mu

Решение

Среднее значение функции f (x) на отрезке [a;b] вычисляется по

формуле μ =	∫b	f (x)dx	.
	a
		b −a
5.1. f (x) = 3x ,		[−1; 2]

2

∫3x dx

μ= 2−1−(−1) = 13 3x ln 3 2−1 = ln33 (32 −3−1 ) = ln33 263 = 269 ln 3. Ответ: μ = 269 ln 3 .

5.2. f (x) = x2 −2x,				[0; 4]
	4
	∫(x2 −2x)dx		1	x		3	− x2			4		1 64			−16			16			4	.
	0
μ =		=									=						=			=
	4 −0		4		3													12			3
										0		4 3

Ответ: μ = 43 .

6. Решите уравнение

∫x (2t −1)dt = 0 .

−1

Решение

Для того чтобы решить уравнение ∫x (2t −1)dt = 0 , вычислим снача-

					−1
ла интеграл, стоящий в правой части равенства.
x
∫(2t −1)dt = (t2 −t)		−x1 = (x2 − x) −(1+1) = x2 − x −2 .
−1
Следовательно,			= 9 x = 1+3				=1−3
x2 − x −2 = 0 D =1+8					= 2 и	x		= −1.
			1	2		2	2

Ответ: x1 = 2, x2 = −1.

71

7. Найдите модуль и аргумент комплексного числа z =1−i . Изобразите число на комплексной плоскости.

Решение

Находим модуль комплексного числа z = a +bi по формуле

z= a2 +b2 .

Внашем случае a = 1, b = −1. Получаем

z = 1−i = a2 +b2 = 12 +(−1)2 = 2 .

Аргумент комплексного числа z = a +bi находим по формулам

arctg

b

при a >0,

b−любом,

a

b

при a <0,

b ≥0,

arctg

+π

a

b

arg z = arctg

−π

при a <0,

b <0,

a

π

при a =0,

b >0,

2

π

при a =0,

b <0.

−

2

При a > 0 получаем

−1

π .

ϕ = arg (1−i) = arctg

= −

1

4

На комплексной плоскости комплексное число z = a +bi изображается точкой с координатами (a; b) .

y

1

0 x

-1	z = 1 – i

5.ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ

5.1.Требования для сдачи экзамена

Кэкзамену допускаются только те студенты, у которых зачтены все индивидуальные задания.

Студенты, обучающиеся по КЗФ, сдают экзамен во время зимней экзаменационной сессии по билетам (в устной или письменной форме). Каждый билет содержит два теоретических вопроса и три задачи. Экзамен считается сданным, если выполнено не менее 60% заданий экзаменационного билета.

72

Студенты, обучающиеся с использованием ДОТ, сдают экзамен в тестовой форме (on-line режим). Экзаменационный тест содержит 20 тестовых заданий различного уровня сложности. Структура экзаменационного теста представлена в таблице:

Тип задания	Количество	Уровень
	в тесте	сложности
Задание на выбор единственного ответа	8	1
Задание на выбор множественных ответов	4	2
Задание на установление последовательно-	4	2
сти
Задание на установление соответствия	2	3
Задание для краткого ответа	2	3

Оценка за экзамен выставляется по сумме набранных баллов за задания теста.

Итоговая оценка по дисциплине формируется по результатам сдачи индивидуальных домашних заданий и экзамена.

5.2.Вопросы для подготовки к экзамену

1.Понятие множества. Примеры. Способы задания множеств. Подмножество.

2.Операции над множествами и их свойства.

3.Числовые множества N, Z, Q, R.

4.Понятие функции. Область определения и множество значений функции. График функции. Способы задания функции.

5.Основные характеристики поведения функции.

6.Понятия сложной, неявной, обратной функций.

7.Основные элементарные функции. Степенная функция и её свойства.

8.Основные элементарные функции. Показательная функция и её свойства.

9.Основные элементарные функции. Логарифмическая функция и её свойства.

10.Основные элементарные функции. Тригонометрические функции и их свойства.

11.Основные элементарные функции. Обратные тригонометрические функции и их свойства.

12.Классификация функций.

13.Определение предела функции (конечного, бесконечного и на бесконечности). Понятие односторонних пределов.

14.Основные теоремы о пределах.

73

15.Понятие бесконечно малой величины и бесконечно большой величины. Их взаимосвязь.

16.Непрерывность функции в точке, на множестве.

17.Точки разрыва и их классификация.

18.Основные свойства функций, непрерывных на отрезке.

19.Определение производной функции в точке. Физический и геометрический смысл производной.

20.Уравнение касательной к кривой.

