DIF_calc_2013

190	Глава 4. Дифференциальное исчисление

Пример 13.5. Показать, что функции y = loga x (a > 0, a = 1), y = xr (r R) имеют производные в каждой точке x > 0, прич¨ем

1) y = (loga x) =		1			;	2) y = (xr) = rxr−1.
			x ln a
Решение. 1) y = loga x, тогда y = loga(x + x) − loga x = loga(1 +									x/x). Как
показано в разд. «Непрерывность функции одного аргумента», при									x → 0
	y = loga 1	+		x			x
						=		+ o(Δx)
и, следовательно,				x			x ln a

a	x→0	x = x→0			x	x ln a + (Δ )
y = (log x) =	lim	y		1			x
		lim						o x
и, в частности, (ln x) = 1/x.
2) y = xr, тогда		y = (x + x)r − xr = xr 1 +
и при x → 0 в силу (11.37)
		y = xr r	x		+ o(Δx) = rxr−1
и, следовательно,			x

=	x→0 x ln a		+		(1) = x ln a
	lim	1		o		1	,

x r

− 1

x

x + o(Δx),

y = (xr) = lim	y	= lim	rxr−1	x + o(Δx)	=	lim [rxr−1 + o(1)] = rxr−1.
	x			x
x→0		x→0				x→0

В разд. «Непрерывность и вычисление пределов» было показано, что функции y = loga x и y = xr непрерывны для всех x > 0, в этой же области справедливы и формулы дифференцирования. Отметим, что при r = n, r = 1/(1 + 2n) (n N) формулы дифференцирования остаются справедливыми для всех x R.

Пример 13.6. Показать, что график функции y = f(x), имеющей в точке x0 производную f (x0), в некоторой окрестности этой точки проходит между двумя прямыми, составляющими с касательной в точке x0 произвольно малый угол (рис. 55).

Рис. 55.

или

f(x0) + [f

Решение. Касательная к графику y = f(x) в точке x0 записывается уравнением y = f(x0) + f (x0)(x − x0). Существование производной

	f (x0) = lim	f(x) − f(x0)
		x − x0
	x→0

означает, что при любом ε > 0 найд¨ется δ > 0, для которого при |x − x0| < δ выполняется

−ε(x−x0) f(x)−f(x0)−f (x0)(x−x0) ε(x−x0)

(x0) − ε](x − x0) f(x) f(x0) + [f (x0) + ε](x − x0).

Это и означает, что точки A и B, лежащие на графике функции y = f(x), заключены между прямыми, проходящими через точку x0 и имеющими угловые коэффициенты наклона f (x0) ± ε, произвольно мало отличающиеся от углового коэффициента наклона касательной f (x0).

13. Производная и дифференциал функции одной переменной

191

13.2.Дифференцируемость и приращение функции

Теорема 13.1. Функция y = f(x) имеет в точке x = x0 конечную производную тогда и только тогда, когда в некоторой проколотой окрестности точки x0 эта функция представима в виде

f(x) = f(x0) + f1(x)(x − x0),			(13.7)
где f1(x) — функция, непрерывная в точке x0 и такая, что
f1(x0) = f (x0).			(13.8)
Доказательство. Рассмотрим функцию
f1(x) =	f(x) − f(x0)	,	(13.9)
	x − x0

которая определена в некоторой проколотой окрестности точки x0. Если существует f (x), то существует

lim f1(x0) = f (x0).

x→x0

Доопределим функцию f1(x) по непрерывности в точке x0, положив f1(x0) = f (x0). Тогда функция, определяемая соотношением (13.9) и условием (13.8), непрерывна в точке x0, а из равенства (13.9) следует представление (13.7).

Обратно, из (13.7) следует (13.9), а из непрерывности f1(x) в точке x0 следует, что существует

	lim f1(x) = f1(x0),
x→x0
т.е. существует		f(x) − f(x0)
lim			= f (x0),
x→x0		x − x0
и выполняется равенство (13.8).

