Для того чтобы построить график исследованной функции, нужно.

1.ввести прямоугольную систему координат;

2.провести вертикальные и наклонные асимптоты;

отметить все характерные точки (корни, точки экстремума, точки перегиба);

соединить характерные точки кривыми в соответствии с исследованием функции на выпуклость.

Решение задачи 6

				x		2
	y =							,
	x −1
				1				2
	y = x	+						.
				x −1

1. О.О.Ф. x (− ∞;1)U(1;+∞). Поскольку lim f (x)= ∞, то x→1

x =1 – точка

разрыва второго рода, и прямая x =1 – вертикальная асимптота.

2.

Функция общего вида и непериодическая.

− x

2

x

2

y(− x)=

=

.

− x −1

x +1

3.

Корень функции точка x = 0 y(0)= 0 . Функция

неотрицательна при всех значениях x .

4.

Вычислим первую производную функции.

x

x −1 − x

2x

y′ = 2

= −

.

(x −1)2

(x

−1)3

x −1

Найдем корни производной y′ = 0 x = 0 .

Отметим на числовой оси стационарную точку x = 0 и точку разрыва функции x =1 . Определим знак первой производной на каждом из полученных интервалов и отметим стрелками характер монотонности функции (рис.1).

30

Рис 1.

Из рисунка ясно, что x = 0 – точка минимума. Для построения графика требуется найти значение функции в точке минимума y(0)= 0 . В точке разрыва меняется характер монотонности

функции.

5. Вычислим вторую производную заданной функции.

y

′′

(x)= −2

(x −1)3 −3(x −1)2 x

x −1 −3x

2x +1

(x −1)6

= −2 (x −1)4

= 2 (x −1)4 .

y′′

+

−0,5

Рис 2.

Вторая производная обращается в ноль в точке x = −

1

и

2

меняет знак при переходе через эту точку. Значит

x = −

1

- точка

2

перегиба. При переходе через точку

x =1 вторая производная

знак не меняет, значит точки перегиба нет. Определим знак

второй производной на всей числовой оси и отметим на ней

характер выпуклости функции(рис.2).

)=

Значение функции в точке перегиба y(−

1

1

.

2

9

6. Выясним,

имеет

ли функция наклонную

асимптоту вида

y = kx +b . Для этого вычислим пределы.

k = lim

f (x)

=

lim

x2

= lim

x2

= lim

1

= 0 ,

x

(x −1)2

x→∞

x→∞ x

x→∞ x3

x→∞ x

31

b = lim (f (x)−kx)= lim		f (x)= lim	x2	= lim	x2	=1.
x→∞	x→∞	x→∞ (x −1)2		x→∞ x2

Следовательно, график функции имеет горизонтальную асимптоту y =1 .

График заданной функции построен на рисунке.

y

1
−0,5 0	1	x

Рис 3.

32

Вариант 1

1.

Вычислить пределы:

а)

lim

x3 + 2x2 − 4x −8

; б) lim

1 + 2x −3

;

x3 +8

x − 2

x→−2

x→4

в)

lim

2 sin x −1

; г)

lim

x3 + 2x2 − 4x −8

.

sin 6x

x3

+8

x→π6

x→+∞

2.

Выделить главную часть функции в точке x0 = 0

f(x) = 3arcsin(2x2 + x4 ).

3.Вычислить производные первого порядка:

а) y = (x2 −1) cos x + (x −1)2 sin x ;

б) y = ln(cos2x) sin2 x ;

в) y = x arcsin x . 1 − x2

4.Вычислить производную второго порядка: y = arctg x .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

	x	,	-1 ≤ x <1
2
y =	−1,		1 < x ≤ 4
x
		1,	x > 4

6. Провести полное исследование функции и построить

x3 +1

график функции y = x2 .

33

Вариант 2

1. Вычислить пределы:

а) lim

x2 −8x +12

; б) lim

x +13 − 2 x +1

;

x

3

−7x

2

+ 6x

x

2

−9

x→6

x→3

1 −sin

x

x

2

−8x +12

в) lim

2

; г)

lim

.

