GOSy_teoria_2013

в каждой точке заданной среды (т.е. при постоянных D и ) зависит только от расстояния r до источника.

20. Решение уравнения диффузии для точечного источника нейтронов в конечной однородной среде

Конечная среда и постановка задачи. Рассмотрим сферу в виде среды. Определить распределение потока моноэнергетических нейтронов генерируемых в конечной среде с точечным источником с const по времени скорости генерации S расположенной в центре сферы (в начале координат

	r=0), определить (r). (r) C1 e r	1	C2	e r	1	,	(RЭ ) 0	. Подставляем Г.У.
		r			r
	и получаем C2 C1 e 2 RЭ			(r) C1 e r				1	1 e 2 ( RЭ r ) . В
								r

качестве2-го Г.У. определим след-ее, плотность результирующего тока нейтронов ч/з сферу как угодно близко охватывающую источник = скорости

генерации S:

lim

4 r

2

I S ,

I D ,

S

r 0

C1

4 D (1

e 2 RЭ )

(r)

S e r

1 e 2 ( RЭ r )

4 D r

1 e

2

RЭ .

21. Принцип суперпозиции нейтронных источников.

Рассмотрим бесконечную среду. Вычислим поток нейтронов, начав со случая двух точечных источников со скоростями генерации S1 и S2 , расположенных соответственно в точках r1 и r2.

Для любого i-го точечного источника в бесконечной среде в

произвольной точке r имеем:
	Si	exp(		r	ri		)
Фi (r )		4 D
			r ri

Поскольку плотность нейтронов мала, можно пренебречь их взаимодействием между собой и полный поток в любой точке вычислить,

используя принцип суперпозиции источников:
		Ф2		.
Ф r	Ф1 r		r

Этот вывод можно распространить на любое число источников.

Так для N точечных источников со скоростями генерации Si, расположенных в точках ri, поток в любой точке r бесконечной среды:

21

N

Si

exp

r

ri

Ф r

.

i 1

4 D

r

ri

Если перейти от дискретных источников к непрерывным, то получим:
	S r exp
Ф r						r r
	4 D										dr . (1)
			r	r

Функция S- объемная плотность генерации нейтронов, нейтрон/(см3с).

Из выражения (1) следует, что поток нейтронов Ф(r) в однородной бесконечной среде выражается через диффузионную функцию влияния.

Если подставить диффузионную функцию влияния:

Ф(r ) S r G(r r )dr . (2)

Функция влияния G(r-r/) зависит от свойств среды.

Интегральное уравнение (2) дает возможность вычислить поток нейтронов при любом распределении источников и в любом приближении.

В качестве примера определим поток нейтронов Ф(r) от плоского источника, размещенного в плоскости x=0. Представим этот источник как совокупность точечных, и пусть Sп есть число нейтронов, генерируемых в единицу времени единицей площади поверхности.

Используем для выкладок -функцию Дирака, которая по определению всюду равна нулю, кроме точки х=0, а в этой точке она обращается в бесконечность так, что

b

(x)dx 1

a

[(a,b)-любой интервал, охватывающий точку х=0]. Важное свойство - функции состоит в том, что для любой гладкой функции

b

f (x) (x)dx f (0) ,

a

где f(0)-значение f при х=0. Запишем поверхностную скорость генерации нейтронов источника следующим образом:

Sп (x) (x)Sп .

Используя свойства -функции, получаем:

S

exp(

x2 y2 z2 )

Ф(х)

п

dydz .

x

2

y

2

z

2

4 D

Перейдем к полярным координатам 2 y2 z 2 , dS d d . Вводя новую переменную t x2 2 , получим, что

22

		Sп				Sп
	Ф(x)			exp( t)dt			exp(		x		) .
		2D				2 D
				x

Используя принцип суперпозиции, можно получить формулы и для других протяженных источников.

Точечный источник Sт, нейтр/с: Ф(r) Sт exp(r) .

4Dr

Плоский источник Sп, нейтр/(см2с): Ф(r) Sп exp(r ) .

2D

Нитевидный источник Sл, нейтр/(смс): Ф(r) S л K 0 (r) .

2D

K0 (r) -модифицированная функция Бесселя.

22. Логарифмические параметры потерь энергии.

