FNP
.pdf40 |
Глава 2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных |
Теорема 6.1. Если в проколотой окрестности точки (x0, y0) существует двойной предел функции f(x, y):
lim f(x, y),
x→x0 y→y0
а в проколотой окрестности точки y0 существует внутренний предел
lim f(x, y),
x→x0
(y=y0)
то существует повторный предел, равный двойному, т.е.
lim lim f(x, y)
y→y0 x→x0
= lim f(x, y). |
(6.5) |
x→x0 y→y0
Доказательство. Так как для функции f(x, y) в точке (x0, y0) существует двойной предел
lim f(x, y) = A,
x→x0 y→y0
то для всех ε > 0 существует δ > 0 такое, что при 0 < |x − x0| < δ и 0 < |y − y0| < δ выполняется неравенство |f(x, y) − A| < ε/2. Таким образом, в этой прямоугольной области значения функции f(x, y) отличаются от A не более чем на ε/2. Но тогда существующий внутренний предел
g(y) = lim f(x, y)
x→x0
(y=y0)
отличается от A не более чем на ε, т.е.
|g(y) − A| < ε.
Это и означает, что
y→y0 |
y→y0 |
x→x0 |
f(x, y) |
|
y→→y0 |
lim |
g(y) = lim |
lim |
|
= lim f(x, y), |
|
|
|
|
|
|
x x0 |
что и требовалось доказать. Аналогичное утверждение справедливо и для повторного предела
lim lim f(x, y)
x→x0 y→y0
= lim f(x, y).
x→x0 y→y0
Пример 6.3. Вычислить повторные пределы функций
|
sin xy |
2 2 |
|
x2y2 |
|
z1(x, y) = |
|
|
, z2(x, y) = (x + y |
) |
|
|
|
|
|||
x2 + y2 |
|
в точке x0 = y0 = 0.
6. Повторные пределы |
41 |
Решение. Поскольку для функции z1(x, y)
|
lim |
|
sin xy |
|
|
= lim |
|
|
sin xy |
|
= 0, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(y→=0) |
x |
+ y |
|
|
(x→=0) |
x |
|
|
+ y |
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
0 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
y 0 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
то е¨ повторные пределы равны нулю: |
|
|
|
|
|
x2 |
+ y2 |
|
||||||||||||||
x→0 y→0 |
x2 |
+ y2 |
= y→0 x→0 |
|
|
|||||||||||||||||
lim |
lim |
|
|
sin xy |
|
|
lim |
lim |
|
|
sin xy |
|
= 0. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Для функции z2(x, y) найд¨ем |
(y→=0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(y→=0) |
|
|
x2y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
2 |
) |
= exp |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
) = e |
0 |
||||||||
lim (x |
+ y |
|
|
|
lim x y |
|
ln(x + y |
= 1. |
||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично
lim (x2 + y2)x2y2 = 1.
y→0 (x=0)
Следовательно, повторные пределы равны единице:
x→0 y→0 |
|
|
x2y2 |
|
y→0 x→0 |
|
|
x2y2 |
|
2 |
2 |
) |
|
2 |
2 |
) |
= 1. |
||
lim lim(x |
+ y |
|
|
= lim lim(x |
+ y |
|
Напомним, что в примере 4.4 были вычислены двойные пределы этих функций, совпадающие с найденными повторными пределами в полном соответствии с теоремой 6.1.
Пример 6.4. Найти повторные пределы функций в указанных точках:
1) z1(x, y) = logx(x + y), x0 = 1, y0 = 0; 2) z2(x, y) = sin |
πx |
, x0 |
= ∞, y0 = ∞; |
|
|||
2x + y |
1xy
3)z3(x, y) = xy tg 1 + xy , x0 = 0, y0 = ∞.
