mu
.pdfВариант № 9
1. Найдите пределы, не пользуясь правилом Лопиталя: |
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1.1. lim |
6x |
2 −7x −16 |
; |
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1.5. lim |
7x2 +6x −16 |
; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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5x2 + 2x − |
2 |
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5x2 + x −6 |
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x→1 |
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x→∞ |
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sin2 4x |
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5 |
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1.2. lim |
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; |
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1.6. lim |
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4 +3x x |
; |
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x |
2 |
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x→−π/ 2 |
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x→∞ |
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2 −3x |
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1.3. lim |
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6x −16 |
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; |
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1.7. lim |
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x3 −125 |
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; |
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x2 |
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+ x −6 |
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x2 + x −30 |
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x→2 |
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x→5 |
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8x7 −16x6 +5 |
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x3 |
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|
x2 |
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||||||||||||||||||||||||||
1.4. lim |
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8 |
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|
2 |
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|
; |
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1.8. lim |
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− |
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. |
||||||
|
6x |
+3x |
|
−5 |
|
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|
2x |
2 |
−1 |
|
2x +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
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x→∞ |
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2. Исследуйте функцию на непрерывность, постройте её график: |
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x, |
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если x ≤ 0, |
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−1 |
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|||||||||||||||||||
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|
2 |
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|||||||
2.1. f (x) = |
x |
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|
, |
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|
если |
0 < x ≤ 2, |
2.2. y = |
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|
. |
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|||||||||||||||
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3x + x2 |
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|||||||||||||||||||||||||||
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|
если x > 2. |
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|||||||||||||
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4 − x, |
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||||||||||||||||||||
3. Найдите производную функции: |
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||||||||||||||||||||||||||
3.1. y = |
|
x5 |
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− |
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|
3 |
|
|
|
+ |
x |
2 |
|
|
+ e |
2sin 3 |
; |
3.4. y = tg x 6 |
−x |
; |
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||
10 |
|
3 |
|
x |
|
2 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||
3.2. y = |
|
e−3x |
|
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|
|
; |
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|
3.5. y = arctg4 |
x |
|
; |
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|||||||||||||||||
1 +ex 2 |
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|
4 |
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||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||
3.3. y = 3x −6 |
−ln 4x ; |
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3.6. y = log5 |
2 (x2 + 7x) . |
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2 |
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4. Найдите пределы, пользуясь правилом Лопиталя: |
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||||||||||||||||||||||||||||||
4.1. lim |
|
x3 |
|
+5x2 +8x + 4 |
; |
|
4.3. lim |
|
1 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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||||||||
|
|
|
x |
3 |
+3x |
2 |
− 4 |
|
|
|
+1 |
|
|
x |
2 |
|
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||
x→−2 |
|
|
|
|
|
x→−1 |
x |
|
|
|
|
|
|
− 2x −3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.2. lim |
|
sin 7x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
4.4. lim |
|
|
4x2 +13 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x2 |
|
+ πx |
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
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|
x→∞ x3 −8x2 + |
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5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке:
5.1. y = x5 − 5 x3 |
+ 2 , [−2;0] ; |
5.2. y = |
x −5 |
, [−3; 7]. |
|
||||
3 |
|
|
x2 +11 |
|
6. Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции: |
||||
6.1. y = 2x2 − x4 ; |
|
6.2. y = (x −5) ex . |
21
Вариант № 10
1. Найдите пределы, не пользуясь правилом Лопиталя: |
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1.1. lim |
|
|
x2 +5x + 6 |
; |
|
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|
|
1.5. lim |
x10 − x7 +1 |
|
; |
|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||
x→−1 x2 −8x −12 |
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
4x5 − x10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||
1.2. lim |
sin2 3x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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1.6. lim |
5 −6x |
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
7x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x→−π/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1.3. lim |
|
|
2 + x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7. lim |
|
x2 +5x −6 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x2 |
+ x −6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −8x |
+12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1.4. lim |
|
|
x3 −7x2 +3 |
; |
|
|
|
|
1.8. lim |
|
|
1 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
10x |
4 |
−6x |
− |
12 |
|
|
|
|
|
2 |
|
− 4 |
|
x |
2 |
−3x + 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
x |
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||
2. Исследуйте функцию на непрерывность, постройте её график: |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0, |
если |
|
|
x ≤1, |
|
|
|
|
−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2.1. f (x) = |
|
|
x, |
|
|
если |
1 < x ≤ 4, |
2.2. y = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
|
|
x > 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. Найдите производную функции: |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3.1. y = |
|
|
3 |
|
− 2 |
|
x − |
|
|
4 x |
|
−log |
|
e ; |
3.4. |
|
y =sin x e−0,5 tg2 x ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x3 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.2. y = |
|
|
cos 4x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.5. y = 5 arcsin(x + 6) ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 −cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.3. y = |
|
3x |
|
− tg |
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.6. y = ln4 (x2 − 2x) . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Найдите пределы, пользуясь правилом Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
4.1. lim |
|
x3 |
|
−3x − 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
4.3. lim |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
− |
|
x |
|
|
; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x + x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||
x→−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
ln(3 − x) |
|
|
− 2 |
|
||||||||||||||||||||||
4.2. lim |
1 −cos10x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.4. lim |
|
|
|
x3 − 2x |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
ex |
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ x2 −8x3 + |
|
|
|
|
|
|
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке:
5.1. y = x3 −12x + 7 , [−3; 0] ; , [−1; 2].
6. Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции:
6.1. y = 4x − x3 ; 3
22
Вариант № 11
1. Найдите пределы, не пользуясь правилом Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1.1. lim |
|
|
9x2 −5x |
|
|
; |
|
|
|
1.5. lim |
3 − 2x + 4x2 |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3x −1 |
|
|
|
|
|
|
5x3 + 2x2 +1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos2 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1.2. lim |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
1.6. lim |
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
8x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x→π/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1.3. lim |
|
|
8x2 −5x |
|
|
|
; |
|
1.7. lim |
|
|
|
|
x3 +8 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2x2 + 2x − |
4 |
|
|
x2 |
+ x − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x→−2 |
|
|
|
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1.4. lim |
2x2 −5x + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
1.8. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
3x |
+3x − |
4 |
|
|
|
|
2 |
−9 |
|
x |
2 |
−2x |
− |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
x→3 x |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Исследуйте функцию на непрерывность, постройте её график: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
x, |
|
|
|
|
если |
x ≤ 4, |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.1. f (x) = |
x, |
|
|
|
если 4 |
< x ≤ 6, |
2.2. y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3x + x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
x > 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
7 − x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. Найдите производную функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3.1. y = 4 4 |
x5 |
+ |
|
|
|
3 |
|
|
− 4x3 −e3 ; |
3.4. y = x2 |
|
|
1 − 4x2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ln 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3.2. y = |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
3.5. y = 4arcsin 2 x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.3. y =3x2 |
|
− 4sin 5x ; |
|
3.6. y = ln2 (1 +3sin 2x) . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Найдите пределы, пользуясь правилом Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4.1. lim |
|
x3 |
+3x2 − 4x −12 |
; |
4.3. lim |
|
x |
|
|
|
− |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x |
3 |
|
3x |
2 |
+ 4 |
|
|
|
|
2 |
|
ln(x −1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x→2 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
x→2 |
x |
− |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
; |
e−5 x −1 +5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4.2. lim |
; |
|
4.4. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x3 +3x +10 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке:
5.1. |
y = |
4x −1 |
|
, [−1;3]; |
5.2. y = x3 −12x + 7 , [0;3]. |
|
x2 +3 |
||||||
|
|
|
|
|||
6. Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции: |
||||||
6.1. |
y = x2 − 1 |
; |
6.2. y = (x + 4) e2 x . |
|||
|
|
x |
|
|
23
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Найдите пределы, не пользуясь правилом Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1.1. lim |
|
7x2 −2x +3 |
; |
|
|
|
|
|
|
1.5. lim |
4 −6x +3x3 |
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
−3x − |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
6x2 + 4x −3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1.2. lim |
|
cos2 4x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6. lim |
|
2 + x 2 x |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x→π/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
4 +9x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1.3. lim |
|
|
|
|
4x −20 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
1.7. lim |
|
x2 − x −12 |
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2x2 −4x −16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 + 27 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x→4 |
|
|
|
|
|
|
|
x→−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1.4. lim |
|
2x −5x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.8. lim |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
2 |
−8x + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−64 |
|
x |
2 |
−16 |
|||||||||||||||||||||
x→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2. Исследуйте функцию на непрерывность, постройте её график: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x −3, |
|
|
если |
x ≤ 0, |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.1. f (x) = |
x |
+1, |
|
|
если |
0 < x ≤ 4, |
2.2. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x2 |
+ |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
|
x > 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. Найдите производную функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3.1. y = |
|
1 |
|
−3 |
x − ln x |
+log |
3 |
5; |
|
3.4. y =sin2 x |
|
|
|
x ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.2. y = |
|
|
|
e4 x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.5. y = 4 arc tg |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 + |
