043_С.р до 2-го ПК _Бубняк_
.pdfМІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ ТА ПРОДОВОЛЬСТВА УКРАЇНИ
ЛЬВІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Факультет будівництва |
Кафедра |
та архітектури |
вищої математики |
Вища математика
Збірник задач для самостійних (індивідуальних)робіт
Частина 2
для студентів аграрних вузів
ЛЬВІВ 2012
Рекомендовано до друку методичною радою факультету будівництва та архітектури ЛНАУ Протокол №____ від__________ 2012 р.
Автор: к. ф.-м. н., доцент Т. І. Бубняк
В частину 2 входять завдання аналітичної геометрії на площині та в просторі, які дають студентам першого курсу. Ця частина містить додатки де можна знайти значення тригонометричних функцій різних кутів.
Мета видання збірника: – забезпечити студентів матеріалом для самостійної (індивідуальної) роботи зі всього курсу вищої математики. Крім того збірник може бути використаний викладачами для проведення практичних занять.
Бубняк Т. І.
Б25 Вища математика: Збірник задач. –. Львів: 2012. – Ч.2, 19с.
Рецензент: д. ф.-м. н., професор С. В. Мягкота
Редактор: М. М. Забор Коректор: Д. В. Митякинська
© Львівський національний аграрний університет, 2012
2
Тема 5. Аналітична геометрія на площині
Варіант 1 1. Дано вершини трикутника: А(3; 2), В(-1; -1), С(11; -6). Визначити довжину його сторін.
2. Знайти рівняння прямих, що належать до пучка:
(x 2y 7) λ(3x y 5) 0, і перпендикулярних до кожної з основних прямих пучка.
3. Скласти рівняння гіперболи, осі якої збігаються з осями координат, знаючи, що: а) віддаль між вершинами дорівнює 8, а віддаль між фокусами 10; б) дійсна піввісь дорівнює 5 і вершини поділяють віддалі між центром і фокусами пополам.
Варіант 2 1. Довести, що трикутник з вершинами А(0; 0), В(3; 1), С(1; 7) прямокутний.
2. Знайти траєкторію точки, яка при своєму русі залишається у півтора рази далі від точки F(0; 6), ніж від прямої y 8 .
3 |
|
|
3. Дано рівняння сторін трикутника: 2x 5y 2 0, |
x y 8 0 |
і |
5x 2y 5 0. Знайти всередині трикутника таку точку, |
щоб прямі, |
які |
з’єднують її з вершинами трикутника, розбивали його на три рівновеликі трикутники.
Варіант 3 1. Визначити ординату точки М, знаючи, що абсциса її дорівнює 7, а віддаль до точки А(-1; 5) дорівнює 10.
2. Задано дві точки А(-1; 3) і В(5; -3). Скласти рівняння прямої лінії, перпендикулярної до відрізка АВ і яка поділяє його у відношенні λ 2.
3. Віддалі одного з фокусів еліпса до кінців його великої осі відповідно дорівнюють 7 і 1. Скласти рівняння цього еліпса.
Варіант 4 1. На осі ординат знайти точку, яка віддалена від точки А(4; -6) на 5 одиниць.
2. Написати рівняння прямої, яка проходить через початок координат і а) паралельна до прямої y 4x 3;
б) нахилена під кутом 600 до прямої y x 1.
3. Знайти рівняння кола, якщо відомі координати кінців одного з діаметрів його АВ: А(1; 4) і В(-3; 2).
Варіант 5 1. На бісектрисах координатного кута знайти точки, віддаль яких від точки М(-2; 0) дорівнює 10.
3
2. Промінь світла напрямлений по прямій y 2 x 4, дійшовши до осі
3
абсцис, він від неї відбився. Визначити точку зустрічі променя з віссю і рівняння відбитого променя.
3. Скласти найпростіше рівняння еліпса, знаючи, що: а) півосі його відповідно дорівнюють 4 і 2; б) віддаль між фокусами дорівнює 6 і велика піввісь 5.
Варіант 6 1. Пряма лінія проходить через точку А(3; 1) і утворює з віссю ОХ кут 450.
На цій прямій знайти точку, ордината якої дорівнює 4.
2. Написати рівняння бісектрис кутів, утворених прямими: x 7y 6 0 і 5x 5y 1 0.
