- •5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Часть 2 (16 часов)
- •1. Дифференцирование функций одной переменной
- •1.2. Дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков
- •Дифференциал. Формула дифференциала
- •Определение
- •Правила дифференцирования
- •Пример
- •Решение
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Доказательство
- •Инвариантность формулы дифференциала
- •Теорема 1
- •Доказательство
- •Следствие
- •Пример
- •Решение
- •Производные функций, заданных параметрически. Дифференцирование неявных функций
- •Теорема 1. Производная функции, заданной параметрически
- •Доказательство
- •Пример 1
- •Решение
- •Теорема 2. Производная функции, заданной неявно
- •Пример 2
- •Решение
- •Пример 3
- •Решение
- •Вычисление дифференциала. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •Производные высших порядков
- •Определение 1
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •Пример 3
- •Решение
- •Пример 4
- •Решение
- •Теорема. Механический смысл первой и второй производной
- •Доказательство
- •Следствие
- •Дифференциалы высших порядков.
- •Определение
- •Теорема
- •Доказательство
- •Следствие
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •2. Исследование функций
- •Монотонные функции. Признаки монотонности
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Теорема 1
- •Доказательство
- •Теорема 2
- •Доказательство
- •Замечание 4
- •Замечание 5
- •Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке
- •Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.
- •Теорема Ферма
- •Доказательство
- •Следствие
- •Теорема Ролля
- •Доказательство
- •Теорема Лагранжа.
- •Доказательство
- •Правило Лопиталя
- •Доказательство
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •Пример 3
- •Решение
- •2.2. Исследование функций и построение графиков
- •Исследование функций с помощью первой производной
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Необходимое условие экстремума
- •Доказательство
- •Следствие
- •Определение 3
- •Достаточное условие экстремума
- •Доказательство
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •Чтобы исследовать функцию на экстремум необходимо:
- •Пример 3
- •Исследование функций с помощью второй производной. Точки перегиба
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Теорема 1
- •Доказательство
- •Теорема 2
- •Доказательство
- •Определение 3
- •Теорема 3
- •Чтобы найти точки перегиба графика функции нужно:
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •Асимптоты графика функции.
- •Определение 1
- •Пример 1
- •Решение
- •Определение 2
- •Теорема
- •Доказательство
- •Пример 2
- •Решение
- •Пример 3
- •Решение
- •Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на замкнутом промежутке функции
- •Пример
- •Решение
- •Многочлен Тейлора
- •Определение
- •Теорема
- •Доказательство.
- •Формулы Тейлора и Маклорена
- •Определение 1
- •Теорема.
- •Доказательство
- •Определение 2
- •Формула Маклорена для основных элементарных функций
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •Применение формул Тейлора и Маклорена
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •Пример 3
- •Решение
- •Исследование функций с помощью производных высших порядков
- •Теорема
- •Доказательство
- •Пример
- •Решение
- •5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Часть 2 (12 часов)
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный морской технический университет»
(СПбГМТУ)
Кафедра математики
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Е.С.Баранова, Н.В.Васильева, В.В.Григорьев-Голубев
Тема 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Часть 2
Компендиум по дисциплине «Математика»
Санкт-Петербург
2005
1
ББК 50
УДК 517.22.16
Е.С.Баранова, Н.В.Васильева, В.В.Григорьев-Голубев. Математика. Тема 5.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Часть 2. Учеб. Пособие. СПб.: Изд. Центр СПбГМТУ, 2005. с. 48.
Ил. 27 . Табл. 50 . Библиогр.: 5 назв.
Настоящее издание адресовано студентам инженерных специальностей для организации их самостоятельной работы. Учебное пособие разработано в виде компендиума по изучаемой дисциплине. Оно содержит тематический план, выписки из календарных планов лекций и практических занятий по теме «Дифференциальное исчисление функций одной переменных», теоретический материал по этой теме c большим количеством разобранных типовых задач, а также контрольные вопросы по теории и вопросы для подготовки к экзамену. Для самоконтроля полученных знаний в пособие введен тест, в котором представлены задания с выбором ответа, сформулированные на основе требуемого набора знаний и умений по изучаемой теме. В конце пособия дан список рекомендуемой литературы и ответы к тесту. Работа выполнена по заказу и при поддержке ФЦКПС
Е.С.Баранова, Н.В.Васильева, В.В.Григорьев-Голубев
Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Часть 2
Компендиум по дисциплине «Математика»
Редактор Н.Н. Катрушенко
ISBN
© СПбГМТУ, 2005
2
СОДЕРЖАНИЕ КОМПЕНДИУМА
1.Тематический план 2 –го семестра.