При столкновении с ядром нейтрон в среднем теряет определенную долю

своей энергии, поэтому целесообразно ввести вместо	E	2 AE		(средняя доля
		A	1 2

потери энергии) другую характеристику процесса столкновения. Процесс замедления на практике рассматривается в шкале ln(Eнач / E) (Eнач - начальная энергия нейтронов), а в качестве характеристики столкновения выбирается

средняя логарифмическая потеря энергии в одном акте рассеяния

(логарифмический дикримент): ln(E / E ) . Легко связать с массой рассеивающего ядра А:

E

E

ln(E / E )W (E E )dE

1

dE

E

ln(E / E )

ln(E / E )

E

E

.

1 E

W (E E )dE

E

Введем новую переменную x E / E , находим:

1

1

1

ln

dx 1

ln .

1

1

x

2

A 1 2

A 1

A 1

подставив, получим: 1

Параметр замедления,

2A

ln

A 1

.

A 1

Для водорода =1; с увеличением A средняя логарифмическая потеря

энергии быстро уменьшается и уже при

A 3 с

хорошим

приближением

можно пользоваться формулой 2 /( A 2 / 3) .

В случае больших А(А>10)

2 / A

и между

E

и средней

логарифмической потерей энергии существует простая связь:

E E

23

С помощью средней логарифмической потерей энергии легко определить среднее число столкновений, необходимых для уменьшения энергии нейтрона от какой-либо начальной энергии Енач до любой Екон:

n 1 ln Eнач .

Eкон

24

имеется

cos

23. Закон рассеяния в шкале энергии и летаргии.

Найдем распределение рассеянных нейтронов по энергиям. Пусть W (E E )dE - вероятность для нейтрона с начальной энергией Е попасть после рассеяния в интервал dE/ около E/ .

Для каждого значения энергии после рассеяния Е/ соответствующий угол рассеяния , определяемый соотношением:

E		A		2	2Acos 1
							. (1)
E					( A 1)2

Следовательно, каждому малому изменению d вблизи соответствует изменение dE/ вблизи E/. Таким образом, вероятность того, что нейтрон рассеется в энергетический интервал dE/ вблизи E/, должна быть равна вероятности рассеяния нейтрона в элемент угла d вблизи , т. е.

		W ( )d или
W (E E )dE

W (E E )dE W ( )(d / dE )dE . (2)

Из (1) следует, что

dE / E d 2A /( A 1)2

или с учетом соотношения Emax / E 1 4A/( A 1)2 dE / d (E / 2)(1 ) .(3)

В случае сферически-симметричного рассеяния вероятность

W ( )d 12 sin d 12 d . (4)

Используя выражения (2-4), окончательно находим Это и есть закон рассеяния.

Вероятность не зависит от конечной энергии Е/, но зависит от начальной энергии нейтрона и от массы ядра. Это означает, что энергия рассеянного нейтрона принимает с равной вероятностью любое значение в энергетическом

интервале E E E .

Найдем среднюю потерю энергии в одном акте упругого рассеяния: Рис.1. Вероятность рассеяния нейтронов с начальной энергией Е.

.				E
					EW (E E )dE				(1 )E		2AE
	E			E
				E					2		( A 1)2
	25				W (E E )dE
					E

Видно, что доля потерянной нейтроном энергии Е/Е зависит только от массы ядра, с которым сталкивается нейтрон.

Для водорода Е/Е=1/2, для графита=0,142; для тяжелых ядер (А 1)

E / E 2 / A .

Средняя энергия после одного акта рассеяния:

E E E E[1 (1 ) / 2] E(1 ) / 2 ,

а после n актов En [(1 ) / 2]n E .

Видно, что для данного ядра и для данной начальной энергии Е доля Е/Е равна константе, т. е. средняя потеря энергии, составляет всегда одну и ту же долю начальной энергии Е.

При больших энергиях нейтрон теряет много энергии в абсолютных значениях, а при меньшей энергии он теряет меньше энергии в абсолютных значениях, а доля энергии постоянна.

Закон рассеяния получен из приближения изотропного рассеяния в СИсистеме, но это предположение работает до энергии n=105эВ. При превышении этой величины угловое рассеяние оказывается вытянутым прямо вперед и cos 0 . Величина энергии нейтрона с которой начинается влияние анизотропии зависит от массы ядра. Так для дейтерия эта энергия около 0,2 МэВ, графита-1,4МэВ, кислорода-0,3МэВ, рассеяние на водороде изотропное во всем рассматриваемом интервале энергий.