Решение. 1. Так как при x > 0, x + y > 0, x = 1
|
|
|
z |
(x, y) = log |
|
(x + y) = |
ln(x + y) |
, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
то из непрерывности логарифмической функции следует |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
lim z1(x, y) = lim |
ln(x + y) |
= |
ln x |
= 1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
y→0 |
|
y→0 |
ln x |
|
|
|
ln x |
|
|
||||||
и, соответственно, |
|
x→1 y→0 |
1( |
|
|
|
) = x→1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x, y |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
lim lim z |
|
lim 1 = 1. |
|
|
||||||||||
При вычислении повторного предела в другом порядке учтем, что |
||||||||||||||||||
x→1−0 |
ln x |
−∞, |
y ]0, +∞[; |
x→1+0 |
|
|
ln x |
+∞, |
y ]0, +∞[ |
|||||||||
lim |
ln(x + y) |
= |
+∞, |
y ] − 1, 0[; |
lim |
|
ln(x + y) |
= |
−∞, |
y ] − 1, 0[; |
||||||||
|
|
42 |
Глава 2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных |
и
Это означает, что
а вместе с ним и
lim |
ln(x + y) |
|
= 1, y = 0. |
|
ln x |
||||
x→1 |
|
lim z1(x, y),
x→1
lim lim z1(x, y)
не существуют.
2. Так как при каждом фиксированном x функция z2(x, y) непрерывна по y, если |y| > 2|x|, а при каждом фиксированном y непрерывна по x, если |x| > |y|/2,
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim sin |
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
y→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|||
|
lim sin |
|
|
= lim sin |
|
|
|
|
|
|
= sin |
= 1. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
2x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
x→∞ |
|
2 + y/x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Это означает, что |
|
|
|
|
|
|
|
2x + y |
|
|
|
|
|
|
y→∞ x→∞ |
|
|
|
2x + y |
|
|
||||||||||||||||
x→∞ y→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
lim lim |
sin |
|
πx |
= 0, |
|
|
lim |
lim sin |
|
|
|
πx |
= 1. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3. Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y→∞ |
1 + xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x=0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то в силу непрерывности тангенса получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
xy |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
= 0 · tg 1 = 0. |
|
|||||||||||||||||||
ylim |
|
|
tg |
|
|
= ylim |
|
|
|
tg ylim |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
xy |
1 + xy |
xy |
|
1 + xy |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(x=0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x=0) |
|
|
|
|
|
|
(x=0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В свою очередь, учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
1 |
tg |
|
xy |
= lim |
tg(xy/(1 + xy)) |
|
|
1 |
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
xy |
1 + xy |
xy/(1 + xy) |
|
|
|
1 + xy |
|
||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
(y=0) |
|
|
|
|
|
|
|
(y=0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
|
lim |
tg(xy/(1 + xy)) |
|
lim |
|
|
1 |
|
= 1 |
· |
1 = 1, |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 + xy |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
xy/(1 + xy) |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
(y=0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(y=0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
для повторных пределов найд¨ем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
|
|||||||||||
x→0 y→∞ xy 1 + xy = 0 |
|
|
|
|
y→∞ x→0 xy 1 + xy |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
lim lim |
1 |
tg |
|
xy |
|
|
|
, |
|
|
lim |
lim |
1 |
|
tg |
|
|
xy |
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определения повторных пределов (6.3), (6.4) для функции двух переменных естественным образом обобщаются на функции большего числа переменных.
Пример 6.5. Для функции
w(x, y, z) = sin xy xz
в точке (x0 = 0, y0 = 2, z0 = 3) найти тройной предел и какой-либо из повторных.
7. Непрерывность функции в точке, по множеству и на множестве |
43 |
Решение. Так как |
sin xy |
|
sin t |
|
|
lim |
= lim |
, t = xy, |
|||
xy |
|
||||
x→0 |
t→0 t |
|
|||
y→2 |
|
|
|
|
то
lim
x→0 y→2
z→3
sin xy = lim xz x→0
y→2 z→3
xy z |
y→→2 |
xy |
y→→2 |
sin xy y |
= lim |
sin xy |
lim |
|
x 0 |
|
x 0 |
|
z→3 |
|
z→3 |
y |
= 1 · |
2 |
= |
2 |
. |
z |
3 |
3 |
Из повторных пределов рассмотрим, например,
Вычисление
lim lim
x→0 y→2
|
|
|
|
lim lim |
lim w(x, y, z) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x→0 y→2 z→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предела в такой последовательности да¨ет |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
z→3 |
xz |
= 3 x→0 y→2 |
x |
|
|
3 x→0 |
x |
|
3 x→0 |
2x |
3 |
|
||||||
lim |
sin xy |
|
1 |
lim lim |
sin xy |
|
= |
1 |
lim |
sin 2x |
= |
2 |
lim |
sin 2x |
= |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.Непрерывность функции в точке.
