Лекции_ТУ
.pdfМинистерство образования и науки, молодежи и спорта Украины Донецкий национальный университет
Факультет математики и информационных технологий Кафедра прикладной математики и теории систем управления
Н. В. Вайсруб, В. П. Чуберкис
Теория управления
Конспект лекций
Утверждено на заседании ученого совета факультета математики и информационных технологий Протокол № 114 от 29.03.2012 г.
Донецк
ДонНУ
2012
УДК 681.5 В 144
Рецензент:
С. Н. Мичкивский – канд. техн. наук, доц. кафедры прикладной математики и теории систем управления факультета математики и информационных технологий Донецкого национального университета
Вайсруб Н. В.
В 144 Теория управления: конспект лекций / Н. В. Вайсруб, В. П. Чуберкис. – Донецк: ДонНУ, 2012. – 88 с.
Учебное пособие содержит краткий конспект лекций, включающий основные теоретические положения теории управления, излагаемые студентам факультета математики и информационных технологий в рамках общего курса «Теория управления».
Для студентов специальностей «Прикладная математика» и «Информатика», математиков-аналитиков и разработчиков систем управления.
УДК 681.5
© Вайсруб Н. В., 2012 © Чуберкис В. П., 2012 © ДонНУ, 2012
|
3 |
Содержание |
|
Введение....................................................................................................................... |
5 |
1. Основные понятия теории управления ................................................................. |
6 |
1.1. Динамическая система..................................................................................... |
6 |
1.2. Классификация динамических систем........................................................... |
8 |
1.3. Примеры динамических систем...................................................................... |
8 |
Контрольные вопросы к теме 1............................................................................ |
11 |
2. Основы операционного исчисления.................................................................... |
12 |
2.1. Преобразования Фурье и Лапласа................................................................ |
12 |
2.2. Свойства преобразования Лапласа............................................................... |
14 |
Контрольные вопросы к теме 2............................................................................ |
19 |
3. Линейные динамические системы. Принцип суперпозиции............................ |
20 |
3.1. Принцип суперпозиции ................................................................................. |
20 |
3.2. Некоторые типовые сигналы......................................................................... |
23 |
Контрольные вопросы к теме 3............................................................................ |
24 |
4. Передаточная функция линейной динамической системы............................... |
25 |
4.1. Понятие передаточной функции и ее нахождение ..................................... |
25 |
4.2. Операторное уравнение динамической системы........................................ |
27 |
4.3. Импеданс динамической системы................................................................ |
29 |
4.4. Применение передаточной функции............................................................ |
30 |
4.5. Свойства передаточной функции ................................................................. |
32 |
Контрольные вопросы к теме 4............................................................................ |
32 |
5. Динамические характеристики системы............................................................. |
33 |
5.1. Переходная и весовая функции системы..................................................... |
33 |
5.2. Свойства динамических характеристик....................................................... |
35 |
Контрольные вопросы к теме 5............................................................................ |
38 |
6. Частотные характеристики линейной динамической системы........................ |
39 |
6.1. Некоторые сведения из теории комплексных чисел .................................. |
39 |
6.2. Понятие частотных характеристик системы............................................... |
40 |
6.3. Свойства частотных характеристик ............................................................. |
42 |
6.4. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика системы....... |
45 |
Контрольные вопросы к теме 6............................................................................ |
50 |
7. Типовые звенья динамических систем................................................................ |
51 |
7.1. Понятие типовых звеньев.............................................................................. |
51 |
7.2. Свойства типовых звеньев............................................................................. |
54 |
7.3. Характеристики типовых звеньев................................................................. |
55 |
Контрольные вопросы к теме 7............................................................................ |
66 |
4
8. Устойчивость линейной динамической системы............................................... |
67 |
8.1. Понятие асимптотической устойчивости.................................................... |
68 |
8.2. Признак асимптотической устойчивости .................................................... |
69 |
8.3. Необходимое условие асимптотической устойчивости............................. |
72 |
8.4. Частотный критерий Михайлова.................................................................. |
75 |
8.5. Критерий перемежаемости корней............................................................... |
79 |
8.6. Алгебраический критерий устойчивости Рауса.......................................... |
82 |
8.7. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица..................................... |
84 |
Контрольные вопросы к теме 8............................................................................ |
86 |
Список рекомендованной литературы.................................................................... |
87 |
5
Введение
Настоящее пособие разработано на основе лекций, читаемых авторами студентам факультета математики и информационных технологий специальностей «Прикладная математика» и «Информатика» в рамках общего курса «Теория управления» в Донецком национальном университете. Материал разбит на шесть разделов, которые охватывают описание функционирования динамических систем в пространстве «вход-выход», применение операционных методов к анализу модели «вход-выход», динамические характеристики систем, частотные характеристики систем, типовые звенья динамических систем, понятие и критерии устойчивости.
Впервом разделе пособия рассмотрены понятия динамической системы, входных и выходных сигналов, приведены примеры описания с помощью дифференциальных уравнений функционирования динамических систем во времени, изложены принципы классификации динамических систем.