2e−4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3.3. y = |
|
3x |
|
+ e−cos 5 x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.6. y = arcsin( 1−3x) . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Найдите пределы, пользуясь правилом Лопиталя:
4.1. lim |
3 − x −6x2 |
− 2x3 |
; |
||
x3 − 2x2 |
−9 |
||||
x→3 |
|
||||
4.2. lim |
x −sin 6x |
; |
|
|
|
|
|
|
|||
x→0 |
x + tg 3x |
|
|
4.3. lim |
|
|
|
8 |
|
− |
|
x |
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
− |
4 |
|
|
|
|||||
x→2 |
x |
|
|
|
x −2 |
|
||||||
4.4. lim |
x4 |
|
+3x2 + x −1 |
. |
|
|||||||
|
|
x3 +5x |
+6 |
|
|
|||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке:
5.1. y =3x4 −16x3 |
+ 2 |
, [−3;1]; |
5.2. y = |
4x −1 |
, [−1; 4]. |
|
|||||
|
|
|
|
x2 +3 |
|
6. Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции: |
|||||
6.1. y =12x2 −8x3 |
−2 |
; |
6.2. y = (x −2) e3−x . |
24
Вариант № 13
1. Найдите пределы, не пользуясь правилом Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1.1. lim |
x2 −2x +1 |
; |
|
|
|
|
|
1.5. lim |
3 −6x + 4x3 |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x2 +3x |
−9 |
|
|
|
|
|
1− x3 −4x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1.2. lim cos |
2 |
9x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6. lim |
(3 + 2x)− |
2 x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x→π |
9x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x3 + 2x2 −3x |
|
|
|||||||||||||||||||
1.3. lim |
|
|
|
x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
1.7. lim |
|
; |
|
|||||||||||||||||||||
|
x2 −2x |
−15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x − |
9 |
|
|||||||||||||||||||||||||
x→5 |
|
|
|
|
|
|
x→−3 2x2 + |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1.4. lim |
|
x2 −7x +1 |
|
|
|
1.8. lim |
|
|
1 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
4 −9x − x |
2 |
|
+ x |
3 |
|
|
|
|
+ x |
3 |
|
|
x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ x |
||||||||||||||||||||||||
2. Исследуйте функцию на непрерывность, постройте её график: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x, |
|
если |
|
x ≤ 0, |
|
|
2 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.1. f (x) = |
−x |
|
, |
|
|
|
|
|
если 0 < x ≤1, |
2.2. |
y = |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
если |
|
x >1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. Найдите производную функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3.1. y = |
1 x4 − |
|
2 |
|
|
|
− |
|
3 |
+ 3 sin1 ; |
|
3.4. y = x4 4 4 −3x ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.2. y = |
x arcsin |
x |
|
−e−4 x ; |
|
3.5. y = arctg |
|
|
3 +2x ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 +ln 4x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.3. y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.6. y = |
|
sin2 ( x2 −3x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. Найдите пределы, пользуясь правилом Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4.1. lim |
|
x3 + x2 −5x +3 |
; |
|
4.3. lim |
1 |
|
− |
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
3 |
− x |
2 |
− x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x→1 |
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
sin x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4.2. lim |
9ln(1−2x) |
; |
|
|
|
|
|
4.4. lim |
8x2 + 2x +1 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
4arctg 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 4x |
− x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке:
5.1. y = x2 +16 +16 , [1;4] |
; |
5.2. y = 3x + 4 , [−1;4]. |
x |
|
x2 +1 |
6. Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции: |
||
6.1. y = 2 −3x2 − x3 ; |
|
6.2. y = (1− x) e3x . |
25
Вариант № 14
1. Найдите пределы, не пользуясь правилом Лопиталя: |
|
|
|
|||||||
1.1. lim |
3x2 +5x −2 |
; |
1.5. lim |
x4 −3x2 |
+9 |
; |
||||
x2 + |
4x −3 |
|
|
|
||||||
x→−2 |
|
x→∞ |
2x −1 − x3 |
|||||||
1.2. lim |
sin2 5x |
; |
|
1.6. lim |
4 + 2x |
−2 x |
||||
5x |
2 |
|
|
|
|
; |
||||
x→−π |
|
|
|
|
x→0 |
9 −5x |
|
|
|
1.3. |
lim |
|
3x −4 |
|
|
; |
|
|
|
|
1.7. |
lim |
6x2 −5x +1 |
; |
|
||||||||||||||||
x2 − x − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
9x2 −1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
x→13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x + 6x2 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||
1.4. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
1.8. lim |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
. |
|||
1 +3x − |
6x |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
− |
4 |
x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
x→2 x |
|
|
|
|
|
− x −2 |
||||||||||||||||||
2. Исследуйте функцию на непрерывность, постройте её график: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
|
|
если |
x ≤1, |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.1. |
f (x) = x, |
|
если |
1 < x ≤ 2, |
2.2. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
−4x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
x > 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
