ТОЭ УП ч. 1
.pdfСметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г
Линейное напряжение UAC = Uл = Iф XC = 100 B.
Тогда показание W: PW = 100 2 cos 30° =100 3 = 173 Вт.
Из векторной диаграммы видно, что
PW =UAC IB cos30 =Uл Iл cos(90 −ϕ)= =Uл I (cos90 cos ϕ+sin 90 sin ϕ)=
=Uл Iл sin ϕ,
где угол ϕ – угол между фазным напряжением UB и током IB. Для симметричной трехфазной цепи реактивная мощность
Q = 3U л I л sin ϕ, следовательно, чтобы определить реактивную мощность нашей цепи, а она симметричная, нужно показание ваттметра увеличить в 3 раза:
Q = 3 PW =100 3 3 =300 вар.
Пример 6
В заданной трехфазной цепи система линейных напряжений симметрична, Uл = 100 В , причем
R = 3 X L ; X L = X C =10 Ом.
Определить токи в схеме, если:
1) произошел обрыв фазы в точке М;
2) оборвался линейный провод в точке N.
Решение
1. Так как оборвался фазный провод в точке М, то IAB = 0, тогда
I A = −I CA = − |
|
U |
|
CA |
|
|
−100 e j120 |
5,84 e |
− j60 |
A ; |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|||||||
|
|
R |
17,3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
I CA = 5,84 e j120 A ; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
U |
BC |
|
|
100 e− j120 |
|
− j30 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
I B = I BC = |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
=10 e |
|
|
A . |
|
|
− jXC |
|
|
10 e− j |
90 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
По первому закону Кирхгофа определим ток IС: |
|
|
|
|
||||||||||||||
I C = I CA − I BC = 5,84 e j120 −10 e− j30 |
=15,3 e j139,2 A . |
|||||||||||||||||
Таким образом, линейные токи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
I A = 5,84 e− j60 A ; I B =10 e− j30 |
A ; |
I С =15,3 e j139,2 A . |
||||||||||||||||
При расчете приняли U AB =UAB =Uл. |
|
|
|
|
|
|
|
СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г
На основании I закона Кирхгофа IA + IB + IC = 0, подставим полученные значения токов, убедимся в правильности расчета токов:
5,84 e− j60 +10 e− j30 +15,3 e j139,2 = 0 .
Фазные токи
I BC =10 e− j30 A; I CA = 5,84 e+ j120 A.
2. В случае обрыва линейного провода в точке N IC = 0, тогда R и С окажутся соединены последовательно, а с индуктивностью – параллель-
но, напряжение в фазе АВ не изменилось. |
|
|
|||||||||||||||||
|
Определим токи по закону Ома: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
I AB = |
|
U |
AB |
= |
|
100 |
|
= − j10 A ; |
|
|||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
10 e j90 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
jX L |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
I BС = I СA = |
|
|
|
U |
AB |
= |
100 |
|
|
=5 e j30 A ; |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
17,3 − j10 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R − jXC |
|
|
|||||||||||
|
I A = −I B = I AB − I BC = − j10 −5 e j30 |
=14,8 e− j107,1 A ; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
I B =14,8 e j72,9 A . |
|
|
|||||||||||
|
Расчеты проиллюстрированы векторными диаграммами. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Обрыв в точке М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обрыв в точке N |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г
Тема 7 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ
И ЭДС В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
На практике ЭДС, напряжения и токи обычно в большей или меньшей степени отличаются от постоянных или синусоидальных функций. В машинных генераторах переменного тока, вследствие отличия кривой распределения магнитной индукции вдоль зазора от синусоиды, кривые наводимых в обмотках ЭДС отличаются от синусоидальных. В цепях, содержащих элементы с нелинейными сопротивлениями, индуктивностями или емкостями, даже при синусоидальных ЭДС возникают несинусоидальные токи и напряжения.
Несинусоидальными токами и напряжениями называют токи и напряжения, изменяющиеся во времени периодически по несинусоидальному закону.
7.1. Изображение несинусоидальных функций рядами Фурье
Явления, происходящие в линейных цепях при периодических, но несинусоидальных ЭДС, напряжениях и токах, проще всего поддаются исследованию, если кривые ЭДС, напряжений и токов разложить в тригонометрические ряды Фурье.
Любая периодическая функция f(t), удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье двумя формами:
1. f(ωt) = А0 + А1m sin(ωt + ψ1) + А2m sin(2ωt + ψ2) +... =
∞
= A0 + ∑Akm sin(kωt + ψk ) ,
k =1
где k – номер гармоники; А0 – постоянная составляющая или нулевая гармоника; А1m sin(ωt + ψ1) – первая или основная гармоника, Т1 = Т; А2m sin(2ωt + ψ2) и т. д., т. е. при k > 1 – гармоники высшего порядка; ω – основная частота; Т – период несинусоидальной функции.
