ТР№2 Пределы
.pdfТиповой расчет №1
Теория пределов
Задача 1-2.
На языке окрестностей (" ε―δ ") сформулировать определения предела функции в точке и одностороннего предела, соответствующие символическим равенствам.
Задача 3-7.
Вычислить пределы функций (не пользуясь правилом Лопиталя).
Задача 8.
Определить порядок функций f1(x) и f2(x) относительно x, предварительно установив, являются ли они в точке x0, бесконечно малыми или бесконечно большими. Сравнить функции f1 и f2 . Выделить главную часть.
Задача 9.
Определить характер функций (б.б., б.м.) f1(x), f2(x), f3(x) в точке x0 и выделить главную часть.
Задача 10.
Исследовать функции f1(x), f2(x) на непрерывность, установить тип точек разрыва и сделать графики функций в окрестности точек разрыва..
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Вариант 1 |
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1. |
lim f ( x) = −3 |
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x→5 |
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2. |
lim log4 (x −2) = −∞ |
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x→2+0 |
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3. |
lim |
x 3 + 2x 2 −4x −8 |
||||||||
x |
3 |
+8 |
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x→ −2 |
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4. |
lim( x 2 − 2x −1 − x 2 −7x +3) |
|||||||||
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x→±∞ |
2 sin x −1 |
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5. |
lim |
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sin 6x |
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x→π |
6 |
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ln(4x −1) |
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6. |
lim |
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1 −cosπ x −1 |
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x→1 |
2 |
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5 ctg2 x
7.limx→0 6 − cos x
8.а) f1(x) = 3arcsin(2x2 + x4 ),
б) f |
2 |
(x) = tg 2 |
x (1 −cos 2 x ), |
x = 0 |
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0 |
9.
10.
а)
б)
в)
а)
f (x) = |
3cos 4x |
, x |
1 |
esin 2x −esin x |
0 |
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|
f |
2 |
(x) = (3x2 +1) tg |
π |
, x |
||||||
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||||||||||
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5x |
0 |
||
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||
f3 (x) = tg 3πx, |
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x0 = 2 |
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sin x, |
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x < 0 , |
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||||
f1 |
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3 , |
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|||
(x) = x |
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0 < x ≤ 2 , |
||||||||
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1 |
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, |
x > 2 |
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|||
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2 |
− x |
|
=0,
=∞
б) |
f 2 (x) = |
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x + 2 |
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+ x |
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||||
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||||||
|
|
x + 2 |
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|||
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Вариант 2
1. lim f ( x) = +∞
x→3−0
2. |
lim |
1 |
= 0 |
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x |
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x→−∞ |
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3. |
lim |
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x2 −8x +12 |
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x |
3 |
−7x |
2 |
|
+6x |
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||||||||||||
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x→6 |
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|||||||||||
4. |
lim |
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x 2 −25 |
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||||||||
|
2 − |
x −1 |
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||||||||||||
|
x→5 |
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|||||||||||
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1 − sin |
x |
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||||||||
5. |
lim |
2 |
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π − x |
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|||||||
|
x→π |
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6. |
lim |
|
ln(x 2 |
+ 2x) − ln(x 2 |
+3) |
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|||||||||||||||||||
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|
x |
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||||||
|
x→∞ |
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e |
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|
−1 |
|
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|||||||
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|
x2 −1 |
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1 |
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7. |
lim(2 −cos3x) |
ln(1+x2 ) |
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8. |
x→0 |
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а) |
f1(x) = sin π(x +5), |
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|
б) f |
2 |
(x) = (e3x −1)2 |
, |
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x = 0 |
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1 |
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|
0 |
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|||||||
9. |
а) f1(x) = |
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, |
|
x0 =1, |
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|
x2 − x +1 −1 |
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|
б) |
f |
2 |
(x) = (2x +3)(x +3 |
|
x ), |
|
x |
= ∞ |
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|
|
0 |
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||||
|
в) |
f |
3 |
(x) = cos x −3 cos x , |
x = 0 |
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|
0 |
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|
||||
|
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|
2 , x < 0 |
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||||||||
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|
4 − x |
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|
x −2 |
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10. |
а) |
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|