Теорема 13.2. Если функция y = f(x) имеет в точке x0 конечную производную f (x0), то приращение функции может быть представлено в виде

y = f (x0)Δx + α(Δx)Δx,						(13.10)
где величина α(Δx) → 0 при x = x − x0 → 0 (т.е. α(Δx) = o(1), x → 0).
Доказательство. Из определения производной
f (x0) = lim			f(x0 + x) − f(x0)		= lim	y
				x		x
x→0					x→0
и теоремы 9.3 можно записать
		y		= f (x0) + α(Δx),
		x
где α(Δx) → 0 при x = x − x0 → 0. Тогда						(13.11)
y = f (x0)Δx + α(Δx)Δx
или					x → 0.	(13.12)
y = f (x0)Δx + o(Δx),

192	Глава 4. Дифференциальное исчисление

Следствие 13.2.1. Если функция y = f(x) имеет в точке x0 конечную производную, то в этой точке функция y = f(x) непрерывна.

Доказательство. Действительно, из (13.12) имеем

lim y = 0,

x→0

т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, что означает непрерывность функции y = f(x) в точке x0.

Можно сказать, что непрерывность является необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции, ибо не всякая непрерывная функция дифференцируема.

Например, функция f(x) = |x| непрерывна при x0 = 0, но производной в этой точке не имеет. Действительно,

пусть x > 0. Тогда
y = f(0 +					x) − f(0) = |	x| − 0 = x
и y/ x = 1, откуда следует		y
lim				= 1.
x→0		x
Пусть теперь x < 0. Тогда
y = f(0 + x) − f(0) = | x| − 0 = −						x
и, значит,		y
lim			=		1.
x→0		x			−

Поскольку результат зависит от способа стремления x к нулю, единственного предела отношения y/ x не существует. Следовательно, функция f(x) = |x| не дифференцируема в точке x = 0.

В подобных случаях по аналогии с понятием односторонних пределов вводится понятие односторонних (левосторонней и правосторонней) производных.

Если функция y = f(x) в точке x0 имеет конечный предел слева f(x0 − 0) и существует предел

	f (x	0 −	0) =	lim		0	f(x0 −	x) − f(x0 − 0)	,
				x	→−			x
	то этот предел называют левосторонней производ-
Рис. 56.	ной функции f(x) в точке x0, и, соответственно, пре-
	дел
f (x0	+ 0) = lim	f(x0 −		x) − f(x0 + 0)				,
	x→+0				x

называют правосторонней производной этой функции в точке x0.

Прямые, проходящие через точку M0(x0, f(x0)), с угловыми коэффициентами f (x0 − 0) и f (x0 + 0) называют, соответственно, левой и правой полукасательными к графику функции y = f(x) в точке M0 (рис. 56).

13. Производная и дифференциал функции одной переменной

193

Из существования производной f (x0) следует существование производных
f (x0 − 0) и f (x0 + 0) и равенство	(13.13)
f (x0 − 0) = f (x0 + 0) = f (x0).

В этом случае левая и правая полукасательные образуют касательную к графику

функции y = f(x) в точке M0.

Обратно, если существуют левосторонняя и правосторонняя производные функции f(x) в точке x0 и выполняется условие f (x0 − 0) = f (x0 + 0), то существует f (x0) и справедливо равенство (13.13). Если же f (x0 −0) = f (x0 +0), то разность f (x0 − 0) − f (x0 + 0) характеризует угол α, на который нужно повернуть правую полукасательную, чтобы она заняла положение левой полукасательной (рис. 56).

Возвращаясь к примеру с функцией y = |x|, можем сказать, что для не¨ в точке x0 существуют левосторонняя и правосторонняя производные:

|x − 0|	x=0	= −1, |x + 0|	x=0 = 1,

соответственно.

Оста¨ется ещ¨ один случай, когда предел

	y = lim	y
		x
	x→0

определяет бесконечную производную.

Пусть функция y = f(x) непрерывна в точке x0 и

y (x ) = lim

y

=

lim

f(x0 +

x) − f(x0)

=

∞

.