Естественно, что закон рассеяния так же меняется: вероятность того, что после рассеяния нейтрона его энергия будет лежать в интервале E E dE , принимает более сложный вид:

W (E E )dE

dE

6

E E

,

[1 3

]

E(1 )

(1 )

E

где

0.07A2 / 3 E . В отличии от изотропного рассеяния вероятность в

данном случае зависит от конечной энергии Е/.

При

энергии нейтронов

E 1эВ

выражение

для закона рассеяния

становится совсем сложным, т.к. нейтрон не только передает энергию, но и получает ее.

Введем новую переменную, которую принято называть летаргией:

U ln Emax ,

E

26

где Е - текущая энергия нейтронов; Еmax – выбранная фиксированная энергия, в теории ядерных реакторов принимают Еmax=10МэВ.

Если энергия нейтрона равна Еmax, летаргия U=0. По мере замедления нейтрона и уменьшения его энергии летаргия увеличивается. Так, при энергии 0,625 эВ (условная нижняя граница области замедления) U=16,6.

Если энергия нейтрона до столкновения Е соответствует летаргия U, а энергия после столкновения Е/ соответствует U/, то изменение летаргии в одном акте рассеяния:

			Emax		Emax		E
		U ln E		ln E		ln E
U U

Видно, что величина представляет собой среднее увеличение летаргии нейтрона в одном акте рассеяния. Тогда полное число столкновений в интервале энергий от Е1(U1) до Е2(U2)

n (U2 U1 ) / .

Для переменной U закон рассеяния имеет вид:

exp(U U )dU

, если

1

U

U

U ln

,

W (U U )dU

0, востальныхслучаях

а средняя логарифмическая потеря энергии:

1

U ln

1

U ln

(U U ) exp(U U )dU

(U U ) exp(U U )dU .

1

1

U

U

24. Особенности замедления в водородосодержащей среде. Замедление без поглощения.

Т.к. процесс замедления сложный его проводит поэтапно. Сначала рассмотрим самый простой случай: замедление нейтрона в гомогенной среде с чисто упругим рассеянием, затем вводят поправки, связанные с наличием поглощения, утечки и отклонениями от простейшего закона рассеяния.

При взаимодействии с водородом нейтрон в одном акте рассеяния может потерять всю кинетическую энергию, т.к. массы сталкивающихся частиц одинаковы.

Постановка задачи.

Рассмотрит бесконечную гомогенную среду без поглощения, состоящую из атомов водорода с равномерно распределенными источниками нейтронов. Объемную скорость генерации нейтронов с энергией Е определим как S(E),

нейтр /(см3 с) .

27

Решение.

Рассмотрим уравнение баланса нейтронов, имеющих энергию dE вблизи Е. Обозначим Ф(Е)dE поток нейтронов, энергия которых лежит в интервале E E dE , а s -макроскопическое сечение рассеяния. Т.к. сечение поглощения

a 0 , то	убыль нейтронов обусловлена только скоростью рассеяния
нейтронов	и равна Ф(Е) s dE . Поступление нейтронов определяется

непосредственно вкладом от источника S(E)dE и рассеянием из области энергий E E . E -это не энергия после рассеяния, а максимальная энергия нейтрона на начало рассмотрения. Вероятность нейтрона с энергией E попасть в интервал dE будет dE / E . Поскольку число нейтронов в интервале

				, испытавших рассеяние в единицу времени,		есть			, то из
E	E	dE					s Ф(Е )dE
этих			нейтронов энергию E E dE приобретут в			единицу		времени
					(1) нейтронов.
s Ф(Е )dE dE / E

Чтобы охватить все возможные энергии Е,/ превышающие Е надо (1) проинтегрировать от Е до некого Емах, тогда получим, что поток нейтронов с энергиями большими, чем Е в результате их рассеяния и приобретшим

Emax

dE

энергию E E dE dE

s

Ф(E )

, где Емах - максимальное значение

E

E

энергии нейтронов источника.

Запишем уравнение баланса нейтронов, сокращая общий множитель dE:

s Ф(E)

s Ф(E ) dE S(E )

(2)

Emax

E

E

Далее перейдем от энергии Е к летаргии U ln( Emax / E) .

Так как Ф(E)dE Ф(U )dU

(3), то EФ(E) Ф(U )

и ES(E) S(U ) .