−1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. Найдите производную функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3.1. y = |
x2 |
− |
3 |
− |
|
3 x2 |
|
− |
ln π ; |
|
3.4. y = x2 3 3 + x3 ; |
|
|||||||||||||||||||
|
x |
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.2. |
y = arcsin x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.5. y = x3 log |
5 |
x −4−cos x ; |
||||||||||||||||||
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.3. y = 4e−2 x |
−2ln 1 |
; |
|
|
3.6. y = ln4 (arctg 3x) . |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Найдите пределы, пользуясь правилом Лопиталя:
4.1. lim |
2x2 − x −1 |
; |
||
x3 −1 |
|
|||
x→1 |
|
|
||
4.2. lim |
sin2 x |
|
; |
|
1 + cos3 |
x |
|
||
x→π |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
4.3. lim |
|
− |
x |
|
; |
|
|
||||||
x→0 |
sin x |
|
|
|
4.4. lim 6x2 − x3 + 4 . x→∞ 4x − x2 +9x3
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке:
5.1. y = x4 − 2x2 +3 , [−3; 0] ; |
5.2. y = |
x − 2 |
, [2;8]. |
|
x2 +5 |
||||
|
|
|
6. Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции:
6.1. y = |
1 x3 |
− x4 ; |
6.2. y = x3 e−x . |
|
3 |
|
|
26
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Найдите пределы, не пользуясь правилом Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1.1. lim |
3x2 − 2x +5 |
; |
|
|
1.5. lim |
|
|
3 − 2x2 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2x2 −3x + |
4 |
|
|
2x3 + x2 − |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x→2 |
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1.2. lim |
sin2 |
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 −3x |
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
6x |
2 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
1.6. lim |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→π/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
2 − 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.3. lim |
|
|
|
x2 |
|
−9 |
|
; |
|
|
|
1.7. lim |
2x2 −4x −16 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x2 − |
2x +3 |
|
|
|
|
|
x3 +8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x→−3 |
|
|
|
|
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1.4. lim |
2x2 −7x −6 |
; |
|
|
1.8. lim |
|
1 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
3x |
+8x − |
5 |
|
|
|
|
|
2 |
x |
2 |
+ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
x→−1 x − x |
|
|
|
|
|
3x + 2 |
|||||||||||||||||||||||||
2. Исследуйте функцию на непрерывность, постройте её график: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x, |
|
если |
x ≤ 0, |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.1. f (x) = |
x |
|
|
, если |
0 |
< x ≤ 2, |
2.2. y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
3 + 2x |
− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
x > 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4 − x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. Найдите производную функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3.1. y = |
|
1 x2 − |
|
|
4 |
|
+ 5 x3 |
− |
ln 4 ; |
3.4. y = cos8x e−sin x ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
3x3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
e2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.2. y = |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
3.5. y = 3 arccos2 ( 1 |
x |
) ; |
|
||||||||||||||||||
|
3 + e−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.3. y =10x cos 2x + x3 ; |
|
|
3.6. y = ln(1+sin3 |
|
|
x) . |
||||||||||||||||||||||||||||||
4. Найдите пределы, пользуясь правилом Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4.1. lim |
|
x2 + 4x +3 |
; |
|
|
4.3. |
lim |
1 |
− |
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
2 |
− |
2x −15 |
|
|
|
sin x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x→−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4.2. lim |
|
sin 2x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
4.4. |
lim |
3 − 4x − 2x3 |
|
. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
4x3 + 2x2 − |
1 |
|
|||||||||||||||||||||
x→0 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке:
5.1. y = x5 − 5 x3 + 2 , [0;2]; |
5.2. y = 3x + 4 , [−1; 4]. |
||
3 |
x2 +1 |
||
6. Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции: |
|||
6.1. y = |
x3 |
+ x2 −8x +5 ; |
6.2. y = x e−x2 . |
|
|||
3 |
|
|
27
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 16 |
|
|
|
|
|
1. Найдите пределы, не пользуясь правилом Лопиталя: |
|
|
||||||||||
1.1. lim |
|
x5 |
+32 |
|
; |
1.5. lim |
|
x2 + 4x |
; |
|||
x3 + |
2x2 −1 |
(2x −1)2 |
||||||||||
x→−2 |
|
x→∞ |
|
|||||||||
|
|
cos2 |
3x |
|
|
|
|
|
5x −3 |
−3x |
||
1.2. lim |
|
|
|
; |
|
|
1.6. lim |
|
|
|
; |
|
|
3x |
2 |
|
|
4x +1 |
|||||||
x→−π |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
1.3. lim |
2x −5 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7. lim |
|
|
|
|
|
x3 +8 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||
9 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2x − |
8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x3 −3x2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
1.4. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