Непрерывность функции по множеству и на множестве
Пусть функция w = f(x) определена в окрестности точки x0, т.е. O(x0) D(f), а x — произвольная точка из O(x0). Для функции одной переменной существует единственный вариант перемещения из точки x в точку x0: только по оси Ox. Для функции нескольких переменных количество вариантов возрастает. Перемещение из точки x в точку x0 возможно при одновременном изменении всех переменных (как в n-кратном пределе) или их поочередном изменении в определ¨енном порядке (как в повторных пределах). В связи с этим различают и характер изменения самой функции, рассматривая полное и частичные приращения функции.
Полным приращением функции w = f(x) в точке x0 называется выражение w, определяемое разностью
w = f(x) − f(x0) = f(x0 + |
x) − f(x0), |
(7.1) |
где x — произвольная точка из O(x0) D(f), а |
x = x −x0 = (x1 −x01, ..., xn −x0n). |
Частичным приращением функции w = f(x) в точке x0 за сч¨ет приращения
переменной xi называется выражение xi w, определяемое разностью
xi w = f(x) − f(x0) = f(x0 + ix) − f(x0),
где
ix = (0, ..., xi, ..., 0).
Существуют n возможных частных приращений функции:
x1 w = f(x10 + x1, x20, ..., xn0 ) − f(x10, x20, ..., xn0 ), x2 w = f(x10, x20 + x2, ..., xn0 ) − f(x10, x20, ..., xn0 ),
............................................................................, xn w = f(x10, x20, ..., xn0 + xn) − f(x10, x20, ..., xn0 ).
(7.2)
(7.3)
(7.4)
Аналогично случаю одной переменной сформулируем теперь определение функции нескольких переменных, непрерывной в точке.
44 |
Глава 2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных |
Функция w = f(x), определ¨енная в окрестности точки x0, т.е. O(x0) D(f), называется непрерывной в точке x0, если
lim f(x) = f(x0). |
(7.5) |
x→x0 |
|
♦ Определение (7.5) требует выполнения тр¨ех условий: во-первых, функция должна быть определена в точке x0; во-вторых, должен существовать предел
lim f(x)
x→x0
и, в-третьих, этот предел должен быть равен значению функции в точке x0. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, точка x0 называется точкой разрыва функции w = f(x).
Условие (7.5) после тождественного преобразования
lim |
0[ |
f x |
|
f x |
|
|
x x0 |
→ |
( ) − |
( 0)] = 0 |
|
||
− |
|
|
|
|
|
|
можно представить в следующей эквивалентной форме: |
|
|||||
|
|
lim |
w = 0, |
(7.6) |
||
|
|
x→0 |
|
|
|
выражающей тот факт, что для непрерывной в точке x0 функции бесконечно малому приращению аргументов x = x−x0 → 0 соответствует бесконечно малое
полное приращение функции w = f(x0 + x) − f(x0) → 0.
Еще одна эквивалентная форма условия (7.5), полезная в приложениях, имеет
вид
lim f(x) = f |
lim x . |
(7.7) |
x→x0 |
x→x0 |
|
Пример 7.1. Используя определения предела функции w = f(x) в точке x0 по Гейне и по Коши, записать эквивалентное (7.5) определение функции, непрерывной в точке.
Решение. Функция w = f(x) называется непрерывной в точке x0 D(f), если выполняется любое из эквивалентных условий:
1) для произвольной последовательности {xk}k∞=1 значений xk D(f), сходя- |
|||||||||||||||||||
щейся к x0, соответствующая последовательность {f(xk)}k∞=1 сходится при k → ∞ |
|||||||||||||||||||
к f(2)x0для); |
любого ε > 0 существует δ > 0, такое что |f(x) − f(x0)| < ε, так только |
||||||||||||||||||
|x − x0 |
| < δ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) для любого ε > 0 существует δ > 0, такое что образ шара S(x0, δ) лежит в |
|||||||||||||||||||
интервале ]f(x0) − ε, f(x0) + ε[; |
x→0 |
(Δ ) = 0, |
|
= |
|
− |
0 |
, |
|
|
( 0) |
( |
|
). |
|||||
4) |
|
( ) = |
( 0) + |
(Δ ), где |
x |
x |
x |
f |
|||||||||||
|
f x |
|
f x |
α x |
lim α |
x |
|
|
x |
|
|
O x |
D |
|
Если в соотношении (7.5) предел заменить пределом по множеству X, то такая замена приводит к понятию функции, непрерывной в точке x0 по множеству X.