21.Понятие дифференцируемой функции в точке. Дифференциал.

22.Правила дифференцирования.

23.Производные и дифференциалы высших порядков.

24.Основные теоремы дифференциального исчисления (Роля, Лагранжа, Коши).

25.Правило Лопиталя.

26.Формула Тейлора.

27.Исследование функций с помощью производной на монотон-

ность.

28.Исследование функций с помощью производной на экстремум.

29.Исследование функций с помощью производной на выпуклость/вогнутость. Точки перегиба.

30.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

31.Определение первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства.

32.Основные методы интегрирования: замена переменной, интегрирование «по частям» в неопределенном интеграле.

33.Интегрирование простейших рациональных дробей.

34.Интегрирование тригонометрических выражений.

35.Задача о вычислении площади криволинейной трапеции, приводящая к понятию определённого интеграла.

36.Определение определенного интеграла. Теорема существова-

ния.

37.Свойства определенного интеграла.

38.Геометрический смысл определенного интеграла.

39.Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона

−Лейбница.

40.Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование «по частям» в определённом интеграле.

41.Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

42.Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

74

5.3. Образцы билетов к экзамену для КЗФ Экзаменационный билет № 0

1.Непрерывность функции в точке.

2.Определение производной. Геометрический смысл.

3.Найдите предел

lim x2e−x .

x→+∞

4.Вычислите определённый интеграл

	3	(x −1)dx
	∫
				.
		x2	+6x +10
	1

5. Составьте уравнение касательной к кривой y = 4x2 +2x −8

вточке с абсциссой x = 3.

5.4.Образцы билетов к экзамену для ДОТ Экзаменационный билет № 0

Задания на выбор единственного ответа

		Задание 1. Найдите производную функции y = 4ex +cos5x
1.	y′= 4xex−1 −sin 5x ;				2.	y′= 4xex−1 −5sin 5x ;
3.	y′= 4ex +sin 5x ;				4.	y′= 4ex −5sin 5x .
		Ответ:
		Задание 2.	Уравнение касательной к линии y =				2x		в точке с
							x2 +	1
абсциссой x0 =1 имеет вид
					3. y = −x ;				4. y = x
1. y =1;				2. y = x + 2 ;
		Ответ:
		Задание	3. Длина		промежутка возрастания				функции
	10
y =				равна
		4x3 −9x2 +6x
1. 0,5;			2. 2;		3. −1;				4. 1.
		Ответ:
		Задание 4.	Наибольшее значение функции y = 4xe−x						на отрезке
[0;1] равно

75

1.

4e ;

2. 4e−1 ;

3. 0;

4. 1

Ответ:

Задание

5.

Укажите

выражение,

которому равен

интеграл

∫x ln2 xdx

x2

1.

x2

ln2 x −

∫x ln xdx ;

2.

ln2 x + ∫x ln xdx;

2

2

3.

x2

ln2 x −

∫xdx ;

4.

x2

ln2

x + ∫xdx

2

2

Ответ:

Задание

6.

Укажите

замену,

которая

приводит

интеграл

∫

tg(x −1)

к табличному

dx

cos2 (x −1)

1.

t = tg( x −1) ;

2. t = cos2 (x −1) ;

3. t = x −1;

4.

t =

1

;

5. t =

tg(x −1)

.

cos2 (x −1)

cos2 (x −1)

Ответ:

Задание

7. Площадь области, ограниченной линиями

y = 0,5x ,

y = −x , x = 4 , выражает интеграл

4

4

4

1.

∫[0,5x −(−x)]dx ;

2. ∫[(−x) −0,5x]dx ;

3. ∫[0,5x + (−x)]dx ;

0

0

0

Ответ:

e

Задание 8. Сделайте замену t = ln x в интеграле ∫ dx

1 x 1 − ln x

e

dx

e

dt

1

dt

1

dt

1. ∫

;

2. ∫

;

3. ∫

;

4. ∫

x 1 −t

1−t

e

t

1 −t

1−t

1

1

0

0

Ответ:

Задания на выбор множественных ответов

Задание 9. Найдите все асимптоты графика функции y = 2x4 +3x3 +1 x

1. y = 2x ;

2. x = 0 ;

3. y = x +1;