f1 (x) = |
4e x , 0 |
< x |
≤ 4 |
|
б) |
f 2 |
(x) = x + 2 |
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|
x −2 |
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1 |
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|||||
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|
|
, |
x > 4 |
|
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|||||||||
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|||||||
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|
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|
|
−4 |
|
|
|
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|
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|
|||||||||||
|
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|
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|
|
x |
|
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Вариант 3
1. lim f (x) = −∞
x→+0
1
2. lim (x −1)2 = +∞
x→1
2x2 + x −1
3. lim x 3 − 3x −2
x→−1
4. |
lim |
|
4 x − 2 |
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||||||||
|
|
x − 4 |
|
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||||||||||
|
x→16 |
|
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||||||||
5. |
lim |
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|
ln(1 − 7x) |
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|||||||||||
|
sin(π (x + 7)) |
|
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||||||||||||||
|
x→0 |
|
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||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
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|
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|
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6. |
lim |
|
tg(3 x |
−3) |
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|||||||||
|
|
3cos |
3x |
|
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|||||
|
x→π |
|
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|
|
−1 |
|
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|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
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|
|||||||||
7. |
lim(cos x) |
ctg 2 x |
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|||||||||||
sin 3x |
|
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|||||||||||||
|
x→2π |
|
|
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|
|
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|
||
8. |
а) |
f (x) = sin(x x +e2x −1), |
|
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|||||||||||||||
|
|
1 |
(x) = x tg3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
б) |
f |
2 |
x , |
x = 0 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
9. |
а) |
f (x) = ln(13 −3x2 ), |
x = −2, |
|
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||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
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|
||||
|
б) |
f |
2 |
(x) = (x2 −3x)tg2x2 , x = 0 |
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|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
в) |
f |
3 |
(x) = x x (x + x2 +1) , x = ∞ |
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|||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
, |
x < −3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x +3 |
|
|
x |
|||||||||
10. |
|
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|
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|
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|||||
а) |
f1(x) = |
x |
+3, |
−3 ≤ x ≤ 0 , |
б) f2 |
(x) = |
|
|||||||||||||
x2 −9 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
|
x > 0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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Вариант 4
1. |
lim f (x) = 0 |
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|||||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
2. |
limex = 1 |
|
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|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
lim |
(1 + x)3 |
−(1 + 3x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
+ x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||
4. |
lim(x + 3 1 − x 3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
lim |
|
|
|
|
3x+1 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ln(1 + x |
|
|
1 + xe |
2 x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
lim |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
sin x+1 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
lim (2 − x ) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ln(2−x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
а) |
f (x) = 5x3 +3x2arctgx, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
(x) = (x3 −1)2 + 2x6 , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
б) f |
2 |
|
x = ∞ |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
9. |
а) |
f (x) = tg 2 x −sin2 x, x |
|
= 0, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
б) |
f2 (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
x0 =1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 − x2 )sin πx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
в) |
f3 (x) =ln(x + 2) −ln x, |
x0 = ∞ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 2x, |
|
x < 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
10. |
|
f |
|
|
(x) = |
|
− x3, 0 < x < 2 , |
|
б) f |
|
(x) = |
1 |
|||||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≥ 2 |
|
|
|
(x −2)(x +1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +3, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
Вариант 5
1. |
lim f (x) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
|
x→ −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
lim |
|
|
1 |
|
|
|
= +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→−4+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
lim |
|
x 3 + 2x 2 |
− x − 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
lim |
|
|
|
|
x +13 − 2 x +1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
−9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
lim |
sin(α + x) −sin(α − x) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
lim |
|
|
|
tg(x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→−1 e3 х3 −4х2 +6 −e2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2x −1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
7. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8. |
а) |
f (x) = ln(1 + x2 + x5 ), |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
б) f2 (x) = 3x + x x , |
x0 = 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
9. |
а) |
f (x) =1 −cos3 x, x |
= 0, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3x +7 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
б) |
f |
2 |
(x) = |
|
, |
|
x = −3 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
