TOEIsaev

Затем задают направления токов, и граф становится направленным (ориентированным). Следующим этапом составляют узловую матрицу, задавшись базовым узлом. Базовый узел – это узел, потенциал которого равен некой постоянной величине, в частности нулю. Пусть, например, четвертый узел будет базовым узлом. Тогда сформируем узловую мат-

рицу A по следующему правилу: если ток ветви подтекает к узлу, то ставим -1, если ток ветви оттекает от узла, то ставим

1, если ветвь не имеет связи с узлом, то

ставим 0. Для схемы, изображённой на Рис. 1.9, узловая топологическая матрица будет следующей:

Рис 1.9.

				Ветви
		1	2	3	4	5	6
1	−1		0	1 1	0	0
2			0 0 −1 −1 1
	A =	0
3			−1 −1 0
Узлы	0				0 −1

Составим теперь матрицу контуров B по следующему правилу: если ветвь не входит в контур, то ставим 0, если ветвь входит в контур, то ставим 1 в случае совпадения направления обхода контура с направлением тока, и ставим -1 в противном случае. Для схемы, изображённой на Рис. 1.9, контурная топологическая матрица будет иметь вид:

				Ветви
		1	2		3	4	5	6
I		1	0	0	1 −1		0
II		0	0	1 −1 0 −1
	B =
III		0	−1	0	0	1
							1
Контуры

Если узловая и контурная матрицы составлены правильно, то их произведения должны равняться нулевой матрице:

11

	0	0	0
B × AT = A × BT = 0		0	0	.
	0	0	0
Важными являются также диагональные			матрицы сопротивлений

diag(R) и проводимостей diag(g) , а также матрицы ЭДС и источников тока.

Диагональная матрица сопротивлений состоит только из диагональных элементов, элементами которой являются величины сопротивлений ветвей. То есть первый диагональный элемент – это результирующее сопротивление первой ветви, второй диагональный элемент – это результирующее сопротивление второй ветви и так далее.

Диагональная матрица проводимостей – матрица обратная диагональной матрице сопротивлений diag(g) = diag(R)−1 .

Топологическая матрица ЭДС – это столбцевая матрица, количество элементов которой равно количеству ветвей схемы без источников тока. Элементы матрицы ЭДС формируется по следующему правилу: если ЭДС в ветви отсутствует, то ставим 0, если направление ЭДС совпадает с направлением тока в ветви, то ставим ЭДС с положительным знаком, в противном случае ставим ЭДС с отрицательным знаком.

Топологическая матрица источников тока является столбцевой матрицей, количество элементов которой равно количеству ветвей схемы без источников тока. Элементы матрицы источников тока формируются также как матрица ЭДС: если источник тока соединён параллельно i − той ветви с током Ii и направление источника тока совпадает с направлением тока Ii , то в этом случае ставим величину источника тока с положительным знаком. Если направление источника тока не совпадает с направлением тока в ветви Ii , то ставим величину источника тока с отрицательным знаком. И, наконец, если источник тока отсутствует, то ставим нуль. Ниже приводится пример формирования топологических матриц для схемы, приведенной на рисунке 1.8.

12

R 0 0				0 0 0
		1
	0	R2 0		0 0 0
	0	0	R	0 0 0
r = diag(R) =			3		,
				R4 0 0
	0	0	0
	0	0	0	0 R 0
				5
	0	0	0	0 0 R6

	1				0	0 0 0 0
		R
		1
		0		1		0 0 0 0
				R1
						1
		0		0					0 0 0
							R2
G = diag(g) = diag(R)	−1 =														,
									1
		0		0		0					0 0
									R3
										1
		0		0		0 0							0
										R4
												1
		0		0		0 0 0
												R5

	E1			0
	−E			J	2
	2
	−E			0
E =	3	,	J =
	0			J4
	0			0
	0			0

13

Лекция № 2

§ 1.4. Метод контурных токов

Прежде чем продолжить рассмотрение матрично– топологического

метода, рассмотрим метод контурных токов. Суть метода заключается в

уменьшении размерности матрицы СЛАУ для определения токов. Рас-

смотрим, например, схему,

приведённую на рисунке 1.10

примера 1.

Выберем произвольное направление

I1

R1

1

R3

токов в ветвях. Будем считать, что в

J1

R4

первом контуре течёт только ток

J2

E1

J1

I3

и

будем

называть его

контурным

I4

E3

током. Аналогично во втором кон-

туре, полагаем, что течёт ток

J

.

