- •111Equation Chapter 1 Section 1министерство образования и науки российской федерации
- •«Национальный исследовательский
- •Матанализ 3
- •Аннотация
- •Матанализ 3
- •130102 «Технология геологической разведки»,022000 «Экология и природопользование»
- •Отпечатано в Издательстве тпу в полном соответствиис качеством предоставленного оригинал-макета
- •I. Интегральное исчисление функции одной переменной Неопределенный интеграл
- •Определенный интеграл
- •II. Дифференциальные уравнения
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Полезно помнить таблицу дифференциалов:
- •Непосредственное интегрирование
- •Метод подстановки
- •Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Алгоритм интегрирования рациональной дроби
- •Примеры интегрирования рациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Определенный интеграл
- •Рассмотрим частные случаи
- •Теорема существования определенного интеграла
- •Интеграл расходится, т. К. Предел не существует. Пусть теперь функция непрерывна на интервалеи. Если существует конечный предел, то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают
- •Функция определена на , и то есть мы имеем дело с несобственным интегралом от функции с бесконечным разрывом. Таким образом,
- •Некоторые приложения определенного интеграла
- •1. Вычисление площади плоской фигуры
- •2. Длина дуги кривой
- •3. Объем тела
- •II. Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка
- •1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Умножим обе части уравнения на 2
- •2. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными Уравнения вида
- •3. Однородные уравнения
- •Разделим переменные
- •4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Решение линейного уравнения методом подстановки
- •5. Уравнение Бернулли
- •Преобразованное уравнение (26) является линейным относительно и. Решив его, найдем общий интеграл уравнения (26). Далее, подставив , получим общее решение уравнения Бернулли (24).
- •6. Уравнение в полных дифференциалах
- •Нахождение общего решения уравнения
- •III. Числовые ряды Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое вполне определенное число, то говорят, что задана числовая последовательность.
- •1. Интегральный признак Коши
- •Следовательно, обобщенный гармонический ряд сходится прии расходится при.
- •Решение. Составим ряд из модулей Получим гармонический ряд, который расходится. Проверим условия признака Лейбница:
- •IV. Функциональные ряды
- •V. Степенные ряды
- •1. Теорема Абеля
- •Решение.
- •3. Методы разложения функций в ряд Тейлора
- •Решение. Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
- •Данное разложение имеет место для всех . Варианты заданий для контрольной работы № 6
- •Учебно-методическое обеспечение дисциплины Литература обязательная
Интегрирование тригонометрических функций
Рассмотрим несколько видов интегралов от тригонометрических функций.
где − рациональная функция оти. Это означает, что над аргументами производятся только рациональные операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целые степени (положительные и отрицательные). Интегралы этого вида приводятся к рациональной функции отуниверсальной тригонометрической подстановкой:
, .
Следует заметить, что, применяя эту подстановку можно привести любую подынтегральную функцию к рациональной дроби, но иногда получаются громоздкие дроби, которые трудно проинтегрировать.
Рассмотрим частные случаи, когда можно избежать универсальной подстановки.
.
Где и– целые положительные числа. Еслии– четные, то используется тригонометрические формулы понижения степени,
, .
Пример 15.
Если одно из чисел или– нечетное, илии– нечетные, то отделяем от нечетной степени один множитель и делаем замену(или) –.
Пример 16.
===,
где
Пример 17. .
Применим универсальную тригонометрическую подстановку:
, ,,.
;
Разложим дробь на простейшие
;
Откуда .
Найдем коэффициенты разложения из системы:
.
Проинтегрируем:
.
Если и– дробные либо целые (отрицательные) числа и– целое отрицательное число, тогда рекомендуется подстановка,,
или
,,.
Пример 18. ;
т.к. четное отрицательное число.
Используем подстановку ,,,;
Интегралы вида ,, где>,>0 вычисляются при помощи подстановки,и,.
Пример 19.
=
;
Т.к. дробь – неправильная, то надо выделить целую часть дроби, поделивна.
.
Интегралы вида
где ,– действительные числа.
Напомним известные тригонометрические формулы:
;
;
.
Заменив подынтегральные функции по этим формулам, получим интегралы, которые вычисляются просто.
Пример 20. =
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Определение 3. Функция называется алгебраической иррациональной, если над аргументом производится только четыре арифметических действия и действие возведения в рациональную степень.
Метод интегрирования алгебраических иррациональностей состоит в выборе подстановки, которая привела бы подынтегральную функцию к рациональной.
Наиболее часто встречаются иррациональности вида:
; – несократимые дроби.
Рекомендуется подстановка: , где– наименьшее общее кратное знаменателей дробей, (н.о.к.).
;
Подстановка: , гден.о.к..
.
Подстановка: , гден.о.к. приводит подынтегральную функцию к рациональному виду.
; Подстановка: ,.
; Подстановка: ,.
; Подстановка: ,.
приводится к одному из видов в п. II методом выделения полного квадрата трехчлена, стоящего под корнем квадратным.
Пример 21. ;
Наименьшее общее кратное знаменателей дробей ,равно 10.
Сделаем подстановку,;
Тогда .
–правильная рациональная дробь. Разложим ее на простейшие рациональные дроби, что рекомендуется проделать самостоятельно.
Получим: =
=
, где .
Пример 22. ;
Сделаем подстановку, которая приводит подынтегральную функцию к рациональному виду: ;
Найдем из этого уравнения и:
; ;
.
Тогда .
Проинтегрируем правильную рациональную дробь , разложив ее на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов.
Представим интеграл в виде суммы: (рекомендуется выполнить самостоятельно),
.
Возвращаясь к старой переменной по формуле ,
получим .
Пример 23. ; Это интеграл типа II.
Применим подстановку ;;
;
тогда ;
;
Чтобы вернуться к первоначальной переменной, выразим через;
;
Получим ;
Пример 24. ; Это интеграл типа III.
Алгоритм вычисления интеграла такого типа аналогичен алгоритму интегрирования рациональной дроби типа III:
, а именно:
Выделение полного квадрата трехчлена, стоящего в знаменателе;
Введение новой переменной.
Интеграл от дифференциального бинома:
, может быть вычислен в конечном виде только в следующих случаях:
–целое число, тогда применима подстановка , где– общий знаменатель дробейи. Или разлагают на сумму по формуле бинома Ньютона.
–целое число, подстановка , где– знаменатель дроби.
–целое число, подстановка , где– знаменатель дроби.
Эти подстановки называются подстановками Чебышева, который доказал, что только в этих случаях дифференциальный бином может быть приведен к рациональному виду и вычислен при помощи элементарных функций.
Пример 25. ;
Запишем интеграл в виде ,
где ,,,.
–не целое число; – целое число.
В этом случае применима подстановка: ;
; ;;
;
Проинтегрируем рациональную дробь: , разложив ее на простейшие:.
Найдя коэффициенты разложения, получим: А=, B=, C=.
Подставим их в разложение и проинтегрируем дроби:
=,
где =.