3. Струмінь води, який викидається фонтаном, приймає форму параболи, параметр якої p 0,1. Визначити висоту струменя, якщо відомо, що вода падає у басейн на віддалі 2м від місця виходу.
Варіант 7 1. Знайти центр правильного шестикутника, знаючи дві сусідні його вершини: А(2; 0) і В(5; 33).
2. Через точку перетину прямих 2x 5y 8 0 і x 3y 4 0 провести пряму, яка крім того, проходить через початок координат.
3. Скласти рівняння гіперболи, яка має спільні фокуси з еліпсом x2 y2 1, 49 24
при умові, що ексцентриситет дорівнює 1,25.
Варіант 8 1. Знаючи дві протилежні вершини ромба А(8; -3), С(10; 11) і довжину
сторони АВ=10, визначити координати інших вершин ромба.
2. Скласти рівняння сторін трикутника, знаючи одну з його вершин А(-4; 2), і рівняння двох медіан: 3x 2y 2 0, 3x 5y 12 0.
3. Як перетвориться рівняння кола x2 y2 4x 12y 9 0, якщо перенести початок координат у його центр.
Варіант 9 1. Перевірити, що чотирикутник з вершинами А(1; 3), В(4; 7), С(2; 8) і
D(-1; 4) – паралелограм і обчислити його висоту, взявши АВ за основу.
2. Дано трикутник з вершинами: А(1; 2), В(3; 7), С(5; -13). Обчислити довжину перпендикуляра, опущеного з вершини В на медіану, проведену з вершини А.
3. Скласти рівняння кола, яке дотикається осі ОХ в точці (5; 0) і відтинає від осі ОУ хорду довжиною 10 одиниць.
Варіант 10
4
1. Обчислити площу трикутника з вершинами А(4; 2), В(9; 4), С(7; 6).
2. Через точку М(3; 2) провести пряму так, щоб її відрізок, замкнений між осями координат, поділявся в даній точці пополам.
3. Через фокус |
F(c;0) еліпса |
x2 |
|
y2 |
1 проведено хорду, перпендикулярну |
|
a2 |
b2 |
|||||
|
|
|
|
до великої осі. Знайти довжину цієї хорди.
Варіант 11 1. Центр ваги однорідного стержня є в точці М(5; 1); один із кінців його
співпадає з точкою А(-1; -3). Визначити положення другого кінця. 2. При якому значенні параметра a прямі (3a 2)x (1 4a)y 8 0 і (5a 2)x (a 4)y 7 0 будуть перпендикулярні одна до одної.
3. Дано гіперболу x2 y2 1. Треба: а) обчислити координати фокусів та
9 16
знайти ексцентриситет; б) написати рівняння асимптот.
Варіант 12 1. Визначити траєкторію точки М, яка при своєму русі залишається вдвоє ближче до точки А(1; 0), ніж до точки В(4; 0).
2. Перевірити, що чотири точки А(-2; -2), В(-3; 1), С(7; 7), D(3; 1) є
вершинами трапеції і скласти рівняння середньої лінії і діагоналей трапеції. 3. Обчислити півосі гіперболи, знаючи, що віддаль між фокусами дорівнює 8
і віддаль між директрисами 6 (рівняння директрис x a ). e
Варіант 13 1. Скласти рівняння геометричного місця точок, що знаходяться від точки А(3; 0) вдвоє ближче ніж до прямої х =12.
2. При якому значенні параметра a рівняння 3ax 8y 13 0 і рівняння
(a 1)x 2ay 21 0 зображають паралельні прямі. |
|
|
|||||
3. |
Визначити |
центр |
і |
радіус |
кола, |
даного |
рівнянням: |
x2 y2 8x 6y 21 0. |
|
|
|
|
|
Варіант 14 1. Написати рівняння прямої, яка проходить через точку А(3; -1) і паралельна:
а) бісектрисі першого координатного кута; б) прямій y 3x 7.
2. Обчислити координати точки перетину перпендикулярів, поставлених до середин сторін трикутника, вершинами якого є точки: А(2; 3), В(0; -3);
С(5; -2).
3. Скласти найпростіше рівняння еліпса, знаючи, що: а) велика піввісь дорівнює 10 і ексцентриситет 0,8; б) сума півосей дорівнює8 і віддаль між фокусами 8.