Функция w = f(x), определ¨енная на множестве X D(f) Rn, для кото-
рого x0 |
является предельной точкой, называется непрерывной по множеству X |
|
в точке x0, если |
(7.8) |
|
|
lim f(x) = f(x0). |
|
|
x→x0 |
|
x X
7. Непрерывность функции в точке, по множеству и на множестве |
45 |
♦Если x0 является изолированной точкой множества X, то функция w = f(x)
считается непрерывной в точке x0 по множеству X.
♦Если функция w = f(x) разрывна в точке x0 по некоторому множеству, то точка x0 является точкой разрыва этой функции по этому множеству. Но может существовать другое множество, по которому функция в точке x0 будет непрерывной.
Введ¨ем ещ¨ одну характеристику непрерывной функции.
Функция w = f(x) называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке множества X по этому множеству, т.е. если в каждой предельной точке x0 множества X выполняется условие
lim f(x) = f(x0). |
(7.9) |
x→x0 |
|
x X |
|
Выбрав соответствующее множество X, по которому функция w = f(x) непрерывна в его предельной точке x0, можно выделить функции, непрерывные в точке
x0 |
|
|
, ..., |
|
|
: по направлению = ( |
1 |
n |
), когда X есть луч из точки x0 в направлении ; |
||
|
|
|
|
по прямой L, когда X = L; по кривой L, когда X = L и т.д.
В свою очередь, выбрав прямую L параллельной одной из координатных осей,
например оси Oxi, мы получим функцию, непрерывную в точке x0 |
по одной пе- |
|
ременной xi. В этом случае условие (7.6) для полного приращения функции w |
||
заменяется условием для частного приращения: |
|
|
lim |
xi w = 0. |
(7.10) |
xi→0 |
|
Аналогично, выбрав множество X, на котором функция w = f(x) является непрерывной, получим функции, непрерывные вдоль (или на) прямой, кривой и т.д. При этом следует иметь в виду, что если функция разрывна в точке x0 некоторой кривой, то точка x0 является точкой разрыва этой функции. Однако может найтись другая кривая, проходящая через эту точку, вдоль которой функция будет непрерывной.
Точки разрыва функций нескольких переменных, в отличие от точек разрыва функций одной переменной, могут представлять собой многообразия различной структуры: прямые, плоскости, кривые, поверхности и т.д.
Пример 7.2. Исследовать на непрерывность функции
z1 = |
|
2 2 |
; z2 |
= 3 |
3 |
; z3 = x2 + y2; z4 = |
x2 |
+ y2 |
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
− y2 |
, x2 + y2 > 0, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
||||||||
|
|
x + y |
|
|
|
|
x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 = 0. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
. 1. Рассуждая, как в примерах 4.1, 4.2, |
найд¨ем |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y→→y0 |
|
|
|
|
|
x2 |
+ y2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
x2 + y2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
+ y0 2 2 |
|||||
x x0 |
1 |
|
x x0 |
|
|
x2 + y2 |
|
|
lim |
|
|
x2 |
|
y2 |
|
x0 |
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, x02 + y02 > 0; |
|||||||
y→→y0 |
|
|
y→→y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ , |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
x0 + y0 = 0. |
||||||||
lim z (x, y) = lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
y→y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
46 Глава 2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных
Отсюда следует, что функция z1(x, y) непрерывна при всех x и y, кроме точки x = y = 0, т.е. начала координат, в которой она имеет бесконечный разрыв.