π− x

x→π

x→+∞ x3 − 7x2 + 6x

2. Выделить главную часть функции в точке x0 = 0

f(x) = (e3x −1)2 .

3.Вычислить производные первого порядка:

а) y = arctg(sin 5x) ln 2 x ; б) y = 1 − x2 + arcsin x ;

с) y = sin 2x .
1 − x2
4. Вычислить	производную	второго	порядка:

y= ln(cos2x) .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

	2 x ,	0 ≤ x ≤ 1
y =	− 2x,	1 < x < 2,5
4
	2x − 7,	x ≥ 2,5

6. Провести полное	исследование функции и построить
	(	)2
график функции	y = (	x −1
		)2 .
		x +1

34

Вариант 3

1. Вычислить пределы:

а) lim

2x2 + x −1

; б) lim

x2

− x

;

3

−3x −2

x −1

x→−1 x

x→1

в) lim

ln(1 −7x)

; г)

lim

2x2 + x −1

.

sin(π(x + 7))

3x − 2

x→0

x→+∞ x3 −

2. Выделить главную часть функции в точке x0 = 0

f(x) = sin(x x + e2 x −1).

3.Вычислить производные первого порядка:

а) y = (x2 −1) cos2 x + (x −1)2 sin x ; б) y = ln(sin 2x) sin2 x ;

в) y = arccos x . 1 − x2

4.Вычислить производную второго порядка: y = arcsin 2 x .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

							π			π
cos x,						-	2	≤ x	<	4
								π
y =
			x	−1,			x = 4
		2		π	2				π
	x		−			,		x >
				16					4

6. Провести полное исследование функции и построить

график функции y =	x2	− x +1
			.
		x −1

35

Вариант 4

1. Вычислить пределы:

а) lim	(1+ x)3 −(1+3x)			; б)	lim	1 + x + x2 − 1 − x + x2					;
		x + x	5				x	2	− x
x→0					x→0
в) lim		3x+1 −3		; г)	lim	(1	+ x)3 − (1 + 3x)			.
							x + x5
x→0		ln(1+ x 1+ xe2 x )			x→+∞

2. Выделить главную часть функции в точке x0 = 0

f(x) = 5x3 +3x2 arctg x.

3.Вычислить производные первого порядка:

а) y = ln(e2 x + x ) tg x ; б) y = tg(cos 2x) +sin 2 x ;

в) y = arcsin2 x . 8x

4.Вычислить производную второго порядка: y = ln(sin 2x) .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип

точек разрыва:

sin x,				x < 0
				0 ≤ x ≤ 2
y = x3 ,
		1
				x > 2
		− x ,
2

6. Провести полное исследование функции и построить

график функции y =	x2	− 3x + 3
			.
		x −1

36

Вариант 5

1.

Вычислить пределы:

−(1 + x)

а) lim

x3

+2x2 − x −

2

; б) lim

1 −2x +3x2

;

x

2

+ x

3 x

x→−1

x→0

в) lim

sin(α + x) −sin(α − x)

; г)

lim

x3 +

2x2 − x −

2

.

x

x2 + x

x→0

x→+∞

2.

Выделить главную часть функции в точке x0

= 0

f(x) = ln(1 + x2 + x5 ).

3.Вычислить производные первого порядка:

а) y = arcsin2 x 8x ;

б) y = ln(e2 x + x) + tg x ;

в) y = tg(cos 2x) . sin 2 x

4.Вычислить производную второго порядка: y = arccos x2 .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип

точек разрыва:

4 − x2 ,					x < 0
y =		x	,		0 ≤ x ≤ 4
4e
	1
					x > 4
x − 4 ,

6. Провести полное исследование функции и построить

график функции y =	2x2 + x
		.
	x +1

37

Вариант 6

1.

Вычислить пределы:

а) lim

(x2 + 2x −3)2

lim

1− x 2

; б)

;

3

+ 4x

2

+3х

x→−3 x

x−>1

1− x

в) lim

sin 3x −sin 2x

lim

( x2

+ 2x − 3)2

; г)

+ 4x2

.

ln(1+ 2tg3x)

x→0

x→+∞ x3

+ 3х

2.