5
Варіант 15 1. Сила Р прикладена до початку координат, і її складові на осі координат
відповідно рівні 5 і -2. Записати рівняння прямої, по якій напрямлена сила. 2. Через точку перетину прямих 2x 5y 8 0 і x 3y 4 0 провести пряму, яка крім того паралельна до осі абсцис.
3. На параболі y2 8x знайти точку, фокальний радіус-вектор якої дорівнює
20.
1. |
|
|
Варіант 16 |
|
|
|
|
Дано вершини трикутника: А(3; 2), |
В(-1; |
-1), С(11; |
-7). |
Визначити |
|||
довжину медіани АЕ. |
|
|
|
|
|
||
2. |
Знайти |
рівняння |
прямих, |
що |
належать |
до |
пучка: |
(x 2y 7) λ(3x y 5) 0. Знайти центр пучка прямих. |
|
|
3. Скласти рівняння гіперболи, осі якої збігаються з осями координат, знаючи, що: а) дійсна вісь дорівнює 6 і гіпербола проходить через точку
(9; 4); б) гіпербола проходить через точки Р(-5; 2) і Q(25;2).
Варіант 17 1. На осі абсцис знайти точку, яка віддалена від точки А(4; -6) на 5 одиниць.
2. Написати рівняння прямої, яка проходить через початок координат і а) перпендикулярна до прямої y 0,5x 1;
б) утворює кут 450 з прямою y 2x 5.
3. Знайти рівняння кола, якщо відомі координати кінців одного з діаметрів його АВ: А(2; 4) і В(6; 8).
Варіант 18 1. Знайти радіус кола описаного навколо трикутника з вершинами А(0; 0),
В(3; 0), С(0; 4).
2. Знайти траєкторію точки, яка при своєму русі залишається у два рази далі від точки F(0; 6), ніж від прямої y 4.
3. Дано рівняння сторін трикутника: 2x 5y 2 0, |
x y 8 0 і |
5x 2y 5 0. Знайти точку перетину висот трикутника. |
|
Варіант 19 1. Визначити ординату точки М, знаючи, що абсциса її дорівнює 9, а віддаль до точки А(-1; 5) дорівнює 10.
2. Задано дві точки А(-2 3) і В(6; -3). Скласти рівняння прямої лінії, перпендикулярної до відрізка АВ і яка поділяє його у відношенні λ 1.
3. Віддалі одного з фокусів еліпса до кінців його великої осі відповідно дорівнюють 5 і 3. Скласти рівняння цього еліпса.
Варіант 20 1. На бісектрисах координатного кута знайти точки, віддаль яких від точки М(-1; 0) дорівнює 1.
6
2. Промінь світла напрямлений по прямій y 2x 4, дійшовши до осі абсцис, він від неї відбився. Визначити точку зустрічі променя з віссю і рівняння відбитого променя.
3. Скласти найпростіше рівняння еліпса, знаючи, що: а) півосі його відповідно дорівнюють 5 і 1; б) віддаль між фокусами дорівнює 8 і велика піввісь 5.
Варіант 21 1. Пряма лінія проходить через точку А(2; 1) і утворює з віссю ОХ кут 450.
На цій прямій знайти точку, ордината якої дорівнює 8.
2. Написати рівняння бісектрис кутів, утворених прямими: x 2y 5 0 і x y 1 0.
3. Струмінь води, який викидається фонтаном, приймає форму параболи, параметр якої p 0,2. Визначити висоту струменя, якщо відомо, що вода падає у басейн на віддалі 4м від місця виходу.
Варіант 22
1. Знайти центр прямокутника і вершину D, знаючи три вершини: А(1; 0),
В(5; 0) і С(5;3). |
|
2. Через точку перетину прямих 2x 5y 9 0 і |
x 3y 1 0 провести |
пряму, яка крім того, проходить через початок координат.