(13.14)

0

x

0

x

0

x

→

x

→

Тогда прямую x = x0 называют касательной к графику функции y = f(x) в точке M0(x0, f(x0)). Действительно, эту прямую, как и выше, можно рассматривать как предельное положение при x → 0 секущей, если е¨ уравнение записать в виде

	x − x0 =				x		(y	− y0).
					y
Воспользовавшись тем, что x/		y → 0 при						x → 0 в силу условия (13.14), имеем
x − x0	= 0.
Если							y
	y x	lim						= +	∞	,
					0		x
	(	0) = x	→

то говорят, что функция y = f(x) имеет в этой точке производную, равную +∞,

и пишут y (x0) = f (x0) = +∞. Аналогично, если

	y x	lim	y	=	−∞	,
			x
	( ) =	x→0

то говорят, что функция y = f(x) имеет в этой точке производную, равную −∞,

и пишут y (x0) = f (x0) = −∞.

Как и выше, определяются односторонние производные:

f

x

lim

y

,

f

x

lim

y

,

0

x

= ±∞

x = ±∞

(

0 − 0) =

x

→−

(

0 + 0) =

x

→

+0

прич¨ем если f (x0) = +∞, то f (x0 − 0) = f (x0 + 0) = +∞.

194 Глава 4. Дифференциальное исчисление

В связи с этим рассмотрим ещ¨ один пример. Функция

y = x1/3 =

√x определена и непрерывна при всех x, но е¨

3

производная в точке x = 0 равна

√

√

y (0) =

lim

3

0 + x −

3

0

= lim

1

= +

∞

,

Рис. 57.

x→0

x

x→0 3 3

| x|2

т.е. эта функция в точке x = 0 не имеет производную в собственном смысле, но

имеет бесконечную производную. Для нашего примера y (0) = +∞. Геометри-

√

чески (рис. 57) это означает, что касательная к кривой y = 3 x в точке x = 0 перпендикулярна оси Ox и совпадает с осью Oy.

Пример 13.7. Найти односторонние производные функции y = |x| в точке x0 = 0 (рис. 58).

Решение. Согласно определению, имеем

(0 − 0) =

x→−0

x

x→−0

x→−0

−∞

|

0 +

x

| −

0

| x |

f

lim

y

=

lim

x

=

lim

x

=

;

(0 + 0) =

∞

x→+0

x

x→+0

|

0 +

x | −

0

x→+0

| x |

f

lim

y

=

lim

x

=

lim

x

= +

.

Это означает, что левой полукасательной является луч,

исходящий из начала координат, совпадающий с осью

Oy и направленный в е¨ отрицательном направлении.

Правой полукасательной является луч, выходящий из

начала координат и совпадающий с положительной по-

Рис. 58.

луосью Oy.

Пример 13.8. Показать, что функция

'0,

1

x = 0

y = x sin

x

,

x = 0;

в точке x0 = 0 не имеет даже односторонних производных.

Решение. Поскольку

	lim y = lim x sin	1	= 0 = y(0),
		x
	x→0 x→0

то функция является непрерывной в точке x = 0. Найд¨ем в этой точке е¨ производную:

y (0) = lim	y(0 +	x) − y(0)	=	lim		(0 + x) sin[1/(0 +	x)] − 0	= lim sin	1	.
						x
x→0		x		x→0				x→0	x
Этот предел не существует ни при					x → 0, ни при x → ±0, следовательно, не
существуют даже односторонние производные, что и требовалось показать.