2. Поскольку числитель и знаменатель функции z2(x, y) имеют пределы:
lim (x + y) = x0 + y0, |
lim (x3 + y3) = x03 + y03, |
x→x0 |
x→x0 |
y→y0 |
y→y0 |
то данная функция может иметь разрыв лишь в тех точках, где знаменатель
x3 + y3 обращается в нуль. Решив уравнение x3 + y3 = 0 относительно y, найд¨ем |
||||||||||||||
y = −x. Следовательно, функция z2(x, y) имеет разрыв на прямой y = −x. |
||||||||||||||
Пусть x0 = 0, y0 = 0 и x0 + y0 = 0. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
x + y |
|
= lim |
|
|
|
1 |
|
= |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
3 |
x |
2 |
− |
xy + y |
2 |
2 |
x0y0 |
+ y |
2 |
||||
x→x0 |
x + y |
|
x→x0 |
|
|
|
x |
0 |
|
|||||
y→y0 |
|
|
y→y0 |
|
|
|
|
|
0 − |
|
|
|
Значит, все точки прямой y = −x, за исключением одной: x = 0, y = 0, являются точками устранимого разрыва функции z2(x, y). Из соотношения
lim |
x + y |
lim |
|
|
1 |
= +∞ |
, |
|
|
|
xy + y2 |
||||
x→0 x3 + y3 |
= x→0 x2 |
− |
|
||||
y→0 |
|
y→0 |
|
|
|
получаемого с уч¨етом соотношения
lim(x2 + y2 − xy) = +0; x2 + y2 > xy; (x − y)2 > 0,
x→0 y→0
следует, что точка (0, 0) — точка бесконечного разрыва.
3. Функция z3 = x2+y2 непрерывна на всей плоскости xOy как по совокупности переменных, так и по каждой из них, поскольку
z3 = 2x0 x + 2y0 y + (Δx)2 + (Δy)2
ималым приращениям аргументов соответствует малое приращение функции.
4.Вычислим повторные пределы:
lim lim z |
|
= lim |
x2 |
= 1, |
lim lim z |
|
= |
lim |
y2 |
= |
1. |
|
|
|
|
||||||||
x→0 y→0 |
4 |
x→0 x2 |
|
y→0 x→0 |
4 |
|
− y→0 y2 |
|
− |
Следовательно, предел функции z4(x, y) в точке (0,0) не существует и функция не является непрерывной в этой точке.
Отметим, что из непрерывности функции в точке x0 по совокупности переменных следует е¨ непрерывность по каждой переменной xi и вообще по любому подмножеству X, содержащему точку x0, например прямой, кривой и т.д. Обратное утверждение в общем случае неверно, что и подтверждают следующие примеры.
Пример 7.3. При каких значениях параметра A функция
z1(x, y) = |
x2 |
+ y2 |
, x2 |
+ y2 > 0; |
|
|
|
2xy |
2 |
2 |
|
|
A, |
|
x |
+ y = 0, |
|
|
|
|
|
|
7. Непрерывность функции в точке, по множеству и на множестве |
47 |
|
в точке (0, 0) является непрерывной: |
|
|
1) |
по совокупности переменных x и y; |
|
2) |
|
|
по направлению = (cos α, sin α); |
|
|
3) |
по переменной x; |
|
4) |
по переменной y? |
|
Решение. 1) В этом случае значение параметра A следует искать из равенства
lim |
|
2xy |
|
= A. |
(7.11) |
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
+ y |
2 |
|||
x→0 x |
|
|
|
|
||
y→0 |
|
|
|
|
|
Однако, как показано в примере 4.3, двойной предел в левой части (7.11) не существует. Следовательно, при любом значении параметра A функция z1(x, y) является разрывной в точке (0, 0) по совокупности переменных x и y.
2) В этом случае значение параметра A следует искать из равенства
|
lim |
|
|
2xy |
|
= A, |
(7.12) |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
+ y |
2 |
||||||
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
||
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x,y) L |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где A — луч, выходящий из точки (0, 0) в направлении . Предел (7.12) найден в |
|||||||||
примере 5.3 и равен |
|
2xy |
|
|
|
|
|
||
lim |
|
|
= sin 2α = A. |
(7.13) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
2 |
+ y |
2 |
|||||||
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
||
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x,y) L
Следовательно, при выборе A = sin 2α функция z1(x, y) будет непрерывной по
направлению . Например, при , т.е. для биссектрисы I-ой
= (cos α, sin α) α = π/4
четверти, значение параметра A будет A = sin(2π/4) = 1.