− x −12 |
0 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
в) f |
3 |
(x) = 4 x4 + x2 + x3 , |
|
x = ∞ |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex , |
|
x < 0 |
|
|
|
|
cos x −1 |
|||||||||
10. а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f1(x) = |
x |
+1, |
|
0 < x ≤ 2 , |
б) f2 |
(x) = |
|
|||||||||||||||||||||
|
x2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
x > 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 6
1. |
lim f (x) = +∞ |
|||||||||
|
x→ −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
lim arcsin x = −π2 |
|||||||||
|
x→−1+0 |
|
|
|
|
|
||||
3. |
lim |
(x2 + 2x −3)2 |
|
|||||||
|
|
3 |
+ |
4x |
2 |
+3х |
||||
|
x→−3 x |
|
|
|||||||
4. |
lim( |
|
x 2 |
+4 − x +3) |
||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
lim |
sin 3x − sin 2x |
|
|||||||
ln(1 +2tg3x) |
||||||||||
|
x→0 |
|
6. |
lim |
|
x2 − 3x + 3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
sinπ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
lim(2ex−2 −1 ) x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
а) |
f (x) = (3x +1)arctg4x2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) f |
2 |
(x) = x x2 |
+1, |
|
|
|
x = 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
9. |
а) |
f (x) = sin |
|
|
x (e2 |
|
x −1), |
x |
|
= 0, |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
x +3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
б) f |
2 |
(x) = |
|
|
|
, |
|
|
x =1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
(x3 − |
1)2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
в) |
f |
3 |
(x) = sin |
1 |
|
arcsin |
|
2x |
, |
x |
= ∞ |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
|
|
|
5x2 +3 |
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0, |
|
x < −1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) |
f1(x) = |
|
x |
|
, |
|
|
|
x |
≤1 |
, |
|
б) |
f2 (x) = |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1) , |
|
|
x >1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 + 2 x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
ln(x |
|
|
|
|
|
|
Вариант 7
1. |
lim f (x) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→ −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
lim log0,5 х = +∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
lim |
|
|
(2x2 − x −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
3 |
+ 2x |
2 |
− x |
−2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4. |
lim |
3 8 +3x − x2 −2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 x2 + х3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
lim |
cos2x −cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
1 −cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6. |
lim |
|
ln(x 2 |
−1) − ln(x +1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
x −1 −1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
lim(cos |
x ) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7. |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→+ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
а) |
f1(x) = ln(1 + |
|
x sin x), |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
б) f |
2 |
(x) = e2x −1, |
|
|
x = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
9. |
а) |
f (x) = e2x +e−x −2, x = 0, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x −3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
б) |
f |
2 |
(x) = |
|
, x = 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin2 πx |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
в) |
f |
3 |
(x) = (2x2 +3x) arctg3x2 , |
x |
= ∞ |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3, |
|
|
|
x < −3 |
|
|
1 |
|
|
||||||||
10. а) |
f1(x) = |
|
|
x |
|
, |
|
|
|
−3≤x≤ 3 , |
|
f2 (x) = |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 − x , |
|
|
x > 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 +3x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 8
1. |
lim f (x) = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→ −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
lim tg x = +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→ |
π |
−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
lim |
|
|
x 4 − x 3 + x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2x |
2 |
− x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
lim |
1 −2x − x 2 |
|
−(1 + x) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
lim |
|
esin 2 x |
− esin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
|
|
|
tg3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. |
lim |
ln(x + 2)−ln(2x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
sin πx |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
lim |
1 −ln(1 + x3 ) |
|
|
x 2 arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
а) f (x) = x2 +3 x + 4x3, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
(x) = x2 −2x +3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
б) f |
2 |
|
|
|
|
|
|
x = ∞ |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
9. |
а) |
|
f (x) = ln(1 + 2sin |
x +tg 2 x), |
x |
= 0, |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
(x) = tg πx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||
|
б) f |
2 |
|
|
|
|
|
x = 5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
в) |
|
f |
3 |
(x) = |
|
|
x |
sin |
|
|
2 |
|
|
|
|
, |
x = ∞ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 +5 |
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
10. |
а) |
|
f1(x) = |
|
|
, |
|
|
0 < x < |
|
, |
б) |
f2 |
(x) = arctg |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
2 |
|
x2 −1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 , |
|
|
|
x > |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9
1. |
lim f (x) = 4 |
|
x→ −2 |
2. |
lim log2 X = −∞ |
|
x→+0 |
3. |
lim |
|
|
|
x 3 −3x + 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
3 |
− x |
2 |
|
|
− x +1 |
|
|
|||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4. |
lim |
|
|
|
x +1 − 1 − x |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
7 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
cos(x + |
5π |
) |
tg x |
|
|
|||||||||||||
5. |
lim |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
arcsin 2x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6. |
lim |
|
ln(5−2 x) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
10−3x −2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim(cos x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
х |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
а) f (x) = x2 +3 x +1, |
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
(x) = x2 +5x +1, |
|
||||||||||||||||||
|
б) f |
2 |
x = ∞ |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||
9. |
а) |
f1(x) = tgx −2sin |
x , |
x0 = 0, |
||||||||||||||||||
|
б) |
f |
2 |
(x) = |
2x +3 |
, |
x = π |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
в) |
f3 (x) = ln(x2 + x) −ln(x2 +1), |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x, |
x ≤ 0 |
||||||||||
10. а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x , |
0 < x ≤ π, |
|||||||||||
f1(x) = |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
x > π |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −π |
|
|
|
|
|
x0 = ∞
б) f2 (x) = x2 − x3 x −1
Вариант 10
1. |
lim f (x) = +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
lim arcsin x = π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→1−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
lim |
|
|
x 2 + 2x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
3 |
+ |
4x |
2 |
+ 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. |
lim |
|
|
|
3 |
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 + x − |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5. |
lim |
|
|
|
1 −cos2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
cos7x −cos3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
6. |
lim |
|
ln(5 −2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
10 −3x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
lim |
|
|
|
|
arctg |
2 x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8. |
а) f (x) = x2 +6x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
б) |
f2 (x) = ln(1 + 2 tg x) , |
x0 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
9. |
а) |
f1(x) = arcsin 3x −sin 4x, x0 = 0, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
б) f |
2 |
(x) = |
2x −1 |
|
, |
|
|
x = −3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(4 + x) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
в) f |
|
(x) = |
2x2 |
−3x3 + 4 |
x +5 |
, x |
= ∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
+ 4x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1, |
|
x ≤2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
а) |
f |
|
(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11, |
|
2 <x <4 , |
|
б) f |
|
(x) = 2 x |
2 |
−1 |
||||||||
|
x2 −6x + |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2x −5 , |
|
|
x >4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 11
1. lim f (x) = +∞
x→ −∞
2. limsin x =1
x→π2
3. |
lim |
(x2 + 2x −3)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
+ 4x |
2 |
+3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x→−3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
4. |
lim |
3 |
x −6 +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
lim |
|
|
|
|
|
|
x2 −2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
|
tg[2π(x +0,5)] |
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
6. |
lim |
|
|
|
ln 2x −ln π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
|
|
sin |
5x |
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→ |
π |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
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5 |
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|
1 / tg2 x |
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||||||||||||||||
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|||||||||||
7. |
lim |
6 − |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
8. а) f (x) = 6x3 + x6 +1, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
б) f |
2 |
|
(x) = 3 |
|
|
x9 +1 + x2 , |
x = ∞ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
9. |
а) f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
x |
= 0, |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
(x) = e |
|
|
|
|
−1 sin 2x, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
б) f2 |
|
(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
x0 = −3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
ln2 (x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
в) f |
3 |
(x) = |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
tg |
3 |
, |
x = ∞ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + x |
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x, |
|
|
|
|
x ≤ −1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10. а) f |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+ |
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
(x) = |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
−1 < x <0 |
, |
б) f |
2 |
(x) = e |
|
x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
2x |
+x , |
x ≥0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 12
1. lim f (x) = +∞
x→3−0
2. lim log1 x = −∞
x→+∞ 3
3. lim |
|
x4 −1 |
|
||
2x |
4 |
− x |
2 |
−1 |
|
x→1 |
|
|
4. |
lim |
|
9 + 2x −5 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→8 |
|
|
|
x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
lim |
ln cos2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
sin |
2 |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
5x−3 |
|
|
2x2 |
|
|
|
|
||||
6. |
lim |
3 |
|
|
−3 |
|
|
|
|
||||||
ln(5x2 −4x) |
|
|
|||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
7. |
lim |
|
|
5 − |
|
4 |
|
|
|
sin2 |
3x |
||||
|
( |
cos x ) |
|||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8. |
а) f1(x) = (e2x −1)2 , |
|
|
||||||||||||
|
б) f2 (x) =1 −cos3 x , |
|
|||||||||||||
9. |
а) f (x) = 5 1 +3 x −1, |
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2x +1 |
|
||||||
|
б) f2 |
(x) = |
|
|
|
||||||||||
|
x3 + 2x2 + x) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x0 = 0 x0 = 0,
, x0 = −1
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) = arctg 4x e |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
f |
|
2 x |
, |
x |
= ∞ |
|
|
|
||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, |
х<−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10. а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
f (x) = 0, |
|
−2 ≤x <0 |
|
|
б) |
f |
2 |
(x) = e |
x +1 |
|
|||||
|
1 |
sin x, 0 <x <∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 13
1. |
lim f (x) = −∞ |
|
||||||||||||||
|
x→3+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
lim |
1 |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
lim |
|
|
|
|
|
x3 −3x −2 |
|
|
|||||||
|
|
|
3 |
+ 2x |
2 |
− x −2 |
|
|||||||||
|
x→−1 x |
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
lim(3 |
(x +1)2 − 3 ( x −1)2 ) |
||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
lim |
sin 7πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→2 tg8πx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6. |
lim |
ax2 −a2 −1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
tg ln a |
|
|
|
|
|||||
|
x→a |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||
7. |
lim x2 |
2 −cos x |
|
|||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
а) f (x) = sin 3 x (1 −cos |
x ), |
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
б) f2 (x) = tg(π(x −5)) , |
x0 = 0 |
9.