13. Производная и дифференциал функции одной переменной

195

13.3.Дифференциал аргумента и функции. Геометрический и физический смысл дифференциала

Рассмотрим функцию y	= f(x), определ¨енную в δ-окрестности точки x0:
S(x0, δ) D(f). Тогда, как мы уже отмечали, приращению аргумента		x при
условии x0 + x S(x0, δ) D(f) отвечает приращение функции
y =	f(x0) = f(x0 + x) − f(x0).	(13.15)

В связи с этим возникает вопрос: можно ли для приращения y, по аналогии с

формулой (13.10), выделить главную часть, линейную по	x, и бесконечно малую
более высокого порядка o(Δx), т.е. представить его в виде
y = A x + o(Δx),	(13.16)

0

где A = const, а o(Δx) = α(Δx)Δx, α(Δx) → 0 при x → 0 (α(Δx) = o(1)). Для ответа на этот вопрос введ¨ем ещ¨ одну характеристику функции, тесно связанную

спонятием производной.

Функция y = f(x), определ¨енная в δ-окрестности точки x0, приращение которой в точке x0 представимо в виде

y = A x + o(Δx),		(13.17)
где A = A(x0) не зависит от x, а o(Δx) = α(Δx)Δx (α(Δx) = o(1) при		x →
0), называется дифференцируемой в точке x0	, а главная часть приращения A x
называется е¨ дифференциалом в точке x0 и обозначается
dy = df(x0) = A x.		(13.18)
Таким образом, при x → 0
y = dy + o(Δx),		(13.19)
что соответствует их эквивалентности, или асимптотическому равенству
y dy при	x → 0.	(13.20)

Теорема 13.3 (о дифференцируемости функции). Для того чтобы функция y = f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы эта функция имела конечную производную в точке x0. При этом дифференциал и производная связаны равенством

dy = f (x0)Δx.

(13.21)

Доказательство. Необходимость. Если функция дифференцируема в точке x0, то выполняется условие (13.17), поэтому

	y		= A + α(Δx),
	x
где α(Δx) = o(Δx)/ x = o(1) при			x → 0, а следовательно, существует
lim			y	= A = f (x0).
x→0			x

196 Глава 4. Дифференциальное исчисление

Достаточность. Пусть в точке x0 существует конечная производная f (x0).
Тогда в силу теоремы 13.2 справедливо равенство			y = f (x0)Δx + o(Δx), и по-
этому выполняется условие (13.17). Это означает, что функция y = f(x) диффе-
ренцируема в точке x0	, прич¨ем коэффициент A в формулах (13.17) и (13.18) равен
f (x0), и дифференциал можно записать в виде (13.21).
♦ Приращение y, задаваемое формулой (13.15), можно рассматривать только
для таких x, при которых точка x0 +		x принадлежит области определения
функции D(f), в то время как дифференциал
	dy = y	x	(13.22)
определ¨ен для любых	x, т.е. под x в выражении (13.22) подразумевается произ-

вольное приращение независимой переменной, которое удобно считать не зависящим от x. При этом совсем не обязательно предполагать x бесконечно малой, но если x считать бесконечно малой, то и дифференциал dy также будет бесконечно малой, и именно (при y = 0) главной частью бесконечно малого приращения

y, линейной по x.

♦ Асимптотическое равенство (13.20) при малых x можно рассматривать как

приближенное равенство
f(x0 + x) ≈ f(x0) + f (x0)Δx,	(13.23)

которое может быть использовано для приближенного вычисления значений f(x0+ x) при известных f(x0) и x с тем большей точностью, чем меньше x.

♦ Для функции y = x производная y = (x) = 1, а значит, x = dy. Это равенство означает, что приращение аргумента x совпадает с его дифференциалом dx. В силу этого формулу (13.21) для дифференциала можно записать в виде

dy = f (x)dx,			(13.24)
отсюда для производной получаем выражение
f (x) =	dy	.	(13.25)
	dx

Согласно этой формуле, производную можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Вычисление дифференциала функции называется дифференцированием. Перед доказательством теоремы 13.3 мы определили понятие функции, диф-

ференцируемой в точке. Особая важность теоремы 13.3 состоит в том, что она, по сути, устанавливает равносильность дифференцируемости функции в данной точке и существования е¨ конечной производной в этой точке. Поэтому, как мы уже отмечали, функцию, имеющую производную в точке, также принято называть

дифференцируемой в этой точке, а вычисление производной — дифференцирова-

нием.