И,

4

2

2

I6

3

наконец,

в

третьем

контуре

будем

I5

R5

R

6

считать,

что течёт ток J3. Составля-

J3

ем уравнения для контурных токов

I2

R2

E2

по второму закон Кирхгофа:

Рис. 1.10

J1 ( R1 + R4 + R5 ) - J

2R4 - J3R5 = E1

-J1R4 + J2 ( R4 + R3 + R6 ) - J3R6 = -E3

-J R - J

2

R + J

3

(R + R + R

) = E

1

5

6

5

6

2

2

(19)

При составлении уравнений учтено, что в смежных ветвях проте-

кают два контурных тока, направленных навстречу друг другу. Под-

ставляем числовые значения сопротивлений и ЭДС в СЛАУ и получаем

решения:

R1 + R4 + R5

− R4

− R5

40 − 20 −10

E1

50

A =

− R

R + R + R

− R

=

−20 43

− 8

,

B =

−E

=

−15

,

4

4

3

6

6

−10 − 8

3

− R

− R

R + R + R

30

E

2

30

5

6

5

6

2

	−1			J1			2,329
I = A		×B =		J 2		=		1,121		(20)
									.
				J3
							2,075

Теперь можно найти токи в ветвях, используя их связь с контурными токами:

I1 = J1, I2 = − J3, I3 = J2 , I4 = J1 − J 2 , I5 = J3 − J1, I6 = J3 − J 2 ,

(21)

I T = (2, 329 − 2, 075 1,121 1, 209 − 0, 254 0, 955 ).

14

§ 1.5 Баланс мощностей

При составлении СЛАУ по первому и второму законам Кирхгофа можно допустить ошибку, например, пропустить в нужном месте знак минус, и, как следствие, получить неправильное значение токов. Для проверки числовых значений токов составляют баланс мощностей для источников энергии – ЭДС и источников тока, и для потребителей энергии – сопротивлений. Это закон сохранения энергии – сколько энергии было выделено источниками энергии – столько же должно быть потреблено потребителями. Определим мощность источников и мощность приёмников для нашей схемы.

Мощность источников энергии:

PИ = E1I1 − E3I3 − E2 I2 = 161, 899 Вт.

(22)

Мощность потребителей энергии:

PП = I12R1 + I22R2 + I32R3 + I42 R4 + I52R5 + I62R6 = 161, 899 Вт. (23)

Баланс сошелся, следовательно, все токи найдены правильно.

§ 1.6. Метод контурных токов на основе матрично-топологического подхода

Теперь решим задачу примера 1 матрично-топологическим методом. Топологический метод заключается в формализации всех операций. Для этого нам понадобятся топологическая контурная матрица и диагональная матрица сопротивлений:

			R1 0 0 0 0 0			10 0 0		0 0 0
	1 0	0 1 −1 0		0 R 0 0 0 0			0 12 0	0 0 0
				2
				3			0 0 15 0 0 0
B =	0 0	1 −1 0 −1 ,		0 0 R 0 0 0
			R =			=			(24).
	0 −1			0 0 0 R4 0 0			0 0 0 20 0 0
		0 0 1 1		0 0 0 0 R 0			0 0 0	0 10 0
				5
						0 0 0		0 0 8
				0 0 0 0 0 R6

Матрицу сопротивлений для контуров можно переписать в виде матричного произведения трех топологических матриц:

15

										R				BT
							B			¯				↓
							↓		R1 0 0 0 0 0			1		0	0
										0 R2 0 0 0 0			0	0	−1
R1 + R4 + R5		− R4	− R5			1 0		0 1 − 1 0
										0 0 R3 0 0 0			0	1	0
	− R4	R4 + R3 + R6	− R6		=		0 0	1 − 1 0 − 1		0 0 0 R4 0 0			1	−1 0		.
	− R	− R	R + R + R				0 − 1	0 0 1 1		0 0 0 0 R 0			−1	0 1
	5	6	5 6 2
										5				− 1 1
										6			0
										0 0 0 0 0 R

Матрицу вектора правых частей тоже можно записать в виде произве-
дения топологических матриц							Ε
					B		¯
							E1
					↓
		E1		1 0	0 1 -1 0		-E2
B	T						-E
↓			-E3	= 0 0	1 -1 0 -1		0	.
			E2	0 -1	0 0 1 1		0
							0

И, наконец, контурные токи можно выразить через токи в ветвях, используя топологические матрицы

I1				1		0	0							J1
	I2				0	0	-1			J			- J3
	I3												J2
					0	1	0				1
				=	1	-1 0				J2		=	J1 - J2				.
I4
	I				-1	0 1				J	3		- J		+ J
		5												1		3
						-
I6				0			1 1						- J2 + J3

Следовательно, можно формализовать метод контурных токов, используя топологические матрицы. Последовательность действий такова: записываем произведение матриц:

R1 + R4 + R5

- R4

- R5

40 -20 -10

E1

50

T

- R4

R4 + R3

+ R6

- R6

-20

-8

-E3

, (25)

BRB

=

=

43

, BE =

=

-15

- R5

- R6

R5 + R6

+ R2

-10 -8

-E2

30

-30

находим контурные токи, а затем и токи в ветвях:

J1

2, 329

J = (BRB

T

)

−1

J

(26)

× BE =

2

= 1,121

.

J

3

2, 075

16

	I1				2,329
					−2, 075
	I2
	I				1,121		(27)
I = BT J =		3		=		.
	I4				1, 209
	I				−0, 254
		5
					0,955
	I6

Проверим результат решения, проделав виртуальную лабораторную работу с помощью программы Electronics Workbench. Измерим токи в ветвях, подключив амперметры последовательно с сопротивлениями. Листинг программы Electronics Workbench, представленный на рисунке 1.11, свидетельствует о правильном расчете.