4. y = 2x +1

76

	Ответ:
	Задание 10. Укажите интегралы, для нахождения которых необхо-
димо применять формулу интегрирования по частям
1.	∫x sin xdx ;			2. ∫x sin x2dx ;		3. ∫x sin2 xdx ;
4.	∫xexdx ;		5.		∫xex2 dx ;	6. ∫(ex )2 dx .
	Ответ:
	Задание 11. Укажите функции, которые являются первообразными
для функции			1
		cos2 3x
1.	1 tg 3x ;		2. 1 tg 3x +3 ;		3. 3 tg 3x ;	4. 3 tg 3x + 1
	3		3				3
	Ответ:
	Задание 12. Вычислите неопределённый интеграл ∫sin x cos xdx
1.	1 sin2 x +C ;			2. −	1 cos2 x +C ;	3. −1 cos 2x +C ;
	2				2	4
4.	−1 sin2 x +C ;				5. −1 cos 2x +C
	2				2
	Ответ:
	Задания на установление последовательности
	Задание 13.					(x −1)2
	Расположите данные исследования функции y =						в следую-
						(x +1)3

щей последовательности: вертикальная асимптота, точка максимума, точка минимума, точка перегиба

1. x = −1;

2. x =5 ;

3. x =1;

4. x =5 + 2 3 .

Ответ:

Задание 14.

Расположите пределы в соответствии с их значениями 1,5; 0; 0,4;0,5

1. lim

(x +1)2

;

2. lim

x2

−2x +1

; 3. lim

tg 2x

;

4. lim

e3x −1

.

2x2

x3 − x

sin5x

2x

x→∞

x→1

x→0

x→0

Ответ:

77

Задание 15. Установите последовательность выполнения действий при исследовании функции на экстремум

1)найти производную y′

2)найти критические точки, принадлежащие области определения функции

3)нанести область определения функции и критические точки на числовую ось

4)определить знак производной на каждом из полученных интер-

валов

5)выявить точки максимума и минимума

6)вычислить значения функции в точках экстремума

Ответ:

Задание

16.

Замена

переменного

tg x =t

в

интеграле

∫

dx

. Запишите последовательно выражения для sin x ,

4sin2 x +9cos2 x +1

cos x , dx ,

f (x)

1.

dt

;

2.

1

;

3.

t2

; 4.

1

; 5.

1+t2

;

6.

t

.

1 +t2

1+t2

1

+t2

1

+t2

10 +5t2

1+t2

Ответ:

Задания на установление соответствия

Задание 17. Установите соответствие между пределами и их значе-

ниями

ПРЕДЕЛ

ЗНАЧЕНИЕ

1.

lim

e3x −1

а) 3

sin x

x→0

2.

lim ln sin 3x

б) 1

x→0

lnsin x

3.

lim

2

в) 0

xsin

x

x→∞

4.

lim

1

г) 2

ctg x −

x

x→0

Ответ:

Задание 18. Для каждой из указанных функций охарактеризуйте точку x = 0 .

78

1.	f (x) ={1,sin xx, x≤>0,0					1.		точка непрерывности
2.	f ( x) =	sin x				2.		точка устранимого разрыва
		x	1
3.	f (x) =sin					3.		точка разрыва первого рода
			x
4.	f ( x) = x sin x					4.		точка разрыва второго рода
	Ответ:
	Задания для краткого ответа
			2					1
	Задание			19. Вычислите ∫ x −					2−x dx . (π =3,14 ;	e = 2,72	;
							ln 2

0

ln 2 =0,69 ; ln3 =1,1. Ответ округлите до трех знаков после запятой).

Ответ:

Задание 20. Вычислите площадь плоской фигуры S , ограниченной линиями y = −x2 + 4, y = 2x +1.

Ответ:

6.УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

6.1.Литература обязательная

1.Самочернова Л.И. Высшая математика. Ч.2: учеб. пособие / Л.И. Самочернова – 2-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2005. – 164 с.

6.2.Литература дополнительная

2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов (в 2 т.): учеб. пособие для втузов. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1967; 1978; 1985; 1986. – 432 с.

3.Бугров Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я.С. Бугров, С.М. Никольский.– М.: Наука, 1980; 1984; 1988.

4.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/

Г.Н. Берман. – М.: Наука, 1972; 1975; 1977; 1985.

5.Задачи и упражнения по математическому анализу/ под ред.

Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1972; 1978; 1990.

6.Запорожец Г.Н. Руководство к решению задач по математическому анализу / Г.Н. Запорожец. – М.: Высш. шк., 1966.

79

7.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высш. шк., 1980; 1986.

6.3.Учебно-методические пособия

8.Терехина Л.И. Высшая математика. Ч. 2: учеб. пособие / Л.И. Терехина, И.И. Фикс. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 234 с.

9.Терехина Л.И. Высшая математика. Ч. 3: учеб. пособие / Л.И. Терехина, И.И. Фикс. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 252 с.

6.4.Internet-ресурсы

10.Сайт ТПУ. – Режим доступа: http://www.tpu.ru, вход свободный.

80