Динамика вращательного движения
ФОРМУЛЫ
Равномерное движение по окружности:
; ; ;
; ; S=φR;
;
;
,
здесь ν – частота (количество оборотов за 1 секунду), N – количество оборотов, t – время вращения, T – период обращения (время одного полного оборота), υ – скорость движения по окружности, R – радиус окружности, ω – циклическая частота или угловая скорость вращения, φ – угол поворота, aτ – тангенциальное ускорение; aцс (an) – центростремительное ускорение или нормальное ускорение, ε – угловое ускорение.
Кинематическое уравнение равномерного вращения (ω=const):
,
Кинематическое уравнение равнопеременного вращения (ε=const):
,
здесь φ0 – начальное угловое перемещение, ω0 – начальная угловая скорость.
Момент инерции относительно оси вращения материальной точки:
,
здесь m – масса материальной точки, r – расстояние от оси вращения до материальной точки;
Момент инерции относительно оси вращения системы материальных точек:
,
здесь mi – масса i-й элементарной точки, ri – расстояние от материальной точки до оси вращения;
Момент инерции относительно оси вращения твердого тела:
,
здесь ρ – плотность тела;
Момент инерции некоторых тел правильной геометрической формы:
Однородный тонкий стержень массой m и длиной ℓ, ось проходит перпендикулярно стержню через центр стержня, через его край, соответственно:
Тонкое кольцо, обруч, труба массой m и радиусом R, ось проходит перпендикулярно плоскости тела через центр:
,
Круглый однородный диск массой m и радиусом R, ось проходит перпендикулярно плоскости диска через центр:
,
Однородный шар массой m и радиусом R, ось проходит через центр шара:
,
Однородная сфера массой m и радиусом R, ось проходит через центр сферы:
;
Для плоских фигур:
,
здесь Iz – момент инерции плоской фигуры относительно оси Oz, перпендикулярной плоскости; Ix и Iy – момент инерции той же фигуры относительно осей Ox и Oy, лежащих в плоскости;
Теорема Штейнера:
,
здесь I – момент инерции тела относительно произвольной оси, I0 – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси, ℓ – расстояние между осями, m – масса тела;
Момент силы F, действующей на тело, относительно оси вращения:
,
здесь r – радиусвектор, направленный от оси вращения к точке приложения силы F, ℓ – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы, α – угол между радиусвектором и силой;
Момент импульса вращающегося тела относительно оси:
;
Закон сохранения момента импульса
;
Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:
;
Работа момента силы, действующего на вращающееся тело:
,
здесь φ – угол поворота тела;
Кинетическая энергия вращающегося тела:
,
Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости:
.
01.03.01. Момент инерции.
Уровень 1.
Определить момент инерции J материальной точки массой m=0,3 кг относительно оси, отстоящей от точки на r=20 см. Полученный ответ умножьте на 1000. [12]
Два маленьких шарика массой m=10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной ℓ=20 см. Определить момент инерции J системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс. Полученный ответ умножьте на 104. [2]
Д ва шара массами m и 2m (m=10 г) закреплены на тонком невесомом стержне длиной ℓ=40 см так, как это указано на рис. 3.7а, б. Определить моменты инерции J системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец в этих двух случаях. Размерами шаров пренебречь. Полученный ответ умножьте на 104. [36] [24]
Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной ℓ=30 см и массой m=100 г Относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) его конец; 2) его середину; 3) (2) точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины. Полученный ответ умножьте на 105.
[300]
[75]
[100]
Найти момент инерции J тонкого однородного кольца радиусом R=20 см и массой m=100 г относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр. Полученный ответ умножьте на 1000, и округлите до целого значения. [2]
Найти момент инерции J плоской однородной прямоугольной пластины массой m=600 г относительно оси, совпадающей с одной из ее сторон, если длина a другой стороны равна 40 см. Полученный ответ умножьте на 1000. [32]
Уровень 2.
Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной ℓ=30 см и массой m=100 г Относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины. Полученный ответ умножьте на 105. [100]
Три маленьких шарика массой m=10 г каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной a=20 см и скреплены между собой. Определить момент инерции J системы относительно оси: 1) перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности; 2) лежащей в плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности и одну из вершин треугольника. Массой стержней, соединяющих шары, пренебречь. Полученный ответ умножьте на 104. [4] [2]
Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной ℓ=60 см и массой m=100 г относительно оси, перпендикулярной ему и проходящей через точку стержня, удаленную на a=20 см от одного из его концов. Полученный ответ умножьте на 1000. [4]
Д ва однородных тонких стержня: АВ длиной ℓ1=40 см и массой m1=900 г и CD длиной ℓ2=30 см и массой m2=400 г скреплены под прямым углом (рис. 3.9). Определить момент инерции J системы стержней относительно оси OOʹ, проходящей через конец стержня АВ параллельно стержню CD. Полученный ответ умножьте на 1000. [112]
Определить момент инерции J кольца массой m=200 г и радиусом R=10 см относительно оси, касательной к кольцу. Полученный ответ умножьте на 1000. [3]
Диаметр диска d=20 см, масса m=800 г. Определить момент инерции J диска относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Полученный ответ умножьте на 1000. [6]
Определить момент инерции J тонной плоской пластины со сторонами a=10 см и b=20 см относительно оси, проходящей через центр масс пластины параллельно большей стороне. Масса пластины равномерно распределена по ее площади с поверхностной плотностью σ=1,2 кг/м2. Полученный ответ умножьте на 1000. [200]
Уровень 3.
Д ва однородных тонких стержня: АВ длиной ℓ1=40 см и массой m1=900 г и CD длиной ℓ2=30 см и массой m2=400 г скреплены под прямым углом (рис. 3.9). Определить момент инерции J системы стержней относительно оси OOʹ, проходящей через точку A перпендикулярно плоскости чертежа. Полученный ответ умножьте на 1000. [115]
(3) 1. Момент инерции.
О пределить моменты инерции Jx, Jy, Jz трехатомных молекул типа AB2 относительно осей x, у, z (рис. 3.8), проходящих через центр инерции C молекулы (ось z перпендикулярна плоскости xy). Межъядерное расстояние AB обозначено d, валентный угол α. Вычисления выполнить для следующих молекул: 1) Н2О (d=0,097 нм, α=104º30'); 2) SO2 (d=0,145 нм, α=124º). m(O)=26,552·10-27 кг, m(H)=1,673·10-27 кг, m(S)=53,220·10-27 кг. Полученный ответ умножьте на 1050, и округлите до целого значения.
1) (3) [1048] [1047]
(2) [1968] [1969]
(4) [3016] [3017]
2) (3) [12081] [12080]
(2) [83765] [83764]
(4) [95844] [95845]
Вычислить момент инерции J проволочного прямоугольника со сторонами a=12 см и b=16 см относительно оси, лежащей в плоскости прямоугольника и проходящей через середины малых сторон. Масса равномерно распределена по длине проволоки с линейной плотностью τ=0,1 кг/м. Полученный ответ умножьте на 106. [144]
О пределить момент инерции J проволочного равностороннего треугольника со стороной a=10 см относительно: 1) оси, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через его вершину параллельно стороне, противоположной этой вершине (рис. 3.10а); 2) оси, совпадающей с одной из сторон треугольника (рис. 3. 10б). Масса m треугольника равна 12 г и равномерно распределена по длине, проволоки. Полученный ответ умножьте на 105. [5] [2]
Н а концах тонкого однородного стержня длиной ℓ и массой 3m прикреплены маленькие шарики массами m и 2m. Определить момент инерции J такой системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку O, лежащую на оси стержня. Вычисления выполнить для случаев x=0(2), ℓ/3, ℓ/2, 2ℓ/3, ℓ (см. рис. 3.11). При расчетах принять ℓ=1 м, m=3 кг. Шарики рассматривать как материальные точки. [9] [4] [3] [3] [6]
В однородном диске массой m=18 кг и радиусом r=30 см вырезано круглое, отверстие диаметром d=20 см, центр которого находится на расстоянии ℓ=15 см от оси диска (рис. 3.12). Найти момент инерции J полученного тела относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска через его центр. Полученный ответ умножьте на 1000. [755]
Уровень 4.
Уровень 5. Интегрирование.