Вычисление пройденного пути

Если известен график зависимости проекции скорости от времени, то можно найти путь, пройденный точкой за время движения. Выделим на графике (рис. 1.6) бесконечно малый интервал времени , такой, чтобы проекцию скоростина этом интервале можно было считать постоянной.

Рис. 1.6

–мгновенная скорость.

Тогда путь, пройденный точкой за время , равен

.

Путь, пройденный точкой за время движения , равен сумме

,

или путь равен интегралу от скорости по времени

.

Физический смысл интеграла– бесконечно большая сумма бесконечно малых слагаемых.

Геометрический смысл интеграла– площадь под кривой, ограниченная двумя перпендикулярами и осью абсцисс.

1.5. Ускорение

В случае неравномерного движения для описания изменения скорости с течением времени вводят физическую величину – ускорение.

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости по величине и направлению.

Рассмотрим общий случай, когда скорость меняется по величине и направлению.

Пусть материальная точка в положении Аимела скорость(рис. 1.7). Через промежуток времениточка перешла в положениеВ, где ее скорость оказалась равной:

или .

Рис. 1.7

Средним ускорением в интервале от доназывается векторная величина, равная отношению вектора изменения скоростик интервалу времени:

. (1.15)

Мгновенным ускорением называется величина

. (1.16)

Таким образом, ускорение есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Ускорениематериальной точки – это первая производная от вектора скорости по времени или вторая производная от радиус-вектора по времени.

(1.17)

где – проекции вектора ускорения на координатные оси.

(1.18)

1.6. Понятие о кривизне траектории

Если материальная точка движется по криволинейной траектории, то отличие этой траектории от прямолинейной траектории характеризуется радиусом кривизны или кривизной траектории.

Рис. 1.8

Δφ– угол между касательными в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии ΔS. Кривизна траектории (1.19)

Кривизна траектории характеризует скорость поворота касательной при движении или степень искривленности кривой.

Радиус кривизны траектории в данной точке есть величина обратная кривизне:

(1.20)

Радиус кривизны траектории в данной точке – это радиус окружности, которая сливается на бесконечно малом участке в данном месте с кривой (рис. 1.8).

1.7. Нормальное и тангенциальное ускорение при криволинейном движении

Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории. Рассмотрим общий случай, когда скорость движения меняется по величине и направлению.

Пусть материальная точка в положении А имела скорость (рис. 1.9).Через промежуток времениточка перешла в положениеВ, где ее скорость оказалась равной.

П

Рис. 1.9

еренесем векторпараллельно самому себе в точкуА(вектор) и найдемравный.

Так как в общем случае скорость может меняться по величине и направлению, то удобно разложить ускорение на две составляющие. Для этого разложим на две составляющие вектор .

Из точки Апо направлению скорости отложим вектор, по модулю равный вектору. Очевидно, что вектор, равный, характеризует изменение скорости по величине. Векторхарактеризует изменение скорости по направлению

. (1.19)

Полное ускорение

(1.21)

Составляющая ускорение называетсятангенциальным ускорением.Оно характеризует быстроту изменения скорости по величине.Его численное значение равно первой производной по времени от модуля скорости:

. (1.22)

Определим направление вектора . Принаправление векторастремится к направлению векторав точкеА траектории. Значит, векторнаправлен по касательной к траектории (рис. 1.10).

Рис. 1.10

; ; (1.23) ↑↑; ↑↑.

Составляющая ускорения называетсянормальным ускорением.Оно характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Нормальное ускорение направлено по радиусу к центру кривизны траектории.

Найдем выражение для . Восстановим в точкахАиВперпендикуляры к касательным. Они пересекутся в точкеО. ПридугуАВ можно рассматривать как дугу окружности радиусаR. Из подобия треугольниковCAEиAOB

; (1.24)

. (1.25)

Итак, нормальное ускорение

, (1.26)

где R – радиус кривизны траектории.

Радиус кривизныпредставляет собой радиус окружности, которая сливается в данном месте с кривой на бесконечно малом ее участке. Если траектория – окружность, тоR– радиус этой окружности.

Определим направление вектора . При, уголив пределе перпендикулярен, следовательно,. Полное ускорение равно по модулю:

Рис. 1.11

. (1.27)

Пусть и– векторы единичной длины, один направлен вдоль скорости, а другой – перпендикулярно ему (рис. 1.11), при этом

.

Тогда в векторном виде

; ;. (1.28)