Второй раздел содержит теоретические сведения об интегральных преобразованиях Фурье и Лапласа, понятии и свойствах передаточной функции, примеры применения операционных методов для анализа моделей динамических систем.
Третий раздел посвящен динамическим характеристикам линейных стационарных систем: рассмотрены понятия переходной и весовой функций, изучены их свойства, приведены примеры определения и анализа динамических характеристик физических систем.
Вчетвертом разделе пособия рассмотрены частотные характеристики линейных стационарных систем и примеры их определения и анализа для физических систем.
Пятый раздел посвящен рассмотрению типовых звеньев линейных стационарных динамических систем и их применения для анализа динамических
ичастотных характеристик.
Шестой раздел содержит теоретические сведения об устойчивости линейных стационарных динамических систем, рассмотрены необходимое и достаточное условия устойчивости, алгебраические критерии устойчивости Рауса и Гурвица, критерий перемежаемости корней, частотный критерий Михайлова.
Материал пособия содержит многочисленные примеры исследования свойств динамических систем.
Целью данного пособия является предоставление студентам основных теоретических положений и навыков практической работы в области теории управления.
6 |
1. Основные понятия теории управления |
1. Основные понятия теории управления
Теория управления – это наука о процессах и системах управления и их общих закономерностях. Теория управления сложилась в ХХ в. на базе теории автоматического регулирования, которая начала интенсивно развиваться со второй половины XIX в. в связи с потребностью в регуляторах, поддерживающих устойчивый режим работы паровых машин в промышленности и на транспорте. Теория автоматического управления изучает задачи анализа
исинтеза систем автоматического управления как одного из классов кибернетических систем, а также принципы построения и функционирования, методы
исредства создания систем управления.
Современная теория управления на базе математических моделей позволяет изучать динамические процессы в автоматических системах, устанавливать структуру и параметры составных частей системы для придания реальному процессу управления желаемых свойств. Она является фундаментом для специальных дисциплин, решающих проблемы автоматизации управления и контроля технологических процессов, проектирования следящих систем и регуляторов, автоматического мониторинга производства и окружающей среды, создания автоматов и робототехнических систем.
Предметом настоящего краткого курса являются основы теории управления материальными объектами и технологическими процессами, принципы исследования свойств и проектирования технических и информационных систем управления.
1.1 Динамическая система
Первым самоуправляемым устройством считаются водяные часы, сконструированные Ктезибием из Александрии (примерно в 250 году до н. э.), в которых использован сифон как регулятор потока воды. До этого изобретения считалось, что только живые существа способны модифицировать свое поведение в ответ на изменения в окружающей среде. Упоминания об управляемых системах встречаются в работах Герона Александрийского, датированных началом н. э. (автоматы для открывания дверей храма, продажи святой воды и т. п.). В Новое время разработаны некоторые системы управления с обратной связью: регулятор уровня Ползунова (1765 г.), регулятор скорости паровой машины Уатта (1784 г.), система управления ткацким станком Жаккара (1804 г.). В связи с развитием паровых машин потребовались регуляторы, которые могли бы автоматически поддерживать установившийся режим их работы. Универсальность математических методов, полученных в данной теории, перевела ее в область наук, занимающихся изучением абстрактных математических объектов, а не их конкретных технических реализаций. Основы
1. Основные понятия теории управления |
7 |
математической теории регуляторов разработаны Максвеллом и Вышне-
градским (1868–1876 гг.), Ляпуновым (1892 г.).
Рассмотрим пример простейшей системы управления – регулятора уровня воды, разработанного Ползуновым (рис. 1.1).
пар вода
1
2
H = const
нагревание
Рис. 1.1 – Схема регулятора Ползунова: 1 – поплавок, 2 – заслонка
Задачей управления паровым котлом является поддержание постоянного уровня воды ( H = const , см. рис. 1.1). При уменьшении уровня воды поплавок 1 опускается, а заслонка 2 поднимается, открывая трубопровод и увеличивая подачу воды в котел. При увеличении уровня воды всё происходит наоборот.
Далее приведены основные понятия и определения теории управления. Определение. Система – это совокупность материальных объектов,
взаимодействующих друг с другом так, что возникают новые качества этой совокупности.
Определение. Управление – организация того или иного процесса, направленная на достижение определенной цели.
Процесс управления системой можно условно разделить на 4 этапа:
1)получение информации о задачах управления (что надо);
2)получение информации о результатах управления (что есть);
3)анализ полученной информации;
4)принятие решения о необходимом управляющем воздействие и применение этого воздействия.
Определение. Динамической системой (ДС) будем называть систему,
функционирование которой во времени описывается с помощью дифференциальных (в случае непрерывного времени) или разностных (в случае дискретного времени) уравнений или их систем.
8 |
1. Основные понятия теории управления |
Определение. Внешние возмущения, являющиеся источниками информации об управляющем воздействии на систему, будем называть входным сигналом (входными переменными, входами) и обозначать y1 (t ), y2 (t ),..., yn (t ).