Рис. 1.11. Схема, собранная в Electronics Workbench.

17

§ 1.7. Метод узловых потенциалов

Рис. 1.12

Рассмотрим еще один метод понижения порядка СЛАУ. Прежде всего, обозначим все узлы на схеме. Затем выбираем базовый узел, потенциал которого равен нулю. Пусть это будет узел 4. То есть потенциал узла 4 равен нулю ϕ4 = 0. Для определения потенциалов остальных узлов нужно составить уравнения относительно неизвестных потенциалов узлов.

Прежде всего, запишем систему уравнений относительно токов по первому закону Кирхгофа.

I − I			3	− I	4	= 0 (1уз);
	1
I	4 + I5 − I6 = 0						(2уз);
		+ I3		+ I6 = 0			(3уз).
I2

Теперь запишем токи через неизвестные значения потенциалов и известные значения ЕДС и сопротивлений.

−ϕ1 + E1

−

ϕ1 − ϕ2

−

ϕ1 − ϕ3 − E3

= 0 (1уз);

R1

R4

R3

ϕ1 − ϕ2 +

−ϕ2

−

ϕ2

− ϕ3

= 0 (2 уз);

R4

R5

R6

−ϕ

− E

ϕ − ϕ

3

− E

ϕ

2

− ϕ

3

3

2 +

1

3

+

= 0 (3

уз).

R2

R3

R4

Сгруппируем эти уравнения относительно неизвестных ϕ1, ϕ2 ,ϕ3 и в результате получаем

1

+

1

+

1

ϕ1

−

1

ϕ2 −

1

ϕ3

=

E1

+

E3

;

R4

R1

R3

R4

R3

R1 R3

	1						1					1				1							1
−			ϕ1	+					+					+					ϕ2		−					ϕ3 = 0;
	R4
					R5						R4					R6						R6
	1				1								1				1				1								E2		E3
−		ϕ −					ϕ			+					+					+					ϕ			= −		−		.
					R																R
	R		1					2					R R														3		R R
	3			6									2			6					3							2 3

Сумма проводимостей ветвей, подходящих к узлу, называется собственной проводимостью узла. Например, для узлов 1, 2 и 3 это

будет соответственно:

18

g = g + g								+ g					=				1			+		1							+					1				, g									= g							+ g				+ g				=	1	+		1	+	1		,
						4					3																																22									5					4				6
11	1																R1						R4											R3																													R5			R4 R6
													g33 = g2 + g6 + g3 =																																		1			+				1		+			1
																																															R2												R3
																																																						R6
или в матричном виде:
g ×j = b,
	1	+				1			+		1				-					1																-					1
R1					R4					R3											R4						1														R3														0,217							-0,05			-0,067
				1									1							1																					1																												(29)
где g =		-														+							+													-																	=		-0,05							0,375 -0,125
				R4															R4									R6														R6
												R5																																											-0,067
				1																1											1										1								1													-0,125 -0,275
	-														-																						+									+
			R3																	R6
																																	R2 R6																R3
и b – столбцевая матрица правых частей
																								E1 + E3
																									R										R															6
																											1									3
															b =																0										=									0																			(30)
																																																						.
																											E2									E3
																																																	-3,5
																					-											-
																											R2										R3

Решая систему уравнений (29), получаем потенциалы узлов:

				j				26,71
j = g	−1	×b =		1		=		2,539		(31)
				j2					.
								-5,098
				j3

И, наконец, находим токи во всех ветвях:

	I1				(E1 - j1 ) / R1								2,329
					(-E2 - j3 ) / R2
													-2,075
	I2
	I				(j - j			- E	)	/ R			1,121		(32)
		3		=	1		3		3	3		=		.
	I4				(j1 - j2 ) / R4								1, 209
	I5				- j		/ R					-0, 254
						2
								5
	I6				(j2 - j3 ) / R6								0,955

19

§ 1.8. Метод узловых потенциалов на основе матричнотопологического метода

Решим задачу примера 1 матрично-топологическим методом. Прежде всего, запишем узловую топологическую матрицу учитывая, что базовым узлом является узел 4:

	−1		0	1	1	0	0
A =		0	0	0 − 1		−1	1		(33)
			−1 − 1		0
	0					0 −1

Теперь нам понадобятся диагональная матрица проводимостей, которая равна обратной диагональной матрице сопротивлений и матрица ЭДС.

1				0 0 0 0										0
		R
	1
	0		1				0	0		0				0
																	0,1	0	0	0	0	0			E1				50
				R2
					1												0	0, 083 0		0	0	0			−E				−15
	0		0						0	0				0											3
						R											0	0	0, 067 0		0	0			−E				−30
g = R−1 =																										2
					3											=							,	E =				=		(34)
								1									0	0	0 0, 05 0			0		0				0
	0		0		0							0		0
									R4								0	0	0	0	0,1	0			0				0
										1							0	0	0	0	0	0,125			0				0
	0		0		0			0						0
											R5
														1
	0		0		0			0		0
														R6

Приведём произведение матриц, результатом которого будет матрица проводимостей узлов:

20