1.8. lim |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
2x |
2 |
|
− 4x |
3 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
− x |
2 |
x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−1 1 |
|
|
|
|
|
|
+ x |
|||||||||||||||||||||||
2. Исследуйте функцию на непрерывность, постройте её график: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1+ x, |
|
|
если |
|
x ≤ 0, |
|
|
2 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.1. f (x) = |
1− x |
|
, |
|
если |
|
0 < x ≤1, |
2.2. |
y = |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если x |
>1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. Найдите производную функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3.1. y = |
84 |
x3 |
|
− |
3x4 |
+ |
3 |
|
− ln 5 ; |
|
3.4. y = x4 |
|
3 5 +3x ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
tg 2x |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3.2. y = |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
3.5. y = 4 tg3 2x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1−ctg2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.3. y = |
4e |
4 x |
− tg |
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
3.6. y = e |
−3arccos4 (x |
2 |
) |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. Найдите пределы, пользуясь правилом Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x3 −3x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4.1. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
4.3. lim |
ctg x |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||
|
|
x + x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x→−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|||||||||||||||
4.2. lim |
1 −cos10x |
; |
|
|
|
|
|
|
4.4. lim |
|
x3 |
−3x2 −6 |
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
ex |
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
2 −3x3 + |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке:
5.1. y = x5 − x4 + x + 2 , [−1;1]; |
5.2. y = |
4x −1 |
, [−1;3]. |
||
x2 +3 |
|
||||
|
|
|
6. Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции:
6.1. y = |
x4 |
− x2 ; |
6.2. y = x e2 x+3 . |
|
|||
2 |
|
|
28
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Найдите пределы, не пользуясь правилом Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1.1. lim |
|
|
|
|
4x +8 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
1.5. lim |
1+ 2x4 |
+ x5 |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x2 −3x + |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4x3 −6x5 +7 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1.2. |
lim |
|
πsin2 2x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6. lim |
2 −3x |
5 x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
13x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
4 |
+ 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1.3. |
lim |
|
3x2 |
|
+ 6x −1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
1.7. lim |
|
|
|
x3 −8 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
4x2 |
|
+5x |
− |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 −7x |
+10 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6x2 |
+ 2x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1.4. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
1.8. lim |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
x + |
4x |
|
+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
−4 |
x |
2 |
− |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|||||||||||||||||||||||||
2. Исследуйте функцию на непрерывность, постройте её график: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x − |
1, |
|
если |
|
x ≤1, |
|
|
2 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.1. |
f (x) = |
x, |
|
если |
|
|
1 |
< x ≤ 4, |
2.2. |
y = |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x2 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− x, |
|
|
|
если |
x > 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3. Найдите производную функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
y = − |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
x |
|
lg 3 |
|
|
3.4. y =sin 4x e |
sin2 |
2 x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3.1. |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
+5 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
4x |
3 |
|
|
3 |
x |
4 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.2. y = |
|
cos |
(x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.5. y = |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||
1+sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3.3. y = log4 x −e−2 x ; |
|
|
|
|
|
|
|
3.6. y = arcctg2 (2x −1) . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Найдите пределы, пользуясь правилом Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
4.1. |
lim |
|
x3 +5x2 +7x +3 |
; |
|
|
|
4.3. lim |
|
|
48 |
|
|
|
− |
|
|
|
1 |
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
+ 4x |
2 |
+5x + |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
−64 |
|
|
x − |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→−1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4.2. lim e7 x −e−2 x ; x→0 sin x − 2x
x3 − 4x + 6
4.4. lim 3 4 .