Выделить главную часть функции в точке x0 = 0

f(x) = (3x +1)arctg4x2.

3.Вычислить производные первого порядка:

а) y = ln5 (2x +sin x) + 3 x ; б) y = sin 2x x ;

в) y = sin3 xx .

4.Вычислить производную второго порядка: y = arcsin2 x .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

		1		,	x < −3
		x + 3
	y =
	x + 3,				- 3 ≤ x ≤ 0
		x2 ,			x > 0

6. Провести полное исследование функции и построить

график функции y =	x2	− 6x + 4
			.
		3x − 2

38

Вариант 7

1.

Вычислить пределы:

а) lim

(2x2 − x −1)2

; б)

lim

x 2

−25

;

x

3

+

2x

2

− x −

2

2 −

x −1

x→1

x→5

в) lim

cos 2x −cos x

; г)

lim

(2x2 − x −1)

2

.

1

−cos x

2

x→0

x→+∞ x3 + 2x2 − x −

2.

Выделить главную часть функции в точке x0

= 0

f(x) = ln(1 + x sin x).

3.Вычислить производные первого порядка:

а) y = ln(2x +sin 2x) + 2х; б) y = cos 2x x ;

в) y =	arccos x	.
	x

4.Вычислить производную второго порядка: y = cos(5x + 2) .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

y =	x2 + 2x,	x < 0
	− x3 ,	0 ≤ x < 2
	x + 3,	x ≥ 2

6. Провести полное исследование функции и построить

график функции y =	4	− x3
			.
		x2

39

Вариант 8

1.

Вычислить пределы:

(x −

+5x );

а) lim

x4 − x3 + x −1

; б)

lim

x

2

2x

2

− x −1

x→1

x→+∞

в) lim

esin 2 x −esin x

; г)

lim

x4 − x3 + x −1

.

tg3x

2x2

− x −1

x→0

x→+∞

2.

Выделить главную часть функции в точке x0 = 0

f (x) = x2 +3 x + 4x3.

3. Вычислить производные первого порядка:

а)	y = 2 x − 4 ln (2 + x) ;
б)	y = sin x arccos x ;
в)	y =	sin x + cos x	.
		1 + (ln 2)2

4.Вычислить производную второго порядка: y = ln(5x + 2) .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

	ex ,
y = x +1,
	1

	,
x − 2

x < 0 0 ≤ x ≤ 2

x > 2

6. Провести полное исследование функции и построить

график функции y =	x3 −5x
		.
	5 − 3x2

40

Вариант 9

1.

Вычислить пределы:

а) lim

x3 −3x +2

; б) lim

1 −

x

+1

;

3

− x

2

− x +1

x

x→1 x

x→0

5π

cos(x +

) tg x

x3 − 3x + 2

2

в) lim

; г) lim

.

arcsin 2x

2

− x2

− x +1

x→0

x→+∞ x3

2.

Выделить главную часть функции в точке x0 = 0

f (x) = tgx − 2sin x .

3. Вычислить производные первого порядка:

а) y = x arctg x − ln 1 + x2 ; б) y = ln(tgx) sin2 x ;

в) y = 2x2 − x −1 .

3 2 + 4x

4.Вычислить производную второго порядка: y = tgx .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

		x2 ,		x ≤ 0
y = 1		,	0 < x <1 / 2
	x2
	4,			x ≥1 / 2
6. Провести полное			исследование функции и построить
			y =	x3 − 4x
график функции					.
				3x2 − 4

41

Вариант 10

1.

Вычислить пределы:

а) lim

x2

+ 2x −3

; б) lim

2 −

x

;

3

+ 4x

2

+3x

− 2x +1

x→−3 x

x→4 3

в) lim

1

−cos 2x

; г)

lim

x2 + 2x −3

.

+ 4x2

+3x

x→0 cos 7x −cos 3x

x→+∞x3

2.

Выделить главную часть функции в точке x0 = 0

f(x) = ln(1 + 2 tg x) .