3) Непрерывность функции z1(x, y) по переменной x соответствует непрерывности по прямой, образованной двумя лучами, выходящими из точки (0, 0) под
углами α1 = 0 и α2 = π. Поскольку, согласно (7.13), |
|
|
|||||
lim |
2xy |
|
= sin 0 = |
lim |
2xy |
|
= sin 2π = 0, |
|
|
|
|
||||
2 |
2 |
2 |
2 |
||||
x→0 |
x + y |
|
|
x→0 |
x + y |
|
|
y→0 |
|
|
|
y→0 |
|
|
|
(x,y) L(α1=0) |
|
|
|
(x,y) L(α2=π) |
|
|
|
то при выборе A = 0 функция z1(x, y) будет непрерывной по переменной x. |
|||||||||||
4) Непрерывность функции z1(x, y) по переменной y соответствует непрерыв- |
|||||||||||
ности по прямой, образованной двумя лучами, выходящими из точки (0, 0) под |
|||||||||||
углами α1 = π/2 и α2 = 3π/2. Поскольку, согласно (7.13), |
|
|
|
|
|||||||
y→→0 |
x + y |
|
2 |
|
y→→0 |
x + y |
|
2 |
|||
lim |
2xy |
|
= sin 2 |
π |
= |
lim |
2xy |
|
= sin 2 |
3π |
= 0, |
x 0 |
2 |
2 |
|
|
|
x 0 |
2 |
2 |
|
|
|
(x,y) L(α1=π/2) |
|
|
|
|
|
(x,y) L(α2=3π/2) |
|
|
|
|
|
то при выборе A = 0 функция z1(x, y) будет непрерывной по переменной y. Объединение пунктов 3 и 4 позволяет сделать вывод о том, что при A = 0
функция z1(x, y) непрерывна по каждой переменной x и y в отдельности, являясь при этом разрывной по совокупности переменных x и y.
48 |
Глава 2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных |
|||||||
Пример 7.4. При каких значениях параметра A функция |
||||||||
|
z2(x, y) = |
x2y2 + (x y)2 , x2 |
+ y2 |
> 0; |
||||
|
|
|
|
x2y2 |
|
|
|
|
|
|
A, |
|
− |
x2 |
+ y2 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в точке (0, 0) является непрерывной: 1) по совокупности переменных x и y;
2)по направлению ;
= (cos α, sin α)
3)по переменным x и y в отдельности?
Решение. 1) В этом случае значение параметра A следует искать из равенства
lim |
|
|
|
|
|
|
= A. |
2 |
2 |
+ (x |
− |
y) |
2 |
||
x→0 x y |
|
|
|
||||
y→0 |
|
|
|
|
|
|
Однако, как показано в примере 4.3, двойной предел в левой части этого равенства не существует. Следовательно, при любом значении параметра A функция z2(x, y) является разрывной в точке (0, 0) по совокупности переменных x и y.
2) В этом случае значение параметра A следует искать из равенства
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
x2y2 |
|
|
|
|
|
|
= A, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
+ (x |
− |
y) |
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
(x,y) L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где A — луч, выходящий из точки (0, 0) в направлении . Предел в левой части |
|||||||||||||||||||||
этого уравнения найден в примере 5.3 и равен |
|
|
|
, α2 = |
54 , т.е. y = x; |
|
|||||||||||||||
lim |
2 |
2 |
x2y2 |
|
|
2 |
= 0, |
α1 |
= 4 |
|
(7.14) |
||||||||||
y→0 |
x y |
|
+ (x |
|
y) |
|
|
1, |
α1 = |
π |
, α2 = |
π |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, т.е. y = x. |
|
||||||||||||
→ |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
5π |
|
||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(x,y) L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, при выборе A = 0 функция z2(x, y) будет непрерывной по всем направлениям, кроме двух: α1 = π/4 и α2 = 5π/4, по которым она будет разрывна. Другими словами, функция z2(x, y) будет непрерывна по всем прямым, проходящим через начало координат, за исключением прямой y = x.
Напротив, при выборе A = 1 функция z2(x, y) будет непрерывной по единственной прямой y = x и разрывной по любой другой прямой, проходящей через точку (0, 0).
3) В этом случае значение A легко получить из предыдущего решения. Поскольку оси Ox и Oy являются прямыми, проходящими через начало координат, то выбор A = 0 обеспечивает непрерывность по каждой переменной x и y в отдельности.