∞
2. f(ωt) = A0 + ∑(Bkm sin kωt + Ckm cos kωt) .
k =1
СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г
Первая и вторая формы связаны соотношениями
Аkm = Bkm + jCkm = Аkm еjψk;
Akm = Bkm2 +Ckm2 ; ψk = (180 ) + arctg CBkm ,
km
где Аkm – комплексная амплитуда “k” гармоники, причем 180 при расчете ψk учитывается при Bkm<0.
7.2. Понятие о дискретных (линейчатых) спектрах
Совокупность гармонических составляющих несинусоидальной периодической функции называют ее дискретным частотным спек-
тром.
Спектр можно характеризовать зависимостью Аkm (амплитудный спектр) и ψk (фазовый спектр) от частоты kω, причем фаза постоянной составляющей условно принята равной 90° .
Пример
f(t) = 100 + 200sinωt + 100cos2ωt;
F0 = 100; F1m = 200; F2m = 100; ψ1 = 0; ψ2 = 90°.
Линейчатые спектры
амплитудно-частотный
фазо-частотный
7.3. Частные случаи разложения в ряд Фурье
Значительное число несинусоидальных функций, с которыми при-
СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г
ходится встречаться в электротехнике, обладают различными видами симметрии, поэтому их ряд Фурье не содержит тех или иных составляющих.
Вид |
|
|
График f( |
ω |
|
|
Ряд Фурье |
||
симметрии |
|
|
|
t) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(ωt) = А1m sin(ωt +ψ1) + |
f(ωt)=f(ωt+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ А3m sin(3ωt + ψ3) + |
|
π) |
|
|
|
|
|
|
|
+ А5m sin(5ωt + ψ5) +... |
|
относительно |
|
|
|
|
|
|
|
|
не содержит постоянной |
|
|
|
|
|
|
|
составляющей и четных |
||
оси абсцисс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гармоник |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(ωt) = А0 + А1m cosωt + |
f(ωt) = f(– |
|
|
|
|
|
|
|
+ А2m cos2ωt + |
|
ωt) |
|
|
|
|
|
|
|
+ А3m cos3ωt +... |
|
относительно |
|
|
|
|
|
|
|
|
не содержит синусных со- |
|
|
|
|
|
|
|
ставляющих |
||
оси ординат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(ωt) = А1m sinωt + |
f(ωt) = f(– |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ А2m sin2ωt + |
|
|
|
|
|
|
||||
ωt) |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ А3m sin3ωt +... |
относительно |
|
|
|
|
|
|
|
|
не содержит косинусных |
|
|
|
|
|
|
|
|
составляющих и постоян- |
|
начала коор- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной составляющей |
|
динат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В приложении приведены примеры разложения периодических функций (напряжений) в ряд Фурье.
7.4.Методы разложения периодических функций в ряд Фурье
7.4.1.Аналитический метод
Если несинусоидальная функция f (ωt) описана аналитически, то коэффициенты ряда Фурье определяются как
A0 = 21π −π∫πf (ωt)dωt;
Bkm = 1 π∫ f (ωt)sin kωt dωt;
π −π
|
|
|
СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. |
|
|
|
«Теоретическиеосновыэлектротехники» |
|
|
|
часть1, 2009г |
Ckm |
= |
1 |
π∫ f (ωt)cos kωt dωt. |
|
|||
|
|
π −π |
7.4.2. Приближенные методы разложения
Они основаны на приближенной замене интеграла конечной суммой.
Метод Перри
Период разбивается на четное число частей “n”, через точки деления проводятся ординаты ym, и кривая заменяется ломаной, что позволяет заменить интеграл суммой. Тогда коэффициенты определяются как
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
A |
= |
|
|
|
∑ y |
m |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
n m=1 |
|
2πmk |
|
|
||||
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|||
Bkm = |
|
|
|
∑ ym sin |
|
; |
||||
|
|
|
n |
|||||||
|
|
|
n m=1 |
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
n |
|
|
2πmk |
|
|
||
Ckm = |
|
|
|
∑ ym cos |
|
|
. |
|||
|
|
|
n |
|
||||||
|
|
|
n m=1 |
|
|
|
|
По этому методу можно составить ряд не более чем из n/2 гармоник. Существующее программное обеспечение ЭВМ позволяет быстро
произвести гармонический анализ любого периодического сигнала. Кроме того, разложение в ряд Фурье некоторых простейших, но наиболее часто встречающихся в электротехнике кривых приведены
в[1, Прил. 3].
7.5.Максимальные, средние и действующие значения несинусоидальных функций
Fm – это максимальное, т. е. наибольшее по модулю значение функции за период. Fср – это среднее значение функции за период, которое равно F0 – постоянной составляющей:
Fср = F0 = 1 T∫ f (t)dt. T 0
Если кривая симметрична относительно оси абсцисс, то среднее по модулю значение равно среднему значению за половину периода:
F М = 2 T∫2f (ωt)dt.