3.Вычислить производные первого порядка:

а) y = ln( x + 1 + x 2 ) ;

б) y = ln(cos2x) +tg2 x ;

в) y = arccos x . ln x

4.Вычислить производную второго порядка: y = 23x+5 .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

	sin x,		x ≤ 0
y = cos x,			0 < x ≤ π
	1
			x > π
x −π ,

6. Провести полное исследование функции и построить

график функции y =	17 − x2
		.
	4x −5

42

Вариант 11

1. Вычислить пределы:

а) lim

(x2 + 2x −3)

2

; б)

lim

x −

1

;

3

+ 4x

2

+3x

2

−1

x→−3 x

x→1 x

в) lim

x2 −2x

; г)

lim

( x2 + 2x −3)2

.

tg[2π(x +0,5)]

x→0

x→+∞ x3 + 4x2 +3x

2. Выделить главную часть функции в точке x0 = 0

f(x) = (e x2 −1)sin 2x.

3.Вычислить производные первого порядка:

а) y = x + ex+4 ;

			2			4		1
б)	y =	9x			−12x +3 + (3x − 4)		arcsin		;
								3x − 2
в)	y = arctg				2 sin x	.

9 cos2 x − 4

4.Вычислить производную второго порядка: y = 4 / x .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

		x +1,	x ≤ 2
y =
	x2	− 6x +11,	2 < x ≤ 4
		2x −5,	x > 4

6. Провести полное исследование функции и построить

график функции y =	4x3 − 3x
		.
	4x2 −1
	43

Вариант 12

1. Вычислить пределы:

а) lim

x4 −1

; б) lim (

2x

2

+1 −

x

2

+1);

2x

4

− x

2

−1

x→1

x→+∞

в) lim

ln cos 2x

; г)

lim

x4 −1

.

sin

2

3x

x→0

x→+∞2x4 − x2

−1

2. Выделить главную часть функции в точке x0 = 0

f(x) = (e2 x −1)2 .

3.Вычислить производные первого порядка:

а)	y = 6 arcsin		x	− x(4 − x) ;
			2
б)		2		4
	y =ln(cos x) +			1+cos x ;
в)	y = arctg	1	2 tg x .
			− tg x

4.Вычислить производную второго порядка: y = ln(2x + 3) .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

	− x ,				x ≤ −1
y =	1		,		- 1 < x < 0
	x
			2	+ x,	x ≥ 0
− 2x
6. Провести				полное	исследование функции и построить

график функции y = − x2 − 4x +13 .

4x + 3

44

Вариант 13

1. Вычислить пределы:

x3 −3x −2

4

x −2

а) lim

; б)

lim

;

3

+2x

2

− x −2

x −4

x→−1 x

x→16

в) lim

sin 7πx

; г)

lim

x3 −3x −2

.

tg 8πx

+ 2x2

− x −2

x→2

x→+∞x3

2. Выделить главную часть функции в точке x0 = 0

f (x) = sin 3 x(1 −cos x ).

3. Вычислить производные первого порядка:

а)	y = x +		1			−ln(1 + e x ) ;
		1+e x
б)	y = ln(x +				1 + x2 ) − 1 + x2 arctg x ;
в)	y =	sin x		.
	1+e x

4.Вычислить производную второго порядка: y = arcsin 2x .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

1,		x < 0
y = cos x,			0 ≤ x <π
π	,	x ≥π
x
6. Провести полное		исследование функции и построить
график функции		y =		x2	− 2x + 2
						.
					x + 3
					45

Вариант 14

1. Вычислить пределы:

а) lim	x3 + 4x2 +3x							; б) lim	1 + 2x −3	;
	x	2	+ x		−6				x − 2
x→−3								x→4
в) lim	2sin x −				3		; г) lim		x3 + 4x2 +3x		.
				3x
x→π3		cos						x→+∞	x2 + x −6
				2

2.Выделить главную часть функции в точке x0 = 0 f (x) = 4−3x 2 −1.