Впрочем, этот же ответ можно получить, не используя пример 5.3. Действительно, предел функции z2(x, y) по всем прямым y = kx имеет вид
lim |
|
|
x2y2 |
|
|
|
= lim |
|
k2x4 |
|
= lim |
k2x2 |
|
|
|
, |
|
2 |
2 |
+ (x |
− |
y) |
2 |
2 4 |
|
− |
2 2 |
2 2 |
− |
k) |
2 |
||||
x→0 |
x y |
|
|
x→0 |
k x + (1 |
k) x |
x→0 |
k x + (1 |
|
|
|||||||
y→0 |
|
|
|
|
|
y=kx |
|
|
|
y=kx |
|
|
|
|
(x,y) L
8. Свойства функций, непрерывных в точке и на множестве |
49 |
||||||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
1, k = 1, y = x, |
|
y→0 |
x y + (x y) |
|
|
|
|||
lim |
|
x2y2 |
|
|
= |
0, k = 1, y = x; |
|
2 2 |
|
− |
2 |
|
|||
x 0 |
|
|
|
|
|||
→ |
|
|
|
|
|
|
(x,y) L
что совпадает с (7.14).
Пример 7.5. Показать, что функция
z3(x, y) = |
x4 |
+ y2 , x2 |
+ y2 |
> 0; |
||
|
|
2x2y |
|
|
||
|
A, |
|
x2 |
+ y2 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
в точке (0, 0) при A = 0 непрерывна по любой прямой, проходящей через эту точку; при A = 1 непрерывна по параболе y = x2 и при любых A разрывна по совокупности переменных x и y.
Решение. Справедливость этих утверждений очевидным результатов примеров 5.3 и 5.4. Покажем справедливость обращаясь к этим примерам. Рассмотрим предел функции y = kx и параболе L: y = x2. В первом случае имеем
образом вытекает из этих утверждений, не z3(x, y) по прямым L:
lim |
2x2y |
|
|
= lim |
|
|
2kx3 |
|
|
= lim |
|
2kx |
|
= 0, |
|||
4 |
2 |
|
4 |
2 2 |
2 |
2 |
|||||||||||
x→0 |
x + y |
|
|
|
x→0 |
|
x + k x |
|
|
x→0 |
|
x + k |
|
|
|||
y→0 |
|
|
|
|
y=kx |
|
|
|
|
|
|
y=kx |
|
|
|
|
|
(x,y) L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
во втором |
|
|
|
|
2x2y |
|
|
|
|
|
|
2x4 |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
= |
lim |
|
|
= 1. |
|
|
||||||
|
4 |
2 |
4 4 |
|
|
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
x + y |
|
|
|
x→02 |
|
x + x |
|
|
|
|
||||
|
y→0 |
|
|
|
|
|
y=kx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(x,y) L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, при A = 0 функция z3 |
(x, y) непрерывна по всем прямым |
||||||||||||||||
y = kx, а при A = 1 — по параболе y = x2 |
. Поскольку пределы по этим двум |
линиям в точке (0, 0) различны, то двойной предел функции z3(x, y) в точке (0, 0) |
|||||||||||||||
не существует. Это означает, что функция z3(x, y) в точке (0, 0) разрывна по со- |
|||||||||||||||
вокупности переменных x и y. |
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 7.6. Найти точки разрыва функции |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
17xy |
|
|
|
13 |
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) z = |
|
; |
б) |
z = ln x2 + y2; в) z = |
|
; |
г) z = |
|
. |
|
|||||
x2 − y |
x − y |
R2 − x2 − y2 |
|
||||||||||||
Решение |
. а) |
Функция не определена, если знаменатель дроби равен нулю: x2 |
− |
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y = 0, откуда y = x |
. Следовательно, данная функция имеет линией разрыва |
||||||||||||||
параболу y = x2, т.е. точками разрыва являются все точки параболы. |
|
||||||||||||||
б) x2 + y2 = 0 или x = 0, y = 0. |
|
|
|
|
|||||||||||
x |
y = 0 или y = x, т.е. линией разрыва является прямая. |
|
|
|
|||||||||||
в) 2− |
|
|
2 |
2 |
, т.е. линией разрыва является окружность. |
|
|
|
|||||||
г) x + y |
|
= R |
|
|
|