3. Скласти рівняння орбіти штучного супутника Землі, якщо найвища точка орбіти над Землею 5000км, а найнижча 300км. Землю вважати кулею з радіусом 6370км.
|
|
Варіант 23 |
|
|
|
|
|
|
1. Знаючи три вершини ромба А(0; 0), В(10; 0) і |
D(5 |
2;5 |
2) визначити |
|||||
координати четвертої вершини ромба. |
|
|
|
|
|
|
||
2. Скласти рівняння висот |
трикутника, |
знаючи |
рівняння |
його сторін: |
||||
2x y 10 0, |
2x y 10 0, |
y 0. |
|
|
|
|
|
|
3. Записати рівняння кола у |
канонічному |
виді x2 y2 |
4x 12y 24 0, |
|||||
знайти його центр та радіус. |
|
|
|
|
|
|
|
Варіант 24 1. Перевірити, що чотирикутник з вершинами А(-5; 0), В(5; 0), С(10; 10) і
D(0; 10) – паралелограм і обчислити його діагоналі.
2. Дано трикутник з вершинами: А(1; 2), В(3; 7), С(5; -13). Обчислити його площу.
3. Скласти рівняння кіл, які дотикаються осі ОХ в точці (6; 0), а також дотикаються осі ОУ.
Варіант 25 1. Обчислити площу паралелограма з вершинами
A( 5;0), B(5;0),C(10;10), D(0;10).
7
2. Через точку М(4; 2) провести пряму так, щоб її відрізок, замкнений між осями координат, поділявся в даній точці пополам.
3. Через фокус |
F(c;0) еліпса |
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
1 проведено хорду, перпендикулярну |
||
|
4 |
||||
|
9 |
|
|
до великої осі. Знайти довжину цієї хорди.
Варіант 26 1. Центр ваги однорідного стержня є в точці М(2; 1); один із кінців його
співпадає з точкою А(-1; -3). Визначити положення другого кінця. 2. При якому значенні параметра a прямі x (1 4a)y 8 0 і (5a 2)x y 7 0 будуть перпендикулярні одна до одної.
3. Дано гіперболу x2 y2 1. Треба: а) обчислити координати фокусів та
9 25
знайти ексцентриситет; б) написати рівняння асимптот.
Варіант 27 1. Визначити траєкторію точки М, яка при своєму русі залишається вдвоє ближче до точки А(2; 0), ніж до точки В(11; 0).
2. Перевірити, що чотири точки А(-5; 0), В(5; 0), С(1; 5), D(-1; 5) є
вершинами трапеції і скласти рівняння середньої лінії і діагоналей трапеції. 3. Обчислити півосі гіперболи, знаючи, що віддаль між фокусами дорівнює
10 і віддаль між директрисами 6 (рівняння директрис x a ). e
Варіант 28 1. Скласти рівняння прямої, що знаходяться між паралельними прямими
2x 3y 6 0, 2x 3y 18 0.
2. При якому значенні параметра a рівняння ax 8y 13 0 і рівняння (a 1)x 2ay 21 0 зображають перпендикулярні прямі.
3. Визначити центр і радіус кола, даного рівнянням: x2 y2 2x 4y 11 0.
Варіант 29 1. Написати рівняння прямої, яка проходить через точку А(4; 0) і паралельна:
а) бісектрисі першого координатного кута; б) прямій y 3x 7.
2. Обчислити координати точки перетину перпендикулярів, поставлених до середин сторін трикутника, вершинами якого є точки: А(2; 3), В(0; -3);
С(5; -2).
3. Скласти найпростіше рівняння еліпса, знаючи, що: а) велика піввісь дорівнює 16 і ексцентриситет 0,8; б) сума півосей дорівнює 8 і віддаль між фокусами 8.
Варіант 30
8
1. Світловий промінь падає на поверхню води, з показником заломлення
води 4. Кут падіння дорівнює 600. Взявши точку падіння за початок
3
координат, а нормаль в ній до поверхні води – за вісь ординат, знайти рівняння падаючого і заломленого променя (вісь абсцис – в площині променів).
2. Через точку перетину прямих 2x 5y 8 0 і x 3y 4 0 провести пряму, яка крім того паралельна до осі ординат.
3. На параболі y2 8x знайти точку, фокальний радіус-вектор якої дорівнює
30.
Тема 6. Аналітична геометрія в просторі
Варіант 1 1. Дано дві прямі: одна з них проходить через точки А(–3; 5; 15) і В(0; 0; 7),
а друга – через точки С(2; –1; 4) і D(4; –3; 0). Дізнатися, чи перетинаються ці прямі, і якщо перетинаються, то знайти точку перетину.