3.Вычислить производные первого порядка:

	а)	y = ln sin		2 x + 4		;
				x +1
	б)	y = e − 5 x		arcsin( e 5 x ) ;
	в)	y =	x4 +1−x2		.
			x

4.Вычислить производную второго порядка: y = x cos x2 .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

	1	,	x < −2
y = x + 2			- 2 ≤ x < 0
0,
			x > 0
sin x,

6. Провести полное исследование функции и построить

график функции y =	x2	+ 6x + 9
			.
		x + 4
		46

Вариант 15

1. Вычислить пределы:

4

−1

lim ( x2

+1);

а) lim

x

; б)

+ 2x −

x2

x

3

2

− x +1

x→1

− x

x→+∞

x4 −1

в) lim

1 + x sin x −cos 2x

; г) lim

.

sin 2 x

x→0

x→+∞ x3 − x2 − x +1

2. Выделить главную часть функции в точке x0

= 0

f(x) = arctg (x2 +3x) .

3.Вычислить производные первого порядка:

а) y = 8x − x2 −7 −9 arccos x6−1 ;

б)	y = ln(1 +		1 − e 6 x ) arcsin( e 3 x ) ;
	y =	sin x
в)				.
		cos x +	cos 2 x

4.Вычислить производную второго порядка: y = sin2 x .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

2,				x < −2
y = x,				- 2 ≤ x ≤ 2
		1		x > 2
			,
		−2
x

6. Провести полное исследование функции и построить

график функции y =	x2 −16
		.
	4x − 3
	47

Вариант 16

1.

Вычислить пределы:

3

−8

x +1 − 1 − x ;

а) lim

x

; б) lim

x

3

2

− 4x −8

x→2

+ 2x

x→0

x

в) lim

1 + cos πx

; г)

lim

x3 −8

.

tg 2 πx

x→1

x→+∞ x3 + 2x2 −4x −8

2.

Выделить главную часть функции в точке x0

= 0

f(x) =1− 3x +1.

3.Вычислить производные первого порядка:

а) y = ln(e2x +1) − 2arctg ex ;

б) y = 14 ln xx+−11 arctg x ;

в) y =	7 x
		.
	9 + ln 2 x

4.Вычислить производную второго порядка: y = ex sin 2x .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

1			,		x < −1
		1
y = x +				−1 ≤ x ≤ 1
x,
1 − x2 ,						x >1
6. Провести			полное	исследование функции и построить
				y =	x3	− 27
график функции							.
						x2
						48

Вариант 17

1. Вычислить пределы:

а) lim

(x3 − 2x −1)2

; б)

(x +3

1− x3 ) ;

4

x→−1 (x

+ 2x +1)

lim

x→∞

в) lim

1 −

cos x

; г)

lim

(x3 −2x −1)2

.

x sin 2

x

(x4 +

2x +1)

x →0

x→+∞

2. Выделить главную часть функции в точке x0 = 0

f(x) = ln(1 + 2x x +3x2 ) .

3.Вычислить производные первого порядка:

а) y = sin ln x − cos ln x ;

б) y = 9x 2 −12x + 5 arctg(3x − 2) ;

в)	y =	1+ x2	−1
				.
		x

1

4. Вычислить производную второго порядка: y = ln x .

5. Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

	2	−x	,		x < 0
y =	cos x,				0 ≤ x ≤ π / 2
	1
					x > π / 2
x −π / 2 ,

6. Провести полное исследование функции и построить

график функции y =	x2	− 6x + 9
				.
	(	x −	)2
			1

49

Вариант 18

1. Вычислить пределы:

а) lim		x		+ 2x +1		; б) lim(			x 2 +4 − x +3);
		2
x→−1		x		− x − 2			x→∞
в) lim	1		−	cos x	; г)		lim		x4 + 2x +1	.
	1		−cos x
x→0							x→+∞ x2 − x −2

4

2. Выделить главную часть функции в точке x0 = 0

f(x) = 1+ x −1.

