72

Лабораторная работа № 8 определение скорости пули при помощи крутильно-баллистического маятника

Цель работы:

1. Изучить законы сохранения момента импульса и механической энергии.

2. Определить скорость пули при помощи крутильно-баллистического маятника.

Теоретическое введение

Энергия тела (Е)  это скалярная физическая величина, характеризующая различные формы движения и взаимодействия материи.

В соответствии с различными формами движения и взаимодействия материи различают различные виды энергии: механическую, внутреннюю, ядерную и т.д. В процессе взаимодействия тел форма движения материи может изменяться, при этом происходит превращение одного вида энергии в другой. Изменение вида энергии обусловлено действием на тело (систему тел) сил и связано с совершением работы:

,

где Е  изменение энергии тела (системы тел); А  работа сил, действующих на тело (систему тел).

Единица измерения: .

Под системой тел понимают совокупность тел, рассматриваемых как единое целое. Силы взаимодействия между тела самой системы называются внутренними силами, а силы, с которыми на тела системы действуют тела, не включенные в рассматриваемую систему, называются внешними.

Система тел называется замкнутой (изолированной), если на неё не действуют внешние силы, то есть тела системы взаимодействуют между собой и не взаимодействуют с другими телами.

На систему тел могут действовать:

1. Консервативные силы  силы, работа которых зависит только начального и конечного положения движущегося тела и не зависит от формы траектории. К ним относятся: сила тяжести, сила упругости, сила Кулона и т.д.

2. Неконсервативные силы  силы, работа которых зависит от формы траектории. К ним относится сила трения.

В связи с этим:

Система тел называется консервативной, если внутренние и внешние силы, действующие на систему, являются консервативными.

Система тел называется диссипативной, если внутренние или внешние силы, действующие на систему, являются неконсервативными.

В классической механике рассматривается механическая энергия тела  это скалярная физическая величина, характеризующая механическое движение и взаимодействие тела как целого. Механическая энергия тела складывается из кинетической (Е_к) и потенциальной (Е_р) энергии тела.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ (Ек)	ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ (Ер)
характеризует механическое движение тела	характеризует механическое взаимодействие тела с другими телами
1. Зависит от выбора системы отсчёта. 2. Всегда положительна или равна нулю (Ек0)	1. Зависит от выбора нулевого уровня. 2. Может быть как положительной (Ер0), так и отрицательной (Ер0).
Теорема об изменении кинетической энергии тела: Работа всех сил (консервативных и неконсервативных), действующих на тело, равна изменению кинетической энергии тела:	Теорема об изменении потенциальной энергии тела: Работа консервативных сил, действующих на тело, равна изменению потенциальной энергии тела, взятому со знаком «минус», т.к. работа совершается за счёт убыли потенциальной энергии:

Вид формулы для расчёта того или иного вида энергии зависит от вида движения и взаимодействия тела. Например:

1. Кинетическая энергия тела при поступательном движении:

,

где m  масса тела; v  скорость тела.

2. Кинетическая энергия тела при вращательном движении:

,

где I  момент инерции тела; ω  угловая скорость тела.

3. Кинетическая энергия тела при одновременном поступательном и вращательном движении:

,

4. Потенциальная энергия тела при гравитационных взаимодействиях:

,

где m₁, m₂  массы взаимодействующих тел; G  гравитационная постоянная, r  расстояние между телами; нулевой уровень r → ∞.

Если рассмотреть гравитационное взаимодействие тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, с Землёй (М_З), то:

,

или для малых высот (h<<R_З), с учётом :

,

где m  масса тела; g  ускорение свободного падения, h  высота, на которую поднято тело над нулевым уровнем (поверхностью Земли).

5. Потенциальная энергия тела при упругих взаимодействиях:

а) ,

где k  жёсткость тела (пружины); х  величина деформации (сжатия или растяжения),

б) ,

где k  жёсткость тела (пружины); φ  величина деформации (кручения).

Если рассматривается не одно тело, а система тел, то механическая энергия системы тел (Е_сист) равна сумме механических энергий тел Е_i, входящих в систему:

.

Закон сохранения механической энергии: В замкнутой консервативной системе тел механическая энергия системы не изменяется, т.е. остаётся постоянной.

где  механическая энергия системы тел в начальном состоянии;  механическая энергия системы тел в конечном состоянии.

Если хотя бы одно из условий (замкнутости или консервативности) нарушено, то механическая энергия системы не сохраняется и следует использовать закон изменения механической энергии:

а)Если система тел незамкнута, но консервативна, то

,

где А_внеш  работа внешних сил, действующих на систему.

б)Если система тел замкнута, но диссипативна, то:

,

где А_неконс=А_тр  работа неконсервативных сил (силы трения).

в)Если система тел незамкнута и диссипативна, то

.

На практике закон сохранения механической энергии может быть применён и к незамкнутым системам, если работа внешних сил, действующих на систему равна нулю (А_внеш= 0).

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки О () – это векторная физическая величина, численно равная векторному произведению радиус-вектора, проведенного из точки О к материальной точке, на импульс :

;

Модуль момента импульса:

L = r·p·sin = m·v·r·sin = p·l,

где  - угол между векторами и , l – плечо вектора относительно точки О – кратчайшее расстояние от линии действия импульса до точки О (рисунок 1).

Направление вектора определяется по правилу буравчика (правого винта): если вращение шляпки винта соответствует повороту от вектора к вектору по наименьшему углу, то прямолинейное движение винта укажет направление вектора.

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси вращения z (L_z) – это скалярная физическая величина, численно равная проекции вектора на эту ось (рисунок 2).

Единица измерения:

.

Очень часто в механике рассматривается вращение абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси вращения (например, оси z).

Момент импульса твердого тела относительно оси вращения z  это скалярная физическая величина, численно равная сумме моментов импульса материальных точек, составляющих тело (рисунок 3):

Так как при вращательном движении все точки тела движутся по окружностям в плоскостях, перпендикулярных оси вращения Oz (центры всех окружностей лежат на оси Oz), то в этом случае для i-той материальной точки можно записать:

,

где _i  расстояние до оси вращения z, а для всего тела:

.

Так как все точки абсолютно твёрдого тела движутся с одинаковой угловой скоростью , то момент импульса твердого тела относительно оси вращенияz можно переписать в виде:

,

где I_z  момент инерции тела относительно оси вращения z.

Момент импульса системы тел относительно оси вращения z равен сумме моментов импульса тел, входящих в систему.

Закон сохранения момента импульса: В замкнутой системе тел момент импульса системы не изменяется, т.е. остаётся постоянным

,

где  момент импульса системы тел в начальном состоянии;

момент импульса системы тел в конечном состоянии.

На практике закон сохранения момента импульса может быть применён и к незамкнутым системам в следующих случаях:

1. Если суммарный момент всех внешних сил, действующих на систему, равен нулю: .

2. Если время взаимодействия тел системы пренебрежимо мало или внешние силы много меньше внутренних.

3. Если система замкнута по одному направлению (вдоль выбранной оси Оz), при этом проекции моментов внешних сил на эту ось равны нулю.