Таким образом, и для вычисления дифференциала, и для вычисления производной в русском языке существует один термин — дифференцирование, что подчеркивает тесную связь между этими понятиями. Любопытно, что в большинстве европейских языков для обозначения этих операций существуют два различных термина.

Понятие дифференцируемости функции легко обобщается на соответствующие промежутки.

Рис. 59.

13. Производная и дифференциал функции одной переменной

197

Функция, дифференцируемая в каждой точке интервала ]a, b[, называется дифференцируемой на этом интервале. Если функция дифференцируема на интервале ]a, b[ и, кроме того, существуют односторонние конечные производные f (a + 0), f (b − 0), то функция называется дифференцируемой на отрезке [a, b].

Пример 13.9. Найти дифференциалы функций

1) y = x2; 2) y = sin x; 3) y = ln x.

Решение. Согласно (13.24), получим

1)dy = d(x2) = (x2) dx = 2xdx;

2)dy = d(sin x) = (sin x) dx = cos x dx;

3)dy = d(ln x) = (ln x) dx = dxx .

Выясним геометрический смысл дифференциала функции. Пусть дана дифференцируемая функция y = f(x)

(рис. 59). Аналитически мы показали, что y = dy +

o(Δx), т.е. dy = y. Возьмем на кривой точки M(x, y) и M1(x+Δx, y+Δy). Провед¨ем касательную к этой кривой в точке M. Из рис. 59 следует, что |MP | = x, |P M1| =

y = f(x + x) − f(x), tg α = yM . Тогда

dy = yM dx = tg α · |MP | = |P Q| = |P M1| = y.

Итак, геометрически дифференциал функции изображается отрезком P Q, представляющим собой прираще-

ние ординаты касательной MK на интервале от x до x + x и не совпадающим с отрезком P M1, который изображает приращение функции (ординаты самой кривой на ]x, x + x[). Имеем

dy = |P Q| = y + |M1Q|,

т.е. dy отличается от y на длину отрезка M1Q. И, как мы показали выше, при x → 0, разность dy− y = |M1Q| есть бесконечно малая более высокого порядка,

чем x.

Обратимся ещ¨ раз к задаче о неравномерном движении. Пусть S(t) — путь, пройденный материальной точкой за время t от начала движения. Тогда, как мы

установили,		t) − S(t)
S (t) = lim	S(t +		= v(t)
		t
t→0

есть мгновенная скорость точки в момент времени t. По определению дифференциала, dS = v t. Поэтому дифференциал функции S(t) равен расстоянию, которое прошла бы точка за промежуток времени t, если бы она двигалась со скоростью, равной мгновенной скорости точки в момент времени t. В этом заключается физический (механический) смысл дифференциала.

Пример 13.10. Сравнить приращение y функции
y = x2 + 2x	(13.26)
с е¨ дифференциалом dy.

198	Глава 4. Дифференциальное исчисление
Решение. Пусть x = 2, x = 0,01. Наращ¨енное значение функции будет
y + y = (x +	x)2 + 2(x + x) = x2 + 2x x + (Δx)2 + 2x + 2Δx.	(13.27)

Вычтя (13.26) из (13.27), получим приращение функции y = 2x x + (Δx)2 + 2Δx.

Для нашего случая

y = 2 · 2 · 0,01 + 0,012 + 2 · 0,01 = 0,0601.

Найд¨ем теперь дифференциал заданной функции:

dy = (x2 + 2x) dx = (2x + 2)Δx.

В нашем случае dy = (2 · 2 + 2)0,01 = 0,060.

Итак, y = 0,0601, dy = 0,060. Видим, что значения dy и y совпадают до третьего десятичного знака.

Абсолютная ошибка, допущенная при использовании приближенного равенства x ≈ dy, есть

S = y − dy = 0,0001.

Относительная ошибка

δ = 00,,00010601100% ≈ 0,2 %.