3.Вычислить производные первого порядка:

а)	y = ln x + arccos	1	;
		x
б)	y = 2x 1 − x2 arcsin x − 2x ;
в)	y = x arccos x .
	1 − x2
4. Вычислить производную второго порядка: y =				ln x
					.
				x2

5. Исследовать функцию на непрерывность, определить тип

точек разрыва:
y =		ex ,			x ≤ 0
		1	,	0 ≤ x < 5
		x
			+ 4,			x ≥ 5
	3x
6. Провести полное				исследование функции и построить
				y =	x3	− 32
график функции							.
						x2

50

Вариант 19

1. Вычислить пределы:

а) lim

x3 −3x2 + 4

; б) lim

1

+ x + x2

−

7 + 2x − x2

;

x

4

− 4x

2

x

2

− 2x

x→2

x→2

в) lim

lg x −1

; г)

lim

x3 −3x2 + 4

.

x −9 −1

x→10

x→+∞ x4 −4x2

2. Выделить главную часть функции в точке x0 = 0

f(x) = 2 x2 −1 .

3.Вычислить производные первого порядка:

а)	y =arccos			x2 −4		;
				x4 +16
б)	y = arctg			x2 −1 ln x2 ;
			2
		ln x		−4
в)	y =				.
		x4 +16
4. Вычислить					производную		второго	порядка:

y= (x2 +1) sin x .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

x2 − x,			x <1
y = 2 − x,			1 ≤ x ≤ 4
	1
		,	x > 4
x − 4

6. Провести полное исследование функции и построить

график функции y =	− 3x2 + 6x + 9
	x2 − 2x +13 .

51

Вариант 20

1.

Вычислить пределы:

lim ( x(x

− x);

1

8

а)

lim

−

; б)

+ 4)

16 − x

2

x→−4 x + 4

x→+∞

1 −cos 2x +tg 2 x

1

8

в)

lim

; г)

lim

−

.

x sin 2 3x

x→0

x→+∞ x + 4

16 − x2

2.

Выделить главную часть функции в точке x0

= 0

f(x) = x2 + 6x +3 x.

3.Вычислить производные первого порядка:

	а) y =	4		− x − x2 ;
		2x +1

б)	y =	2	1	+	1 + x arctg x ;
			x		2x
в)	y =	1 + 2		x − x2
						.
			2x +		1
4. Вычислить					производную		второго	порядка:

y= e2 x (x2 + 3x) .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

	1	,	x < −2
y = x + 2			- 2 ≤ x ≤ 2
x,
	x2 ,		x > 2

6. Провести полное исследование функции и построить

график функции y =	21 − x2
		.
	7x + 9

52

Вариант 21

1. Вычислить пределы:

а) lim

x3 −3x − 2

; б) lim

4

+ x − 2

;

x

3

+ 2x

2

− x − 2

3x

x→−1

x→0

в) lim

1

− 2 cos x

; г)

lim

x3 −3x −2

.

x→π3

π−3x

x→+∞ x3 + 2x2 − x −2

2. Выделить главную часть функции в точке x0 = 0

f(x) = (1 −cos 6x) tg 2x.

3.Вычислить производные первого порядка:

а) y = ln cos 22xx ++13;

б) y = 16x2 −8x + 2 arctg(4x −1) ;

= arctg x

в) y x2 .

4.Вычислить производную второго порядка: y = ln x sin x .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

		3 − x,	x ≤ 3
y =
	8x − x2 −15,		3 < x ≤ 5
		2x −12,	x > 5

6. Провести полное исследование функции и построить

	(	)2
график функции y =		x −1
		x2 .

53

Вариант 22

1. Вычислить пределы:

а) lim

4x2 −5x −6

; б) lim

6 −2x + x2 −

2x + x2 −6

;

3

−7x

2

+ 2x

x

2

−4x +

3

x→2 3x

x−>3

в) lim

cos 4x −1 ; г)

lim

4x2 −5x −6

.

x→0

sin 2 8x

x →+∞3x3 −7x2 + 2x

2. Выделить главную часть функции в точке x0

= 0

f(x) = ln(1 + 2sin x + x).