В к а з і в к а. Нехай λ– відношення у якому поділяється АВ спільною точкою, а μ – теж для СD. Тоді координати точки перетину визначаються
двома |
способами, |
прирівнюючи |
їх, |
отримаємо: |
|||||||||||
|
3 |
|
2 4μ |
; |
|
5 |
|
1 3μ |
; |
15 7λ |
|
4 |
|
. Звідси знаходимо λ і μ. |
|
1 λ |
|
1 λ |
|
|
1 μ |
||||||||||
|
1 μ |
|
1 μ |
1 λ |
|
|
2. Три грані тетраедра, розміщеного у другому октанті, збігаються з координатними площинами. Написати рівняння четвертої грані, знаючи
довжину ребер, що її обмежують: AB 6; |
BC |
29; CA 5. |
|
|
|
|||||||
3. |
Обчислити |
віддаль |
між |
прямими: |
|
x 3 |
|
y 6 |
|
z 3 |
і |
|
4 |
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x 4 y 1 z 7 . 8 3 3
Варіант 2 1. Визначити віддаль точки А(12; -3; 4) від початку координат і від осей
координат.
2. Знайти точку, симетричну з точкою (4; 3; 10) відносно прямої
|
x 1 |
|
y 2 |
|
z 3 |
. |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
5 |
3x 4y 2z 0, |
|
4x y 6z 2, |
||||||
|
|
|
|
|
|
і |
||||
3. Знайти кут між двома прямими |
2x y 2z 0 |
|
y 3z 2. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант 3 1. У третьому октанті знайти точку, знаючи її віддаль від трьох осей
координат: dx 5, |
dy 3 5, |
dz 2 13. |
9
2. Знайти відстань від точки (7; 9; 7) |
до прямої |
|
x 2 |
|
y 1 |
|
z |
. |
|||||||||||||||||
4 |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
3. Знайти рівняння площини, яка проходить через паралельні прямі |
|||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
y 1 |
|
z 2 |
, |
|
|
x |
|
y 1 |
|
z 2 |
. |
|
|
|
|
|||||||
1 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. На осі OZ знайти точку, рівновіддалену від точок А(–4; 1; 7) і В(3; 5; –2). |
|||||||||||||||||||||||||
2. Через пряму |
x 5 |
|
y 2 |
|
z |
провести площину, |
паралельну площині |
||||||||||||||||||
3 |
|
4 |
|||||||||||||||||||||||
x y z 15 0. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x y z 1 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. Звести рівняння прямої |
|
|
|
|
|
до канонічного виду. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x y 2z 3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант 5
1. На координатній площині (YOZ) знайти точку, однаково віддалену від трьох заданих точок: А(3; 1; 2), В(4; –2; –2), С(0; 5; 1).
2. Знайти точку перетину прямої |
x 7 |
|
y 4 |
|
z 5 |
з площиною |
|
|
|
||||
5 |
1 |
4 |
|
|||
3x y 2z 5 0. |
|
|
|
|
|
3. Написати рівняння площини, яка проходить через дві паралельні прямі:
x |
|
y 2 |
|
z 1 |
і |
x 1 |
|
y 3 |
|
z 2 |
. |
7 |
3 |
5 |
|
7 |
3 |
5 |
|
Варіант 6 1. Рухома точка, яка мала початкове положення М0(5; –1; 2), переміщається
паралельно до осі ОУ. Знайти точку її зустрічі з площиною x 2y 3z 7 0.
2. Знайти проекцію точки (4; –3; 1) на площину x 2y z 3 0.
3. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точки перетину площини
|
2x y 3z 1 0 з прямими |
x 3 |
|
y 5 |
|
z 1 |
і |
|
x 5 |
|
y 3 |
|
z 4 |
. |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
|
2 |
4 |
|
|
6 |
|||||||||
1. |
|
|
|
|
Варіант 7 |
|
11x 2y 10z 15 0 |
|
|
|||||||||||||||
Знайти відстань |
між |
|
площинами |
|
|
і |
||||||||||||||||||
11x 2y 10z 45 0? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. При якому значенні коефіцієнта А площина |
|
Ax 3y 5z 1 0 |
буде |
|||||||||||||||||||||
паралельна до прямої |
x 1 |
|
y 2 |
|
z |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. |
4 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1(1;2; 1), |
|||||||||
Знайти рівняння площини, |
|
яка |
проходить |
через |
точки |
M2( 1;0;4), M3( 2; 1;1).
10