Самое главное при замене переменной
не забывать заменять пределы интегрирования.
Интегрирование
по частям определенного интеграла.
Для интегралов вида
,
где
− многочлен, а
− основная элементарная функция,
применяется формула интегрирования по
частям:
. (5.7)
Отличие от аналогичной формулы для неопределенного интеграла только в расстановке пределов.
Вычисление определенных интегралов с симметричными пределами. Если, пределы интегрирования симметричны относительно нуля, то
(5.8)
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение определенного интеграла и укажите его геометрический смысл.
2.
Пусть
.
Как это истолковать геометрически?
3.
Докажите, что
.
4. Перечислите свойства определенного интеграла.
5. Каков геометрический смысл теоремы о среднем для определенного интеграла?
6. Следует ли из интегрируемости суммы интегрируемость слагаемых?
7. Рассмотрите аналогичные вопросы для разности, произведения и частного двух функций.
8. Интегрируема ли сумма двух функций, если одно слагаемое интегрируемо, а другое нет?
9. Рассмотрите аналогичные вопросы для разности, произведения и частного двух функций.
10. Интегрируема ли сумма двух интегрируемых функций?
11. Рассмотрите аналогичные вопросы для разности, произведения и частного двух неинтегрируемых функций.
12.
Пусть функция
интегрируема на
и неинтегрируема на
.
Что можно сказать о ее интегрируемости
на
?
13. При каких условиях справедлива формула Ньютона-Лейбница?
14. Перечислите условия, при выполнении которых справедливы:
а) формула замены переменной;
б) формула интегрирования по частям.
15. С помощью, каких подстановок вычисляются интегралы, содержащие дробно-линейные иррациональности?
16. Для вычисления, каких типов интегралов удобны тригонометрические подстановки?
17. Для вычисления, каких типов интегралов удобен метод интегрирования по частям?
5.
Если интервал интегрирования
не ограничен
или функция
не ограничена в окрестности одного из
пределов интегрирования
,
то по определению полагают
, (5.9)
и
.
(5.10)
.
Интегралы в левых частях равенств (5.9) и (5.10) называются несобственными интегралами. Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел в правой части равенств (5.9) и (5.10). Если же предел не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.
6.
Вычисление площадей плоских фигур.
Область называется правильной относительно
оси
,
если любая горизонтальная (вертикальная)
прямая пересекает границу области не
более чем в двух точках. Если область
правильная относительно осей Ox
и Oy, то она просто
называется правильной областью. Области
на рис. 6 правильные
относительно оси
,
на рис. 7 относительно
оси
.
у
y
О a
b
x O
x
Рис. 6. Рис. 7.
Условимся
дальше области, правильные относительно
оси
,
штриховать линиями, параллельными оси
.
1.
Если область G,
правильная относительно оси
,
проектируется на ось Ox
в отрезок
,
то ее граница разбивается на две линии:
нижнюю границу области, задаваемую
уравнением
,
и верхнюю, задаваемую уравнением
.
Тогда область G
определяется системой неравенств
8,
9;
а площадь фигуры, заключенной между кривыми и , на отрезке вычисляется по формуле
. (5.11)
Если
область G, правильная
относительно оси Ox,
проектируется на ось Oy
в отрезок
,
то ее граница разбивается на две линии:
левую границу области, задаваемую
уравнением
,
и правую, задаваемую уравнением
.
В этом случае область G
определяется системой неравенств
а
площадь фигуры, заключенной между
кривыми
и
,
на отрезке
вычисляется по формуле
.
(5.12)
2.
Если кривая, ограничивающая криволинейную
трапецию, задана параметрическими
уравнениями
,
то площадь криволинейной трапеции
;
(5.13)
где
и
определяются из уравнений
и
.
3.
В случае, когда непрерывная кривая
задана в полярных координатах уравнением
,
площадь криволинейного сектора
,
ограниченного данной кривой и двумя
полярными радиусами
и
,
которые соответствуют значениям
и
полярного угла, выражается интегралом
.
(5.13)