2. Общее определение производной. Различные обозначения.

Пусть функция y=f(x) определена в промежутке X. Исходя из некоторого значения x=x0 независимой переменной, придадим ему приращениеΔx, не выводящее его из промежутка X, так что и новое значение x0+Δx принадлежит этому промежутку. Тогда значение y0=f(x0) функции заменится новым значением y0+Δy=f(x0+Δx), т.е. получит приращение Δy=Δf(x0)=f(x0+Δx)−f(x0). Предел отношения приращения функции Δy к его приращению независимой переменной Δx, при стремлении Δx к нулю, то есть limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0Δxf(x0+Δx)−f(x0), называется производной функцииy=f(x) пo независимой переменной x, при данном ее значении (или в данной точке) x=x0. Т.о.,производная при данном значении x=x0 - если существует --- есть определенное число; если жепроизводная существует во всем промежутке X, т. е. при каждом значении x в этом промежутке, то она является функцией от x. Скорость есть производная пройденного пути по времени - в этом заключается механический смыслпроизводной.Угловой коэффициентtg(α) касательной есть производная от координаты у по абсциссе x - это геометрическое истолкованиепроизводной.

ОБОЗНАЧЕНИЯ: y’,y’_x,dy/dx;d/dx(f(x)).

Пример.Найти производную функции sin(2x) в точке x0=п/6, используя определение. Решение. Так как мы ищем производную функции в точке, то в ответе должно быть число. Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента и воспользуемся формулами тригонометрии:

Осталось применитьпервый замечательный пределдля получения конечного результата:

3. Зависимость между непрерывностью и дифф. П-ры непрерывных ф-й.

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х₀. Дадим в этой точке аргументу приращение Dх. Функция получит приращение Dу. Найдем .

. Следовательно,у=f(x) непрерывна в точкех₀.Следствие.Еслих₀ – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема. Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.Пример. у=|х| , х₀=0. Dх>0, ; Dх<0, .В точке х₀=0 функция непрерывна, но производной не существует. Если предел отношенияприравен(или +, или -), то эти несобственные числа тоже называют производной, и обозначают обычным образом, например. Аналогично определяются односторонние бесконечные производные. Геометрически это означает, что график функции в соответствующей точке имеет касательную, параллельную оси Оу.

4. Основные правила дифференцирования.

1.Пусть функция u(x) имеет производную в точкех. Тогда в этой точке имеет производную функцияy(x)=(Сu(x)), и (Сu(x))' = Сu'(x). 2. Пусть функцииu(x) иv(x) имеют производные в точкех. Тогда в этой точке имеют производные функцииy = (u(x) v(x)), и (u(x) v(x))' = u'(x) v'(x). 3. Пусть функцииu(x) иv(x) имеют производные в точкех. Тогда в этой точке имеет производную функцияy = (u(x)v(x)), и (u(x)v(x))' = u'(x)v(x))+ u(x)v'(x)). 4. Пусть функцииu(x) иv(x) имеют производные в точкех, причёмv(x)0. Тогда в этой точке имеет производную функция, и.

Таблица производных.

Производная степенной функции.Производная степенной функцииПроизводная экспоненциальной функции.Производная экспоненты.Производная сложной экспоненциальной функции.Производная экспоненциальной функции.Производная логарифмической функции.Производная натурального логарифма.Производная синуса.Производная косинуса.Производная косеканса.Производная секанса.Производная арксинуса.Производная арккосинуса.Производная арксинуса.Производная арккосинуса.Производная тангенса.Производная котангенса.Производная арктангенса.Производная арккотангенса.Производная арктангенса.Производная арккотангенса.