10.
а) f (x) = |
x +6 |
, x = 3, |
|
||
1 |
2x −8 |
0 |
|
|
б) f |
2 |
(x) = x−1(ln(x +1)−ln x), |
|
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
в) |
f3(x) = x2 + 2x +3sin2 x −4tgx , |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
−x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, x <0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 < x < π, |
|
f |
|
|
а) |
f |
|
(x) = |
tgx, |
б) |
2 |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, |
x ≥ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∞ x0 = 0
(x) = e4 x −1 x
Вариант 14
1.lim f (x) = 3
x→−∞
2.limlog2 (x −1) = −∞
x→1+0
3. |
lim |
x3 + 4x2 +3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→−3 |
|
|
|
|
|
x2 + x −6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
|
|
|
3 |
(x +1) |
2 |
− |
3 |
|
(x |
−1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
lim |
2sin x − |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
cos |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
lim |
|
|
arcsin |
x+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−2 3 2+x+x2 −9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7. |
lim(2 −ex2 ) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1−cos πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
а) f (x) = 4−3x2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
б) |
f2 (x) = sin 5x −3sin 2x , |
x0 = 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
9. |
а) |
f |
|
|
(x) = |
1 |
|
|
|
|
|
, |
x = π |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
xsin 3x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
б) f |
|
|
|
|
(x) = |
|
(2x + |
3)3 (3x −2)3 |
x = ∞ |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 +1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
в) |
f |
3 |
(x) = arctg( |
|
|
4 + x2 −2) , |
x = 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
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|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x +1, x <1 |
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|
|
x − |
1 |
|||||||||||||
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||
а) |
f1(x) = |
|
|
|
|
2, |
1 < x ≤ 3 |
б) |
f2 |
(x) = 2 |
x |
||||||||||||||||||
2x + |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
x > 3 |
|
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||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lg(x −3), |
|
|
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|
Вариант 15
1. |
lim f (x) = +∞ |
|
|
|
|
|
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||||||||
|
x→3+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
lim |
1 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|||||||||
|
x→−∞ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
lim |
|
|
x4 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→1 x3 − x2 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
lim |
|
1 − x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 +3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→−8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
lim |
1 + xsin x −cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. |
lim |
|
x2 − x +1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
lim[1 −ln(1 +3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. |
x )] |
sin 4 3 x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
а) |
f (x) = arctg (x2 +3x) , |
|
|
|
|
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||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) f2 (x) =1 − 3x +1 , x0 = 0 |
|
|
||||||||||||||||||
9. |
а) f (x) = 1 + x2 +3x −1, |
|
x = 0 , |
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
б) |
f |
2 |
(x) = 2 |
cos2 |
x−1 |
− 2 −5х , |
|
|
x = π 2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
в) |
f |
3 |
(x) = x2 + |
x sin |
|
, x |
|
= ∞ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
3, |
x < −3 |
|
|
|
|
1 |
||||||||
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) |
f1(x) = | x |, |
−3 < x ≤ 3 |
|
б) f2 |
(x) = arctg |
|
|||||||||||||||
|
x +3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−3), |
x > 3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln(x |
|
|
|
|
|
Вариант 16
1. |
lim f (x) =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
lim3x = +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
lim |
|
|
|
|
|
x3 −8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→2 x3 + 2x2 −4x −8 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4. |
lim( |
|
(x + a)(x +b)− x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
lim |
1 +cos πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
tg |
2 |
πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. |
lim |
esin 2 6 x −esin 2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→ |
π |
|
|
|
|
log3 cos 6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7. |
lim(3 −2cos x)−cos ec2 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
а) |
f1(x) |
= |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
− |
3x + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
б) |
f |
2 |
(x) = |
|
|
|
|
1 |
, |
|
|
|
x = 0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
+ 2x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. |
а) |
f (x) = 3 x + 2 −2 , |
|
x = 6 , |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3cos 2x |