3.Вычислить производные первого порядка:

а) y = ln(e x + e2 x −1);

б) y = tgx arcsin e−x ;

	в)	y =			ctg x	.
			1		− x ctg x

4.Вычислить производную второго порядка: y = arctgx2 .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

		1	,	x < 0
		x
	y =			0 ≤ x < 2
	3x +1,
	4 − x2 ,			x ≥ 2

6. Провести полное исследование функции и построить

(x − 4)2

график функции y = ( )2 .

x +1

54

Вариант 23

1. Вычислить пределы:

а) lim	x4	+2x3 + x2		; б) lim	1−2x − x		2 −(1+ x)		;
	x	4	+ 2x +1			x
x → −1				x→0
в) lim ln(1 + x 1 + xex ) ; г) lim						x4 + 2x3 + x2		.
x →0			cos x −1	x →+∞		x4 + 2x +1

2. Выделить главную часть функции в точке x0 = 0

f(x) = ln(1 + 2sin 2x + tg2 x ) .

3.Вычислить производные первого порядка:

а) y = x(2 − x)+3 arccos 2x ;

б) y = 3ln x arcsin x ;

	в)	y =			tg x2	.
			1		+ ctg x

4.Вычислить производную второго порядка: y = e−x2 .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

y =		2x,	0 ≤ x <1
	− x2 + 4x − 2,		1 ≤ x < 3
		4 − x,	x ≥ 3

6. Провести полное исследование функции и построить

график функции	y =		x3		.
		(	x − 2	)
	9

55

Вариант 24

1. Вычислить пределы:
а) lim			x3 −8		; б) lim (		x2 −5x + 6 − x);
		x	3
x→2			−3x − 2		x→+∞		x3 −8
в) lim		2cos2 x −1		; г) lim				.
x→π2		ln sin x			x→+∞ x3 −3x −2

2. Выделить главную часть функции в точке x0 = 0

f(x) = (x2 + 2x)(1 − cos x).

3.Вычислить производные первого порядка:

а) y = ln x + arcsin 1−e2 x ;

		y = arctg x					x
	б)					tg		+ 1 ;
							2
	в)	y = arctg	3x−1	.
			6x

4.Вычислить производную второго порядка: y = cos2 x .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

	x,				0 ≤ x <1
		+ 4x − 2,			1 ≤ x < 3
y = − x2
		1
					x > 3
			3 − x ,

6. Провести полное исследование функции и построить

	y =	x3 − 32
график функции				.
		(	)
			x −1

56

Вариант 25

1. Вычислить пределы:

а) lim		(1 + x)3	−(1 +3x)		; б) lim		3 1 + x −1 ;
		x2
x→0			+ x5			x→0	1 + x −1
в) lim	sin 4x − 2 sin 2x			; г)		lim	(1 + x)3 −(1 +3x)	.
x→0		x ln cos 6x				x→+∞	x2 + x5

2.Выделить главную часть функции в точке x0 = 0 f (x) = e6 x2 −1 .

3.Вычислить производные первого порядка:

а) y = x −ln (2 +e x );

б)	y = x3 arccosx ;
в)	y =	tg x−ctg x	.
		x+1

4.Вычислить производную второго порядка: y = tgx2 .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

	2	,	−∞ < x ≤1
f (x) = x − x
lg(x −1),			x >1

6. Провести полное исследование функции и построить

	график функции y =	21− x2	.
		7x + 9

57

Вариант 26

1. Вычислить пределы:

а) lim

3x3 −7x2 + 2x

; б) lim

4

x −1 ;

3

x→2

4x

2

−5x −6

x→1

x −1

π

3x3

−7x2 + 2x

в) lim

tg(3 x

−3)

; г)

lim

.

3x

x→π

3

cos

−1

x→+∞ 4x2

−5x −6

2

2.Выделить главную часть функции в точке x0 = 0 f (x) = e−x2 +cos x −2.