ср T 0
F – действующее значение – это среднеквадратическое значение функции за период:
СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г
|
|
1 |
T |
[f (t)]2 dt = |
|
∞ |
|
|
1 |
∞ |
|
F = |
∫ |
F02 |
+ ∑Fk2 = |
F02 |
+ |
∑Fkm2 . |
|||||
T |
|
||||||||||
|
0 |
|
|
k=1 |
|
|
2 k=1 |
Действующее значение несинусоидальной функции равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений всех гармоник.
Мгновенные значения |
Действующее значения |
||||||
∞ |
|
I02 + I12 + I22 +… = |
|||||
i = I0 + ∑Ikm sin(kωt + ψki ); |
I = |
||||||
k=1 |
|
|
|
I12m |
+ I22m |
+… |
|
|
= |
2 |
+ |
; |
|||
u = U0 + ∑ Ukm sin(kωt + ψku) |
I0 |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U = U02 +U12 +U 22 +… = |
||||||
|
|
2 |
+ |
U12m +U 22m +… |
|||
|
= U0 |
|
2 |
|
|
||
Аналогично можно записать и для ЭДС. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.6. Коэффициенты, характеризующие форму несинусоидальных функций
При оценке несинусоидальных периодических кривых в электроэнергетике, где кривые преимущественно симметричны относительно оси абсцисс и не содержат постоянных составляющих, пользуются коэффициентом формы кривой kФ, коэффициентом амплитуды kа, коэффициентом искажения kи, коэффициентом гармоник kГ.
Коэффициент |
|
Определение |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формы kф = |
|
F |
|
|
|
|
отношение действующего значения к среднему по модулю |
||
F M |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ср |
|
|
|
|
|
|
амплитуды ka |
= |
|
Fm |
|
отношение максимального значения к действующему |
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
искажения kи |
= |
|
F1 |
|
|
отношение действующего значения первой гармоники |
|||
|
|
|
к действующему значению функции |
||||||
|
F |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
гармоник |
|
|
|
|
|
|
|
|
отношение действующего значения высших гармоник |
F 2 |
+ F 2 |
+... |
|
|
к действующему значению первой гармоники |
||||
kГ = 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
|
|
|
|
Между коэффициентами искажения и гармоник при отсутствии постоянной составляющей существует следующая взаимосвязь:
СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г
kГ = |
1 1 − kи2 . |
|
kи |
Сравнительная таблица коэффициентов для постоянного и синусоидального тока
Коэффициент |
Постоянный ток |
Синусоидальный ток |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kф |
1 |
|
Fm |
|
2Fm |
=1,11 |
||
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
π |
||||
kа |
1 |
F |
|
Fm |
= 2 =1,41 |
|||
|
|
|
||||||
|
|
m |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
kи |
0 |
|
|
F1 / F = 1 |
||||
kГ |
∞ |
|
|
|
0 |
|
7.7. Мощность в цепях с несинусоидальными источниками
Мгновенная |
p = ui = [U0 + ∑ Ukm sin(kωt + ψku)] [I0 + ∑ Ikm sin(kωt + ψki)]; |
|||||||||||||
мощность p |
P0 = U0I0; |
|
|
pk = ukik; |
|
|
|
|
||||||
|
p ≠ P0 + ∑ pk; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
для мгновенной мощности принцип наложения не применим |
|||||||||||||
Активная |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
мощность Р |
P = |
∫ui dt =U0 I |
0 + ∑Uk Ik cosϕk = ∑Pk ; |
|||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
P = ∑Pk ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
принцип наложения применим |
|
|
|||||||||||
Реактивная |
|
∞ |
I |
|
sin ϕ |
|
|
∞ |
|
|
|
|||
Q = ∑U |
|
|
= ∑Q |
|
|
|||||||||
мощность Q |
|
k =1 k |
|
k |
|
|
k |
|
k =1 |
k |
|
|
||
Полная |
S =UI = |
|
U 2 |
+U 2 |
+U 2 |
× I 2 |
+ I 2 |
+ I 2 ; |
||||||
мощность S |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
2 |
0 |
1 |
2 |
|
|
в общем случае S2 ≠ P2 + Q2 |
|
|
|||||||||||
Мощность |
T = |
S 2 −(P2 +Q2 ); |
|
|
|
|||||||||
искажения T |
T – характеризует степень различия в форме кривых напря- |
|||||||||||||
|
||||||||||||||
|
жения и тока |
|
|
|
|
|
|
|
7.8.Особенности измерения несинусоидальных величин
Вцепи с несинусоидальными источниками показания приборов, включенных в цепь, зависят от типа прибора.
СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г
Тип |
Условное |
|
|
Показание |
|||||||||
прибора |
обозначение |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
электромагнитный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действующее значение |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
электро- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
динамический |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
несинусоидальной функции U, I |
|||
тепловой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
магнито- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Постоянная составляющая U0; I0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
электрический |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
магнито- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее по модулю значение |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
электрический |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I M = I m |
; U M = Um |
||
с выпрямителем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ср |
2 1,1 |
ср |
2 1,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
осциллограф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мгновенные значения u(t), i(t) |
7.9. Расчет линейной цепи с несинусоидальными источниками тока и ЭДС
Известно:
u(t)= 36 +72 2 sin ωt + 60 2 sin(3ωt +90 )B ;
ω = 333,3 с–1; R = 30 Ом; L = 0,03 Гн; С = 66,67 мкФ
_____________________________________
Рассчитать:
1.Мгновенные значения токов.
2.Действующие значения токов.
3.Активную мощность цепи (P).
4.Показания приборов:
|
|
а) электромагнитной системы; |
|
|
|
б) магнитоэлектрической. |
|
|
|
|
|
|
Порядок расчета |
Расчет цепи |
|
|
|
|
|
|
1. |
1. |
|
|
Представить заданные u(t) |
u(t) = 36 + 72 ,2 sinωt + 60 ,2 sin(3ωt + 90°) В; |
|
|
или J(t) в ряд Фурье (ограни- |
Так как цепь линейная, то к расчету можно приме- |
|
|
чиваясь “n” числом гармоник) |
нять метод наложения, т. е. рассчитать цепь отдель- |
|
|
|
но для каждой гармоники; n = 3 |
|
|
2. |
2. |
IR0 = IC0 = IL0 = 0; |
|
Начертить схему замещения |
|
|
|
для расчета постоянной со- |
|
UC0 = U0 = 36; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«Теоретическиеосновыэлектротехники» |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
часть1, 2009г |
|||||
ставляющей с учетом того, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Uab0 = 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
что ω = 0, XL0 = ωL = 0 (зако- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ротка); |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
XC0 = ωС |
= ∞ (разрыв) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Начертить комплексную схе- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
му замещения для расчета |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
гармонических составляющих |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
и составить расчетные ком- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
плексные уравнения любым |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
методом. Рассчитать сопро- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
тивления (индуктивные и ем- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
костные) для “k” гармоники: |
|
Рассчитаем IСk по закону Ома: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
XL |
k |
= kωL = kXL |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
RjX L |
|
|
|
U |
|
|
U |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
k |
|
km |
|
jψ |
k |
|||||||
|
XC |
|
= |
|
|
= |
|
|
Zk = –jXCk + |
|
k |
; IСk = |
|
; Uk = |
|
|
|
|
|||||||||||
|
k |
kωC |
|
|
1 |
|
R + jX L |
Z k |
|
2 |
е . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем Uab по второму закону Кирхгофа: |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uabk = Uk–ICk (–jXCk). |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем токи в ветвях по закону Ома: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IR = U ab |
; IL |
k |
= U ab |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
R |
|
|
jX L |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(IRk, ILk можно найти по правилу токов параллель- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ных ветвей) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Результаты расчетов представим в виде таблицы |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
XL |
, |
|
|
XC , |
|
Zk, |
|
|
ϕk, |
|
Uk, |
IС , |
|
Uab , |
|
|
|
|
IR , |
|
|
IL |
|
, |
|
|||
k |
k |
|
|
|
|
k |
|
Ом |
|
|
град |
|
В |
k |
|
k |
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
||
Ом |
|
|
Ом |
|
|
|
|
А |
|
В |
|
|
|
|
|
А |
|
|
А |
|
|
||||||||
1 |
10 |
|
|
|
45 |
|
36 |
|
|
–85,2 |
|
72 |
2 еj85,2° |
18,45 еj156,8° |
|
0,615 еj156,8° |
|
1,9 еj66,8° |
|||||||||||
3 |
30 |
|
|
|
15 |
|
15 |
|
|
0 |
60 еj90° |
4 еj90° |
84,9 еj135° |
|
|
2,83 еj135° |
|
2,8 еj45° |
|||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для контроля правильности |
|
1) k = 0: |
Pв0 = U0I0 = IR0,2 R = 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
расчета составить баланс мощ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ности для каждой гармоники, |
2) k = 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
справедливы также векторные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
диаграммы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pu1 = U1IС1 cosϕ1 = 72 2cos(–85,2°) = 11,3 Вт; |
|
||||||||||||||||||
Puk = Pпk, |
|
|
|
|
Pп |
= (IR1)2R = 0,6152 30 = 11,35 Вт. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) k = 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Uk Ik cosϕk = ∑Ik2 R |
|
Pu3 = 60 4cos(0°) = 240 Вт; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pп |
= 2,832 30 = 240,2 Вт |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|