15. Исследование ф-и с помощью первой и второй. Общая схема.

Если функция дифференцируема на промежутке (a,b), за исключением, быть может, конечного числа точек этого промежутка, то можно дополнить изучение поведения функции исследованием наэкстремум (точки максимума и точки минимума функции имеют общее название — точки экстремума), используя следующие утверждения. Для того, чтобы дифференцируемая на (a,b)функция не убывала (не возрастала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы(f’(x)<=0) на (a,b). Пусть в точкеx=x0 производнаяf’(x)=0 или не существует. Если существует окрестность точкиx0, такая, что дляxиз этой окрестностиf’(x)>0 приx<x0 иf’(x)<0 приx>x0 , то функция имеет в точкеx0 максимум. Если жеf’(x)<0 приx<x0 иf’(x)>0 приx>x0, то функция имеет в точкеx0 минимум (в этом случае говорят, что “производная меняет знак при переходе через точкуx=x0”).

Если непрерывная в точкефункциядифференцируема на, при этомнаина, то функция имеет в точкемаксимум; если жеf’(x)<0 приx<x0 иf’(x)>0 приx>x0, то функция имеет в точкеx0минимум.исследование функций с помощью второй производной. Если функция дважды дифференцируема на промежутке (a,b), за исключением, быть может, конечного числа точек этого промежутка, то исследование поведения функции можно дополнить исследованием выпуклости и вогнутости. График функцииf(x) называетсявыпуклым(выпуклым вниз) на промежутке (a,b), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке (x,f(x)),. Если же график функции лежит ниже касательной, — то он называется вогнутым(выпуклым вверх). Если дважды дифференцируемая на промежутке (a,b) функцияf(x) имеет на нем положительную вторую производную, то функция выпуклая на (a,b). Если же вторая производная отрицательна на промежутке (a,b), то функция на нем вогнута. Если вторая производная равна нулю в точкеx=x0, а слева и справа от нее имеет значения разных знаков, точкаx=x0— точка перегиба.

Схема исследования функций и построения графиков.1.Общий характер функции: область определения функции и, если это возможно, область её значений; наличие чётности, периодичности; нахождение, если это возможно, пересечений графика функции с осями координат и областей её знакопостоянства (граничными точками интервалов знакопостоянства могут быть только концы интервалов области определения, точки разрыва, нули функции); область непрерывности функции, её разрывы и их характер; пределы при стремлении к границам области определения (при этом будут получены уравнения горизонтальных и вертикальных асимптот, если они есть); наличие наклонных асимптот. 2.Исследование функции с помощью первой производной на экстремумы и участки монотонности. Граничными точками интервалов монотонности функции могут быть только концы интервалов области её определения, точки разрыва, критические точки первого рода. 3.Исследование функции с помощью второй производной на выпуклость и точки перегиба. Граничными точками интервалов выпуклости графика функции могут быть только концы интервалов области её определения, точки разрыва, критические точки второго рода. После первого этапа исследования полезно построить примерный график, который уточняется в результате второго и третьего этапов.