♦ Основоположниками современного дифференциального исчисления являются выдающиеся ученые рубежа XVII и XVIII веков И. Ньютон и Г. Лейбниц. Оба они совершенно независимо друг от друга в разных подходах и обозначениях пришли фактически к одним и тем же результатам.

Так, Ньютон, исходя из понятия времени как всеобщего аргумента физических переменных величин, обращался к скорости их изменения. Переменную величину, т.е. то, что мы сейчас называем функцией, он назвал флюентой (от латинского — текущий), а скорость е¨ изменения, т.е. то, что мы сейчас называем производной,

— флюксией (от латинского — истечение). Таким образом, главными понятиями в методе Ньютона являлись флюенты (функции) и флюксии (их производные), которые он обозначал как x, y, . . . и x,˙ y,˙ . . . , соответственно. Для вычисления флюксий вводилось вспомогательное понятие момента, соответствующее современному понятию дифференциала.

Заслуга Лейбница заключается в том, что он обобщил предложенные ранее Декартом, Гюйгенсом, Паскалем и др. методы решения геометрических задач по отысканию касательных, экстремумов, по вычислению квадратур и т.п. Именно Лейбниц ввел понятие дифференциала как бесконечно малой разности двух соседних значений переменной величины. Отсюда современный символ d как первая буква слова di erentia — разность. Кривые рассматривались им как многоугольники с бесконечно большим числом бесконечно малых сторон, касательная — как прямая, продолжающая одну из этих сторон и т.п. На основе дифференциала он ввел понятие дифференциальных частных, т.е. отношения дифференциалов, что соответствует современным производным.

Вокруг вопроса о приоритете создания дифференциального исчисления между Ньютоном и Лейбницем возник длительный спор, подогревавшийся их сторонниками, обращавшими внимание на недостатки и недоработки, содержавшиеся в

14. Правила дифференцирования. Таблица производных

199

каждом из методов. Конец этим спорам был положен только в XIX веке работами Коши, который своей теорией пределов создал фундамент всего математического анализа и впервые отч¨етливо определил производную как предел. После работ Коши стало обычным отправляться от производной, а понятие дифференциала строить на е¨ основе. Тем не менее, от Лейбница нам осталось обозначение дифференциала dy и производной dy/dx, а от Ньютона то, что в физике производную по времени до сих пор обозначают как x˙ (t).

14.Правила дифференцирования. Таблица производных

Вычисление производной непосредственно по определению (13.6), использованное в примере 13.3, как и вычисление пределов, зачастую громоздко и неудобно. Однако операция вычисления пределов существенно упрощается, если воспользоваться таблицей эквивалентностей и правилами предельного перехода. Поэтому представляется естественным разработать аналог таблицы эквивалентностей для производных и обосновать правила дифференцирования функций, которые позволят значительно упростить вычисление производных.

14.1.Правила дифференцирования

Теорема 14.1. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке x, то в этой же точке дифференцируемы функции u + v, uv, u/v (при условии v(x) = 0), прич¨ем

(u(x) + v(x)) = u (x) + v (x),					(14.1)
(u(x)v(x)) = u (x)v(x) + u(x)v (x),					(14.2)
	u(x)	=	u (x)v(x) − v (x)u(x).
					(14.3)
	v(x)		v2(x)

Доказательство. Пусть

u = u(x + x) − u(x), u(x + x) = u(x) + u, v = v(x + x) − v(x), v(x + x) = v(x) + v.

В силу дифференцируемости, а значит, и непрерывности функций u(x), v(x) в точке x при x → 0 имеем

u

v

(14.4)

u → 0,

v → 0,

→ u (x),

→ v (x).

x

x

1. Если y(x) = u(x) + v(x), то

y = u(x + x) + v(x + x) − u(x) − v(x) = u + v,

откуда

Δ[u(x) + v(x)]

u

v

y

=

=

+

.

x

x

x

x

Правая часть этого соотношения при x → 0 имеет предел, равный u (x) + v (x). Поэтому существует предел левой части, который, по определению, равен [u(x) + v(x)] , что и доказывает соотношение (14.1).