x→∞ 2x − x +5
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке:
5.1. y = x3 −3x2 +3x + 2 , [−2; 2] ; |
5.2. |
y = |
4 + x2 |
, [1;3] . |
|
x |
|||||
|
|
|
|
6. Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции:
6.1. |
y = |
1 x3 |
−2x2 |
+1; |
6.2. y = (2x −3) e−2 x . |
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4 |
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29
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Вариант № 18 |
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1. Найдите пределы, не пользуясь правилом Лопиталя: |
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1.1. lim |
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x2 − x −12 |
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; |
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1.5. lim |
1+9x3 +6x5 |
|
; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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x2 + |
|
3x −2 |
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3 +11x7 |
|
− x3 |
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x→−3 |
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x→∞ |
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1.2. lim |
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cos2 |
3x |
|
; |
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1.6. lim |
2 +3x |
|
−5 x |
; |
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|||||||||||||||||||||||
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4x |
2 |
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x→−π |
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x→0 |
4x −1 |
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1.3. lim |
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x −5 |
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|
; |
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1.7. lim |
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2x2 +3x −9 |
; |
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|||||||||||||||||||||||||
|
x2 + |
|
4x −5 |
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x3 + 27 |
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x→−5 |
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x→−3 |
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|
6x5 − x3 +9 |
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1 |
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12 |
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|||||||||||||||||||||
1.4. lim |
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3 |
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5 |
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|
; |
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1.8. lim |
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− |
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|
. |
||||||
8x |
− x |
|
− |
6 |
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2 |
|
x |
3 |
+ |
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|||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
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x→−2 |
x + |
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8 |
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2. Исследуйте функцию на непрерывность, постройте её график: |
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0, |
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если |
x ≤ |
0, |
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|
x −2 |
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|||||||||||||||
2.1. f (x) = |
|
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x, |
если |
|
0 |
< x ≤ 4, |
2.2. |
y = |
. |
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||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||
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|
x2 −9 |
|
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||||||||||||||||||||||||||
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|
если |
x > 4. |
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||||||||||||||
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x, |
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3. Найдите производную функции: |
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|||||||||||||||||||||
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4 |
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|
x2 |
|
|
|
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|
− |
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
3.1. y = |
|
|
|
|
− |
|
55 |
x3 |
− |
|
|
+ 3 |
e ; |
|
3.4. y = |
|
3 ctg x |
+ tg |
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
x |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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||||
3.2. y = |
|
x ln 4x ; |
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|
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|
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|
3.5. y = arctg |
|
|
|
|
x2 +3x ; |
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3.3. y = |
|
e−4 x |
|
|
|
; |
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|
|
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|
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|
3.6. y =10ln3 ( x2 +2 x) . |
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|||||||||||||||||||||
|
x2 + |
|
5 |
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|
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||||||||||||||||||||||||
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4. Найдите пределы, пользуясь правилом Лопиталя: |
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4.1. lim |
|
x3 + 4x2 +5x + 2 |
; |
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|
4.3. lim |
|
x |
|
|
− |
|
|
1 |
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||
|
|
|
|
x |
3 |
− |
3x −2 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
x→−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
x |
|
|
|
|
ln x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4.2. lim |
|
4x −27 x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.4. lim |
|
4x2 −2x3 +5 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
tg 3x |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 −8x |
2 −4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
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|
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке:
5.1. y = −x3 +6x2 −12x + 6 , [−1;1] ; |
5.2. |
y = |
x2 +16 |
, [1; 6]. |
|
8x |
|||||
|
|
|
|
6. Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции: 6.1. y = (x −1) (x +1)2 ; 6.2. y = (3x + 4) e−2 x .
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