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
б) |
|
f |
|
|
(x) = |
|
, |
x |
= 0 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 −4−sin 2x2 |
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
в) f |
3 |
(x) = 2x2 |
−3 x8 −5x2 +1 , x = ∞ |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
x < 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
а) |
f |
|
|
(x) = cos x, |
0 < x < π |
б) f |
2 |
(x) = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≥ π |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х , |
|
|
|
|
|
|
Вариант 17
1. |
lim f (x) = 4 |
|||||
|
x→ −∞ |
|
|
|
|
|
2. |
lim |
|
1 |
= −∞ |
||
|
x +5 |
|||||
|
x→−5−0 |
|
|
|||
3. |
lim |
(x3 −2x −1)2 |
|
|||
|
(x4 + 2x +1) |
|||||
|
x→ −1 |
|
||||
4. |
lim |
|
|
1 +3x2 −(1 + х) |
||
|
|
|
3 x |
|||
|
x→0 |
|
|
5. |
lim |
1 − cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→0 xsin2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. |
lim |
|
|
|
x2 − x +1 −1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
tgπx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
sin x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→3 |
sin 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8. |
а) |
f (x) =1 −cos10x2 , |
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
б) |
f2 (x) = 1 + x −1 , |
|
x0 = 0 |
|
||||||||||||||||
9. |
а) |
f (x) = ln(1 + 2x |
x +3x2 ) , |
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
б) f |
2 |
(x) = |
|
, |
|
x = 3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x −8 |
|
0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
в) |
f3(x) = arctg3x sin |
|
, |
|||||||||||||||||
|
|
x + 2x2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3, |
|
−∞ < x < 0 |
|
|||||||||
10. а) |
f |
|
|
(x) = |
|
|
|
|
0 |
≤ x < 4 |
|
||||||||||
|
|
x2 +1, |
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
lg(x |
−4), |
|
x > 4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 = 0 ,
x0 = ∞
б) f2 (x) = x + x + 2 x + 2
|
lim f (x) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 18 |
||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→ +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
lim |
|
1 |
|
|
= −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→ −3−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
lim |
|
|
x4 + 2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→ −1 |
|
|
|
|
|
x2 − x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. |
lim |
3 x −6 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→ −2 |
|
|
|
|
|
|
x3 +8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
lim |
1 − cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→0 |
|
1 −cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6. |
lim |
2cos2 x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
π |
2 |
|
|
|
|
|
|
ln sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x −1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
5 |
x −1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
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8. |
а) f (x) = x3 5x3 + 4 x12 +1, |
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||||||||||||||||||||||
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1 |
(x) = (x2 −1)2 − x4 , |
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||||||||||||||||||||
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б) f |
2 |
x = ∞ |
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|
1 |
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|
|
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|
0 |
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||||||
9. |
а) f |
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(x) = |
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, |
x =1 , |
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||||||||
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|||||||||||
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|
1 |
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sin πx |
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|
0 |
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||||||||||||
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||||||||
|
б) f |
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|
|
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|
|
x |
2 |
+1 |
|
x = ∞ |
|||
|
2 |
(x) = x x x + |
|
, |
|||||||||||||||||||||
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0 |
в) |
f3 (x) = sin 2 |
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x ( tg 3x − 2 tg 5x) , |
x0 = 0 |
|||||
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|
2, |
|
x < −2 |
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|
2x |
|||
10. а) |
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|
б) f2 |
(x) = |
||
f1(x) = | x |, |
|
|
| x |< 2 |
|
|||||
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|
sin x |
|||||||
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|
1 |
|
, |
x > 2 |
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||
|
|
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|
|
|||||
|
|
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|
||
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|
−2 |
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
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