2.Выписка из календарного плана лекций.
3.Теоретический материал.
4.Контрольные вопросы по теории.
5.Вопросы для подготовки к экзамену.
6.Выписка из календарного плана практических занятий.
7.Тест по теме 5. «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»..
8.Рекомендуемая литература.
9.Ответы к тесту.
3
1. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН 2–го СЕМЕСТРА
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1. Тематический план |
|
|
|
|
|
|
|
|
Распределение часов |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
Название темы |
|
|
|
Аудиторные занятия |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Самостоятельная |
|||
темы |
|
Всего |
Всего |
|
|
Из них |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
работа |
||
|
|
|
|
|
|
|
Практические |
|||
|
|
|
|
|
аудиторных |
|
Лекции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
занятия |
|
5 |
Дифференциальное |
исчисление |
функций |
48 |
28 |
|
16 |
|
12 |
20 |
одной переменной. Часть 2. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 |
Дифференциальное |
исчисление |
функций |
38 |
26 |
|
12 |
|
14 |
12 |
нескольких переменных. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
Интегральное исчисление функций одной |
66 |
44 |
|
24 |
|
20 |
22 |
||
переменной. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
Ряды. |
|
|
38 |
28 |
|
20 |
|
8 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Всего за 2 семестр |
|
190 |
126 |
|
72 |
|
54 |
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.ВЫПИСКА ИЗ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНА ЛЕКЦИЙ
5.Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Часть 2 (16 часов)
1.Дифференциал и его геометрический смысл. Формула дифференциала. Правила дифференцирования. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формулы первого дифференциала. Дифференцирование неявных функций и функций, заданных параметрически. Приближенные вычисления с помощью дифференциала (2 часа).
2.Производные и дифференциалы высших порядков. Монотонные функции. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функций (2 часа).
3.Теоремы Ферма, Ролля, и Лагранжа. Правила Лопиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя (2 часа).
4.Определение экстремума. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Острый экстремум. Критические точки функции. Исследование функций с помощью первой производной (2 часа).
5.Выпуклость и вогнутость функций. Условие выпуклости (вогнутости) функции. Точки перегиба. Достаточные условия точки перегиба. Исследование функций с помощью второй производной (2 часа).
6.Асимптоты графика функции (вертикальные и наклонные). Построение графиков функций. Наибольшее и наименьшее значения функций (2 часа).
7.Многочлен Тейлора. Формула Тейлора и Маклорена. Остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано и Лагранжа (2 часа).
8.Формула Маклорена для основных элементарных функций. Вычисление пределов
спомощью формул Тейлора и Маклорена. Исследование функций с помощью производных высших порядков (2 часа).
3.ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Таблица 2. Оглавление
1.Дифференцирование функций одной переменной.
1.2.Дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков.
•Дифференциал. Формула дифференциала.
•Правила дифференцирования. Геометрический смысл дифференциала.
•Инвариантность формулы дифференциала.
•Производные функций, заданных параметрически. Дифференцирование неявных функций.
•Вычисление дифференциала. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
•Производные высших порядков.
•Дифференциалы высших порядков.
2.Исследование функций.
2.1.Монотонные функции. Теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа. Правило Лопиталя.
•Монотонные функции. Признаки монотонности.
•Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке.
•Теоремы Ферма, Ролля , Лагранжа. ПравилоЛопиталя.
2.2.Исследование функций и построение графиков.
•Исследование функций с помощью первой производной.
•Исследование функций с помощью второй производной.
•Асимптоты графика функции.
•Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на замкнутом промежутке функции.
2.3.Формула Тейлора. Исследование функций с помощью производных высших порядков.
•Многочлен Тейлора.
•Формулы Тейлора и Маклорена.