Величины, характеризующие результаты управления, будем называть вы-
ходным сигналом (выходными переменными, выходами) и обозначать
x1 (t ), x2 (t ),..., xm (t ).
Динамическую систему с n входами и m выходами можно условно изобразить в виде схемы (рис. 1.2), на которой прямоугольник обозначает систему, а входы и выходы обозначены стрелками.
Д С
Рис. 1.2 – Обобщенная схема динамической системы
1.2 Классификация динамических систем
Рассмотрим общепринятую классификацию динамических систем. 1. По типу моделей: линейные и нелинейные.
Линейные динамические системы описываются линейными относительно входа и выхода уравнениями или системами линейных уравнений, нелинейные – нелинейными уравнениями или системами.
2. По типу параметров моделей: стационарные и нестационарные. Параметры модели стационарной системы неизменны во времени, неста-
ционарной – изменяются с течением времени, например, в результате износа материала.
3.По типу параметров: системы с сосредоточенными и с распределенными параметрами.
Системы с сосредоточенными параметрами описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, с распределенными – уравнениями в частных производных.
4.По типу времени: непрерывные и дискретные.
Непрерывные системы описываются дифференциальными уравнениями или их системами, дискретные системы – разностными уравнениями или их системами.
5. По размерности: одномерные и многомерные.
1. Основные понятия теории управления |
9 |
Одномерная система имеет один вход и один выход, многомерная – несколько входов или выходов (рис. 1.2).
6.По определенности выходного сигнала: детерминированные и стохастические.
Детерминированная система на один и тот же входной сигнал отвечает одним и тем же выходным сигналом, стохастическая – на один и тот же входной сигнал отвечает выходным сигналом в соответствии с некоторым законом распределения вероятностей.
7.По типу управления: с обратной связью и с прямой связью.
В системе с обратной связью прилагаемое управляющее воздействие зависит от результата управления, в системе с прямой связью – не зависит.
1.3 Примеры динамических систем
При анализе различных систем управления выясняется, что разнообразные динамические системы, отличающиеся физической сутью, конструкцией, принципом действия, описываются уравнениями одного типа. Рассмотрим примеры динамических систем и выведем дифференциальные уравнения, их описывающие, на основе соответствующих физических законов.
Пример 1.1. Пружинный маятник.
На рис. 1.3 представлена схема механической системы перемещения «жесткость», представляющая собой закрепленную одним концом пружину. Обозначим f (t ) – прилагаемая к системе сила, d (t ) – перемещение центра масс системы (деформация пружины), k – коэффициент жесткости пружины.
d (t )
f (t )
Рис. 1.3 – Схема механической системы перемещения «жесткость»
Решение. Закон Гука гласит, что деформация пружины прямо пропорциональна величине прилагаемой силы, то есть
f (t ) = k d (t ). |
(1.1) |
Данную систему рассмотрим как динамическую систему, в которой |
|
входным сигналом является прилагаемая сила |
f (t ), а выходным – деформация |
10 |
1. Основные понятия теории управления |
пружины d (t ). В обозначениях п. 1.1 имеем: вход y(t ) = f (t ), выход x(t) = d(t ).
Тогда уравнение (1.1), описывающее функционирование данной динамической системы, примет вид:
y(t ) = k x(t ). |
(1.2) |
Анализ уравнения (1.2) позволяет заключить, что данная динамическая |
|
система линейная (уравнение (1.2) линейно относительно x(t ) и |
y(t )), одно- |
мерная (один вход и один выход), детерминированная, с прямой связью. Система может являться стационарной или нестационарной в зависимости от материала пружины (коэффициент k может изменяться во времени, например, в результате износа материала).
Пример 1.2. Перемещение груза на плоскости.
На рис. 1.4 представлена схема механической системы перемещения «масса», представляющая собой груз, перемещаемый на плоскости (трением пренебрегаем). Здесь f (t ) – прилагаемая к грузу сила, d (t ) – перемещение центра масс системы, a(t ) – ускорение перемещения центра масс системы, m – масса груза.
m d (t ) f (t )
Рис. 1.4 – Схема механической системы перемещения «масса»
Решение. Согласно второму закону Ньютона, ускорение перемещения
груза a(t ) прямо пропорционально прилагаемой силе |
f (t ), то есть |
f (t ) = m a(t ), |
(1.3) |
причем a(t ) = d ′′(t ).
Пусть вход системы – прилагаемая сила y(t ) = f (t ), выход – перемещение x(t) = d(t ). Тогда уравнение, описывающее функционирование системы, имеет вид:
y(t ) = mx′′(t ). |
(1.4) |
Данная динамическая система линейная, стационарная (масса груза неизменна), одномерная, детерминированная, с прямой связью.
Пример 1.3. Конденсатор.
На рис. 1.5 представлена схема электрической системы «конденсатор» в цепи постоянного тока. Здесь U(t) – напряжение на концах цепи, i(t) – сила тока в цепи, C – емкость конденсатора.