3.Вычислить производные первого порядка:

а) y = (x2 −1) +cos x ;

б)	y = x ln 3 (1 + cos x) ;
в)	y =	ln cos 4x
			.
		16 + ln2 x

4.Вычислить производную второго порядка: y = e6 x2 −1 .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

	2−x ,			x < 0
f (x)=	cos x,			0 < x ≤ π/ 2
		1	, x > π/ 2
		x−π / 2

6. . Провести полное исследование функции и построить

график функции y =		3x	.
		+ x2
1

58

Вариант 27

1. Вычислить пределы:						1 +3x2 −(1 + х)
а) lim		x3 −3x − 2		; б)	lim					;
							3
x→−1		x + x	2		x→0			x
в) lim	sin 2x − 2 sin x				; г)	lim	x3 −3x −2		.
x→0		x ln(1 − x sin x)			x→+∞		x + x2

2. Выделить главную часть функции в точке x0 = 0

f (x) = 2 x (1 −cos3 2x) .

3. Вычислить производные первого порядка:

		ctg	3
	x −2			x	;
а) y = ln

б)	y = esin x (3sin 2x + 2sin 2x) ;
	y =	1 − x2	− x
в)				.
		1 − x2
			+ x

4.Вычислить производную второго порядка: y = sin 2x .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

		1		,	x < −2
		х+	2
		| x | ,			| x |< 2
	f (x) =
					x > 2
	x,

6. Провести полное исследование функции и построить

график функции y =	x2	−6x +13	.
		x −3

59

Вариант 28

1.	Вычислить пределы:
	а) lim		x3 − 2x −1		; б) lim x (			x2 +1 − x) ;
			(x2 − x − 2)2
	x→−1					x→+∞
	в) lim	cos 5x −cos 3x				; г) lim		x3 −2x −1	.
			sin 2 x
	x→π					x→+∞ (x2 − x −2)2
2.	Выделить главную часть функции в точке x0 = 0

f(x) = x tg 2π(x + 1 ) .

2

3.Вычислить производные первого порядка:

а) y = 1 + tg x +arcsin2 х;

	б)	y =	1	− x3	arctg x ;
			1	+ x3
	в)	y =	ln(3x2 −1)				.
				x

4.Вычислить производную второго порядка: y = cos 2x .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

x2 − x,				x <1
f (x) = 2 − x, 1 < x ≤ 4
	1		, x > 4
	х−	4
6. Провести		полное		исследование функции и построить
график функции				y =		x	4	.
						x3
							−1

60

Вариант 29

1. Вычислить пределы:

а) lim		x3 −3x − 2		; б) lim		9 + 2x −5 ;
		x2 − x − 2
x→−1					x→8	3 x2 − 4
в) lim		x2 (ex −e−x )			; г) lim		x3 −3x −2	.
		3	+1 −e
x→0		ex			x→+∞ x2 − x −2

2. Выделить главную часть функции в точке x0 = 0

f(x) = 2 x (1 −cos3 2x).

3.Вычислить производные первого порядка:

а) y = arctg 3(1+4 x) ;

б) y = 3cos2 2x arcsin x ;

5− cos x

в) y = ctg3 x .

4.Вычислить производную второго порядка: y = lnxx .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

	3 − x,		x ≤ 3
f (x) =	8x − x2	−15 , 3 < x ≤ 5
1
	2x −12 ,		x > 5

6. Провести полное исследование функции и построить

график функции y =	17		− x	2	.
		x − 5

61

Вариант 30

1. Вычислить пределы:

а) lim

x3

−3x − 2

; б)

lim

3

8 +3x + x2 − 2

;

−5x + 6

x + x2

x→2 x2

x→0

x3

в) lim

ln cos x

; г)

lim

−3x −2

.

x→2π tg(cos x −1)

x→+∞ x2

−5x +6

2.Выделить главную часть функции в точке x0 = 0

f (x) = 2x − 2−x +3x.

3.Вычислить производные первого порядка:

а) y = 1 − x + ln(x + );1 + x

б) y = 3cos2 2x arcsin x ;

в) y =	1+3x .
	ctg3 х

4.Вычислить производную второго порядка: y = arctg2x .

5.Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва:

		1	, x	< 0
		х
				0 ≤ x < 2
	f1(x) = 3x +1,
			− x2 ,	x ≥ 2
	4

6. Провести полное исследование функции и построить

график функции y =	x	.
x2 − 4

62