- •Неопределенный интеграл
- •Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла
- •Дополнительно
- •Простейшие правила интегрирования
- •Интегрирование методом замены переменной
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Заключительные замечания
- •Библиографический список
-
Неопределенный интеграл
-
Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла
-
Во многих вопросах науки и техники приходится по известной производной восстанавливать саму функцию. Например, используя ленту скоростемера, мы находим функцию скорости поезда в зависимости от времени. Но если мы хотим узнать, на каком километре пути находился поезд в тот или иной момент времени, нам нужно найти функцию зависимости пройденного пути от времени. Как известно, производной функции будет функция , поэтому наша задача свелась к нахождению по заданной функции неизвестной функции , для которой производной будет .
Определение. Функция в данном промежутке называется первообразной функцией для функции , если на всем промежутке функция является производной для функции , т.е. или, что то же самое, служит для дифференциалом, т.е. .
Теорема. Если в некотором (конечном или бесконечном) промежутке функция есть первообразная для , то и функция , где - любая постоянная, также будет первообразной. Обратно, каждая функция, первообразная для в промежутке , может быть представлена в этой форме.
В силу этой теоремы выражение , где - произвольная постоянная, представляет собой общий вид функции, которая имеет производную . Это выражение называется неопределенным интегралом и обозначается . Произведение называется подынтегральным выражением, а функция - подынтегральной функцией.
-
Таблица основных неопределенных интегралов.
Дополнительно
-
Простейшие правила интегрирования
1) Если - постоянная , то , т.е. постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла.
2) , т.е. неопределенный интеграл от суммы (разности) интегралов от каждой функции в отдельности.
Примеры
1)
2)
3)
4)
-
Интегрирование методом замены переменной
-
Линейная замена
-
Если , то (1)
В самом деле, сделаем в интеграле замену , тогда по определению дифференциала откуда .
Итак,
Откуда и следует требуемое равенство.
Особенно часто встречаются случаи, когда или :
(2) (3)
Примеры
1)
2)
3) 4) 5)
6)
-
Замена с помощью подстановок
Замена переменной в неопределенном интеграле осуществляется с помощью подстановок двух видов:
1) где - новая переменная. В этом случае формула замены переменной имеет вид:
;
2) где - новая переменная. Формула замены при такой подстановке имеет вид:
Порядок замены переменной:
-
ввести новую переменную с помощью подстановки вида или
-
продифференцировать подстановку из п. 1: или ;
-
выразить все, что стоит под знаком интеграла, через новую переменную и вычислить полученный интеграл;
-
с помощью формулы из п.1 вернуться к старой переменной.
Наиболее часто встречаются подстановки, приведенные в табл. 1.
Таблица 1
Таблица основных замен
Выражение, встречающееся в интеграле |
Рекомендуемая подстановка |
Дифференциал |
или |
Примеры
1) Сделаем замену переменной по формуле . Тогда . Выразив подынтегральное выражение через новую переменную, вычислим полученный интеграл:
2)
3)
4)
Найти подходящую замену – большое искусство. Иногда приходится делать последовательно две или несколько замен.
5)
В некоторых случаях из вида подынтегрального выражения ясно. Что удобнее сделать замену вида или , где - требуемая функция из второй колонки табл. 1; - постоянная. Если производите замену вида , будьте внимательны к знаку выражения .
6)
иногда соответствующее табл. 1 выражение приходится из подынтегрального выражения вычленять.
7) . Хотя выражения вида напрямую в интеграле нет, однако подстановка приводит к цели.
8) . Здесь также требуемое выражение приходится вычленять:
В зависимости от вида подынтегрального выражения, если в нем встречается соотношение вида , иногда удобно произвести замену или
.Тогда в первом случае, а во втором.
9)
В ряде случаев к цели приводит представление интеграла в виде суммы двух, один из которых табличный или приводится к нему линейной заменой, а второй требует замены переменной из табл. 1. Также возможен случай, когда оба интеграла требуют замены переменной, чаще всего, каждый – своей.
10) (4) Первый интеграл сводится к табличному линейной заменой:
Второй требует замены переменной по формуле :
Подставив полученные результаты в (4), имеем: .
11) (5) Первый интеграл берется заменой :
второй – заменой :
Подставив полученные результаты в (5), получаем окончательный ответ: