28. Универсальная тригонометрическая подстановка.
. Переход
в подынтегральной функции к переменной
преобразуетR(sinx,cosx) в функцию,
рационально зависящую отt;
методы интегрирования таких функций
рассмотрены в предыдущем разделе.
Выразимsinx,cosx,dxчерезt:
(делим на
)
;
(делим на
)
.
В результате все компоненты подынтегральной
функции выражаются через функции,
рационально зависящие отt.
Пример:
.
Универсальная
тригонометрическая подстановка всегда
рационализирует подынтегральную
функцию, с её помощью легко берутся
интегралы вида
(a,b,c- постоянные);
однако часто она приводит к очень
громоздким рациональным дробям, у
которых, в частности, практически
невозможно найти корни знаменателя.
Поэтому при возможности применяются
частные подстановки, которые тоже
рационализируют подынтегральную функцию
и приводят к менее сложным дробям.
Частные тригонометрические подстановки.
1. Подынтегральная функция нечётна относительно sin x, т.е.R(-sinx,cosx) =
= - R(sinx,cosx). В этом случае применима подстановкаt=cosx.
2. Подынтегральная функция нечётна относительно cosx, т.е.R(sinx, -cosx) =
= - R(sinx,cosx). В этом случае применима подстановкаt=sinx.
3. Подынтегральная функция чётна относительно sinxиcosx, т.е.
R(-sin
x,
-cos x)
= R(sin
x,
cos x).
В этом случае применима подстановкаt=tgx(илиt=ctgx,
причём ответить на вопрос, что лучше,
может только проба). Выражения sinx,cosxиdxчерезtgx:
.
27. Интегрирование тригонометрических ф-й
Интеграл вида
.ЗдесьR– обозначение
некоторой рациональной функции от
переменныхsinxиcosx.
Интегралы этого вида вычисляются с
помощью подстановки t=tg(x/2).
Эта подстановка позволяет преобразовать
тригонометрическую функцию в рациональную.
,
Тогда
Таким образом:
Описанное выше преобразование называетсяуниверсальной тригонометрической
подстановкой.
Пример.
Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.
Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.
Интеграл вида
если
функция R является
нечетной относительно cosx.
Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.
Функция
может
содержатьcosxтолько в
четных степенях, а следовательно, может
быть преобразована в рациональную
функцию относительноsinx.
Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.
Интеграл вида
если
функция R является
нечетной относительно sinx.
По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.
Тогда
Интеграл вида
функция
R четная относительно
sinx и cosx.
Для преобразования функции Rв рациональную используется подстановка
t
= tgx.Тогда
Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов.
В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:
