |
+ |
4x+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
229. a) |
|
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x( x + |
|
|
9) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
c) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
(x − |
c2)dx |
|
|
|
||||||||
( |
x |
+ |
|
d |
) |
2 |
( |
x |
2 |
+ |
|
4x+ |
) |
|||||||
|
|
|
|
|
5 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
230. a) |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
4x |
|
− 1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
(x − |
c2)dx |
|
|
|
||||||||
( |
x |
+ |
|
d |
) |
2 |
( |
x |
2 |
+ |
|
4x+ |
) |
|||||||
|
|
|
|
|
5 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
231. a) |
|
∫ |
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
4x |
4 |
+ |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
c) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
(x − |
c2)dx |
|
|
|
||||||||
( |
x |
+ |
|
d |
) |
2 |
( |
x |
2 |
+ |
|
4x+ |
) |
|||||||
|
|
|
|
|
5 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
232. a) ∫ Sin3x Cosx dx |
|
|||||||||||||||||||
c) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
(x − |
c2)dx |
|
|
|
||||||||
( |
x |
+ |
|
d |
) |
2 |
( |
x |
2 |
+ |
|
4x+ |
) |
|||||||
|
|
|
|
|
5 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
233. a) ∫ |
5Igx − |
4 |
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
(x − |
c2)dx |
|
|
|
||||||||
( |
x |
+ |
|
d |
) |
2 |
( |
x |
2 |
+ |
|
4x+ |
) |
|||||||
|
|
|
|
|
5 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
234. a) |
|
∫ |
|
|
|
|
Sinx dx |
|
|
|
|
|||||||||
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
) |
1 |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
4 − |
|
Cos |
x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
c) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
(x − |
c2)dx |
|
|
|
||||||||
( |
x |
+ |
|
d |
) |
2 |
( |
x |
2 |
+ |
|
4x+ |
) |
|||||||
|
|
|
|
|
5 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) ∫ x arctgx dx |
|||
|
d) ∫ |
1 − x2 dx |
|||||
|
|
|
|
b ) |
∫ arcsin x dx |
||
d) |
|
x 12dx |
|
||||
∫ x |
13 − |
1 |
|||||
|
|
||||||
|
|
|
|
b) |
|
∫ 2 x Cosx dx |
|
d) |
|
∫ |
x2 − |
49 |
|||
|
x2 |
|
dx |
||||
|
|
|
|
|
b)∫ (x2 − 4)Sin2x dx
d) |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
∫ (2x − 1) 12− |
4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
b) |
∫(x2 − 3x) 3x dx |
|||||||
d) |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
∫ ( x − 1) 13− |
|
( x− |
1) 12 |
|
|||||
|
|
|
|||||||
|
b) |
∫ ( |
x2 + |
) |
|
||||
|
|
x Inx dx |
d) |
|
d x |
||
∫ ( x − 1) |
1 3 − 1 |
|||
|
235-244. Вычислить определенные интегралы:
235. ∫e 3ln+ 5 dx; x
1
π2
236.∫ Sinx Cos2 x dx:
0
2 |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||
237. ∫ |
|
|
|
|
|
; |
238. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
x2 |
+ |
12 |
|
|
|
0 ( |
1 + |
x2)(1+ |
3 arctgx) |
|
|
||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3x dx |
|
|
|
|
|
|
|||
239. ∫ |
|
|
|
|
|
dx ; |
|
240. |
|
|
|
∫ |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||
e |
x |
4 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
0 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 + |
9 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
π 4 |
|
3tgx − |
5 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||||||
241. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
|
242. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||
|
|
Cos |
2 |
x |
|
|
|
|
(1 − |
x2) |
12 |
arcSin2 x |
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|||||||||||||
10 |
|
|
− |
3 |
lg x |
|
|
|
|
|
π |
2 |
Cosx dx |
|
|
|
|
||||||||||
243. ∫ |
1 |
dx; |
|
244. |
|
|
|
∫ |
. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
4 |
2Sinx + 3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
245-254. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
245. ∫2 |
|
Cosxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
; |
|
246. |
∫ x Cosxdx; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
1 − |
Sinx |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||
247. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
248. |
∫ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 x |
|
|
|
+ 2x+ |
5 |
|
1 1 + x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
2xdx |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
||||||
249. ∫ |
|
; |
|
|
250. |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
1 |
|
|||||||||||||
|
∞ |
x |
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
x2 − |
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||
251. ∫ e− x Cosx dx; |
252. |
∫ |
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||
x |
2 |
− |
|
4x+ |
5 |
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||||
253. ∫ |
|
|
|
|
|
dx; |
|
|
254. |
|
|
|
∫ |
|
|
|
. |
|
|
|||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x( x + |
1) |
|
|
||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
255-264. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными кривыми.
|
|
|
4− |
x |
2 |
x = |
2( t− |
S int) |
|
|
||
255. |
y = |
256. |
(0 |
≤ t 2π ) |
||||||||
|
y = |
|
x2 |
|
y = |
2(1− |
Cost) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
257. |
|
y = |
4x |
258. |
|
|
r = 2Sin3ϕ |
|
|
|||
|
|
x |
2 |
|
|
r ≥ |
1 |
|
|
|||
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|