- •1. ВВЕДЕНИЕ
- •1.1. Постановка задач оптимизации
- •1.2. Математическая постановка задач оптимизации
- •1.2.1. Виды ограничений
- •1.2.2. Критерии оптимальности
- •1.2.3. Классификация задач
- •2. ОДНОМЕРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
- •2.1. Методы сужения интервала неопределенности
- •2.1.1. Общий поиск
- •2.1.2. Унимодальные функции
- •2.1.3. Метод деления интервала пополам
- •2.1.4. Метод золотого сечения
- •2.1.5. Установление первоначального интервала неопределенности
- •2.2. Ньютоновские методы
- •3. МИНИМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •3.1. Рельеф функции
- •3.2. Метод покоординатного спуска (Метод Гаусса)
- •3.3. Метод оврагов
- •4. МЕТОДЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОИЗВОДНЫХ
- •4.1. Градиентные методы
- •4.2. Метод Нюьтона
- •4.3. Метод Марквардта
- •5. УСЛОВНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
- •5.1. Задачи с ограничениями в виде равенств
- •5.1.1. Множители Лагранжа
- •5.2. Задачи с ограничениями в виде неравенств
- •5.2. Методы штрафных функций
- •5.3. Метод факторов
- •6. Случайный поиск
- •6.1. Простой случайный поиск
- •6.2. Ненаправленный случайный поиск
- •6.3. Направленный случайный поиск
- •6.3.1. Алгоритм парной пробы
- •6.3.2. Алгоритм наилучшей пробы
- •6.3.3. Метод статистического градиента
- •6.3.4. Алгоритм наилучшей пробы с направляющим гиперквадратом
- •6.4. Алгоритмы глобального поиска
- •7. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
- •7.1. Примеры задач линейного программирования
- •7.1.1. Задача об использовании сырья
- •7.1.2. Задача об использовании мощностей оборудования
- •7.1.3. Транспортная задача
- •7.1.4. Задача о питании
- •7.2. Основная задача линейного программирования
- •7.3. Основная задача линейного программирования с ограничениями-неравенствами
- •7.4. Геометрическое толкование задач линейного программирования
- •7. СИМПЛЕКС МЕТОД ИЛИ МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО УТОЧНЕНИЯ ОЦЕНОК
- •7.1. Алгоритм симплекс метода
- •7.2. Вырожденность в задачах линейного программирования
- •7.3. Двойственность задачи линейного программирования
- •Теоремы двойственности
- •7.4. Метод последовательного уточнения оценок
- •7.5. Методы решения транспортной задачи
- •7.5.1. Метод северо-западного угла
- •7.5.2. Метод минимального элемента
- •7.5.3. Метод потенциалов
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- •СОДЕРЖАНИЕ
• Если же присутствуют и свободные переменные, то необходимо данные переменные сделать базисными. И после того, как свободная переменная станет базисной, в процессе определения разрешающего элемента при поиске опорного и оптимального планов данная строка не учитывается (но преобразуется).
7.2. Вырожденность в задачах линейного программирования
Рассматривая симплекс-метод, мы предполагали, что задача линейного программирования является невырожденной, т.е. каждый опорный план содержит ровно m положительных компонент, где m – число ограничений в задаче. В вырожденном опорном плане число положительных компонент оказывается меньше числа ограничений: некоторые базисные переменные, соответствующие данному опорному плану, принимают нулевые значения. Используя геометрическую интерпретацию для простейшего случая (рис. 38), когда n − m = 2 (число небазисных переменных равно 2), легко отличить вырожденную задачу от невырожденной. В вырожденной задаче в одной вершине многогранника условий пересекается более двух прямых, описываемых уравнениями вида xi = 0 . Это зна-
чит, что одна или несколько сторон многоугольника условий стягиваются в точку.
Рис. 38. К понятию вырожденности
Аналогично при n − m = 3 в вырожденной задаче в одной вершине пересекается более 3-х плоскостей xi = 0 .
В предположении о невырожденности задачи находилось только одно зна-
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
b |
|
|
|
|
||
чение |
θ = min |
i |
|
|
i |
> 0 |
, по которому определялся индекс выводимого из ба- |
|
|
ail |
|||||||
|
i |
ail |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зиса вектора условий (выводимой из числа базисных переменной).
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
b |
|
|
|
|
||
В вырожденной задаче |
min |
i |
|
|
i |
> 0 |
может достигаться на нескольких |
|
|
ail |
|||||||
|
i |
ail |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
индексах сразу (для нескольких строк). В этом случае в находимом опорном плане несколько базисных переменных будут нулевыми.
Если задача линейного программирования оказывается вырожденной, то при плохом выборе вектора условий, выводимого из базиса, может возникнуть бесконечное движение по базисам одного и того же опорного плана. Это – так называемое явление зацикливания. Хотя в практических задачах линейного про-
81