№15.2
.docxБилет №15 Сеточные методы на примере решения уравнения теплопроводности
1. Введение
Эта работа знакомит с численными методами решения дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа на примере одномерного линейного уравнения теплопроводности. Рассматривается следующая краевая задача:
2. Теоретическая справка
2.1. Дифференциальная краевая задача
Как уже было отмечено, в работе рассматривается задача:
2.2. Сеточная область
Для рассмотренной задачи
p = 0, 1, ..., P, m = 0, 1, …, M,
p = 0, 1, ..., P, m = 0, 1, …, M,
где — компонента сеточной функции, относящаяся к узлу — шаг по времени, h — шаг по координате,
2.3. Пример разностной задачи (разностной схемы)
Для рассмотренной дифференциальной задачи одна из возможных разностных схем имеет следующий вид:
p = 0, 1, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1;
m = 0, 1, …, M; (11.1a)
p = 1, 2, …, P;
p = 1, 2, …, P.
2.4. Шаблон разностной схемы
Рассмотренная разностная схема при заданных m и p связывает значения решения в четырех точках сетки, которые образуют конфигурацию, называемую шаблоном схемы.
2.5. Спектральный признак устойчивости
Для широкого класса эволюционных (зависящих от времени) задач исследование устойчивости можно осуществить с помощью спектрального признака, который в случае разностной задачи с постоянными коэффициентами, состоит в следующем.
Заменяем правую часть разностного уравнения в (11.1a) нулем, краевую задачу — задачей Коши, функцию — гармоникой и ищем решение в виде
(для задач с одной пространственной переменной), — произвольное число,
Для устойчивости разностной схемы необходимо, чтобы спектр лежал в круге где c не зависит от . Подставляя в рассмотренное разностное уравнение, получим:
или
Разностная схема устойчива, если выполнено неравенство т. е. когда , h выбраны так, что
2.6. Шеститочечная параметрическая схема
Сеточный шаблон:
Разностная схема:
p = 0, 1, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1;
m = 0, 1, …, M;
p = 1, 2, …, P;
p = 1, 2, …, P.
где — параметр схемы.
= 0 — явная четырехточечная схема;
= 1 — неявная четырехточечная схема;
= 1/2 — схема Кранка–Николсона.
Метод решения полученной системы линейных уравнений с матрицей трехдиагональной структуры — прогонка.
Порядок аппроксимации:
= 1/2:
= 0; 1:
= 1/6:
Введем обозначения
Схема устойчива при любых К, если 1/2; при схема устойчива, если
2.7. Схема Франкела–Дюфорта
Сеточный шаблон:
Разностная схема:
p = 1, 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1;
m = 0, 1, …, M;
p = 1, 2, …, P;
p = 1, 2, …, P.
Значения функции на втором слое по времени рассчитываются по явной центральной четырехточечной схеме. Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитывается по ее значениям на двух предыдущих нижних слоях: p и p – 1.
Порядок аппроксимации:
Cхема устойчива при любых
2.8. Схема Ричардсона
Сеточный шаблон:
Разностная схема:
p = 1, 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1;
m = 0, 1, …, M;
p = 1, 2, …, P;
p = 1, 2, …, P.
Значения сеточной функции на втором слое по времени рассчитываются по явной центральной четырехточечной схеме. Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитывается по ее значениям на двух предыдущих нижних слоях p и p – 1.
Порядок аппроксимации:
Cхема неустойчива при любых K.
2.9. Явная центральная четырехточечная схема
Сеточный шаблон:
Разностная схема:
p = 0, 1, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1;
m = 0, 1, …, M;
p = 1, 2, …, P;
p = 1, 2, …, P.
Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитывается по ее значениям на нижнем слое p.
Порядок аппроксимации:
Cхема устойчива при
2.10. Схема Алена–Чена
Сеточный шаблон:
Разностная схема:
p = 0, 1, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1;
m = 0, 1, …, M;
p = 1, 2, …, P;
p = 1, 2, …, P.
Значения сеточной функции на верхнем временном слое находятся по ее значениям на нижнем слое, поскольку разностное уравнение разрешается относительно
Порядок аппроксимации:
Схема устойчива при любых K.
2.11. Нецентральная явная схема
Сеточный шаблон:
Разностная схема:
p = 0, 1, …, P – 1; m = 2, 3, …, M;
m = 0, 1, …, M;
p = 1, 2, …, P;
p = 1, 2, …, P.
Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитывается по ее значениям на нижнем слое p (значения сеточной функции в точках {m = 1; p = 1, 2, …, P} рассчитываются по шеститочечной параметрической схеме при = 1).
Порядок аппроксимации: О().
Схема неустойчива при любых K.
2.12. Схема Саульева
Сеточный шаблон:
Разностная схема:
p = 0, 1, …, P – 2; m = 1, 2, …, M – 1;
начальные и граничные условия в такой схеме реализуют следующим образом:
m = 0, 1, …, M;
p = 1, 2, …, P;
p = 1, 2, …, P.
Алгоритм численного решения задачи — «бегущий счет»: слева направо — первый этап, справа налево — второй.
Порядок аппроксимации:
Схема устойчива при любых K.