P = ∫∫(ar,ns)dσ = ± ∫∫		(ar,	grad	F )	dydz .
			∂F
σ	Dyz
			∂x

Во всех этих формулах следующее правило выбора знака: знак плюс берется, если grad F ↑↑ nr ,

знак минус – если grad F ↑↓ nr .

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Если в поверхностном интеграле второго рода ∫∫(ar, nr)dσ,

σ

поверхность σ - часть плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей, то единичной нормалью будет один из

базисных векторов i , j , k или противоположный ему вектор в зависимости от направления потока.

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Поток через цилиндрическую поверхность удобно вычислять, записывая его в виде поверхностного интеграла 1 рода и задавая эту поверхность параметрическими уравнениями или векторным уравнением.

Если векторное	уравнение	поверхности	σ	имеет вид
rr = rr(u, v), где	a ≤ u ≤ b ,	c ≤ v ≤ d ,	то	поверхностный

интеграл первого рода сводится к двойному интегралу по области

a ≤ u ≤ b

D : по формуле:

c ≤ v ≤ d

∫∫ f (x, y, z)dσ = ∫∫ f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) [rru′, rrv′] dudv

σ D

Решение задачи 9.1

Поверхность σ2 , заданная уравнением x2 + y2 = z и

ограниченная плоскостью z =1 , показана на рисунке 19. Вычислим поток векторного поля через нее двумя способами.

41

σ1

z

n1

σ2

n2

y

D

x

Рис. 19.

1. Используем теорему Гаусса - Остроградского. Для этого

вычислим дивергенцию поля.

div a = 2x + 2 y −1 .

По теореме Гаусса – Остроградского вычислим поток

P через

замкнутую поверхность σ1 +σ2 .

P = ∫∫∫div a dxdydz =∫∫∫(2x + 2 y −1)dxdydz .

V

V

Тройной интеграл сведем к двойному интегралу, проектируя

область V в плоскость xOy .

P = ∫∫dxdy

2

1∫(2x +

2 y −1)dz =∫∫dxdy(2x + 2 y −1)z

x

2

1

2 =

D

x

+y

2

D

+ y

= ∫∫dxdy(2x + 2 y −1)(1 − x2 − y2 )

D

Решив совместно уравнения ограничивающих область V

поверхностей

2

+ y

2

= z

2

+ y

2

=1

x

,

x

,

z =1

z =1

42

выясним, что область D , на которую проектируется область V ,

представляет собой круг радиуса 1, лежащий в плоскости z =1 (рис. 20).

y

1

D

x

1

Рис. 20.

Перейдем в полученном двойном интеграле к полярным координатам.

P = ∫∫(2ρcosϕ+2ρsin ϕ−1)(1 −ρ2 )ρdρdϕ =

D

= 22∫π(cosϕ+sin ϕ)dϕ1∫(ρ2 −ρ4 )dρ−		2∫πdϕ1∫(ρ−ρ3 )dρ .
0	0	0	0

В каждом из двух повторных интегралов переменные разделены. Поэтому каждый из них является произведением интегралов, из которых один зависит только от переменной ϕ, а другой – от

переменной ρ. Первый повторный интеграл равен нулю, так как в нем внешний интеграл вычисляется от синуса и косинуса по

промежутку длины периода. Следовательно, поток P записывается в виде интеграла

2π	1			2			4
P = − ∫ dϕ∫		(ρ−ρ3 )dρ = −2π	ρ		−	ρ			1	=
			2			4			0
0	0

	1			1		= −	π
	= −2π		−					.
		2		4			2

Теперь вычислим поток P1 через поверхность σ1 в направлении

нормали nr1 .

43

P1 = ∫∫(ar, nr1 )dσ.

σ1

Поверхность проектируются в плоскость xOy область D (рис.

20).

r

0

0

σ1 : z =1 ; nr1 = k

=

; (a, n1 )= −z = −1. Тогда

1

P1 = ∫∫(−1)dσ = −Sкруга = −π .

σ1

Поскольку поток

P = P1 + P2 ,

где

P2 - поток через поверхность

σ2 , заданную уравнением x2 + y2 = z

при z ≤1 , то поток через эту

поверхность равен

P

2

= P − P

= − π

+ π = π .

1

2

2

2. Для вычисления

потока

P2

через поверхность σ2 в

направлении нормали nr2

(рис. 19) можно использовать следующую

формулу:

(a,

F )

P2 = ∫∫(ar, nr2 )dσ = ±∫∫

grad

dxdy .

∂F

σ2

D

∂z

Поскольку уравнение поверхности

σ2 можно преобразовать к

виду:

F(x, y, z)= 0 ,

x2 + y2 = z ,

x2 + y2 − z = 0 ,

где

2x

F (x, y, z)= x2 + y2 − z ,

то grad F =

2 y . Ясно, что grad F ↑↑ nr2 ,

−1

так как оба вектора образуют с осью

Oz угол, больший, чем

90o.

∂F

=1 .

∂z

Вычислив скалярное произведение

44