Окончательно уравнение (2) для Ф(U) запишем в виде

Ф(U ) s

S(U ) Ф(U ) s

exp[ (U U )]dU .

Это уравнение имеет следующее решение:

U

Ф(U )

S(U )

S(U )dU

S(U )

S

(U )

, (4)

0

0

s

s

s

s

U

где S0 (U ) S(U )dU

-

скорость

генерации

нейтронов с летаргией в

0

интервале от 0 до U в единице объема. Первый член правой части уравнения

(4) описывает вклад нейтронов, не испытавших ни одного столкновения; второй – нейтронов, испытавших одно или более столкновений.

28

При делении ядер образуются нейтроны, энергия которых соответствует малым летаргиям. Тогда при U 5 решение будет:

Ф(U) S0 / s (5),

Рис.2. Спектр нейтронов деления n(u).

где S0-полная объемная скорость генерации нейтронов.

Выражение (5) представляет собой поток нейтронов, распределение по энергии которых соответствует спектру Ферми.

В шкале Е спектр Ферми имеет вид Ф(E) S0 /( s E) .

Рассмотрим моноэнергетический источник, испускающий S0, нейтр/(см3с)

	с энергией Еf. В этом случае в уравнение (2) выражение для S(E) примет вид
	S(E) S0 (E E f ) . (6)
	Введем понятие скорость рассеяния в единице объема
	Rs (E) Ф(E) s (7)
	и запишем уравнение в виде
	Rs (E) Rs (E )	dE		S(E)	(8)
		E
	Получим спектр Ферми Ф(E) S0 /( s E)				(9), т.е. распределение

нейтронов по энергии, как и в случае немоноэнергетических источников, описывается спектром Ферми. Из сопоставления двух решений видно, что при энергиях, при которых вклад от источника равен нулю, спектр замедляющихся нейтронов не зависит от спектра источника.

Замедление с поглощением.

Уточнение расчета будет за счет введения поправок на поглощение. Рассмотрим среду (водород), в которой имеется слабое поглощение нейтронов в процессе замедления. При этом уравнение баланса примет вид:

[ a (E) s ]Ф(E)

Emax		dE		. (10)
	s Ф(E )		S(E)
		E
E

Пусть S(E) определяется выражением (6), тогда Емах=Ef.

Введем скорость столкновений R(E), равную по определению произведению полного сечения взаимодействия на поток нейтронов

R(E) t (E)Ф(E) (11)

и перепишем уравнение (10) следующим образом:

29

(E)

E f

s

dE

R(E)

S(E) .

R(E )

(12)

t

E

(E )

E

Следовательно, для потока нейтронов имеем

S

E f

Ф(E)

exp[

(E ) dE

] .

0

s

a

(13)

t

(E)E t (Ef )

E

t (E ) E

Практически всегда при E E f

a s . Поэтому в выражении отношение

s / t (E f ) 1.

E f

Обозначим множитель

exp[

a (E ) dE

]

как (E) .

E

t (E )

E

а) в случае когда поглощения нет, то имеем спектр Ферми.

Ф(E) S0 / s E g(E) S0

в этом случае нейтрон испущенный моноэнергетическим источником достигают любого значения из интервала замедления, т.е. через весь интервал энергий.

б) поглощение есть. Плотность замедления будет меньше на количество поглотившихся нейтронов.

Т.о. это отношение числа нейтронов в единицу времени, в единицу объема достигших в процессе замедления энергии Е, к числу нейтронов S0 начавших процесс замедления при энергии Еf. Величину (E) называют вероятностью избежать резонансного поглощения при замедлении до энергии Е.

Ф(E) S0 /( t E) (E) - плотность потока нейтронов в водороде, Ф(U ) S0 / t (U ) -тоже в шкале летаргии.

25. Спектр Максвелла для тепловых нейтронов.

Энергетическое распределение тепловых нейтронов в слабо поглощающих средах является распределением Максвелла. Правда, средняя энергия тепловых нейтронов несколько выше средней энергии теплового движения молекул среды. Последнее означает, что нейтроны фактически не достигают теплового равновесия со средой. Причина этого заключается в непрерывном поглощении нейтронов, тем более эффективном, чем ниже их скорость, и в пополнении их числа со стороны более высоких энергий при замедлении. Тем не менее, распределение нейтронов очень близко к максвелловскому, но соответствующему более высокой температуре, чем температура среды. Эта “температура нейтронов” Тn оценивается следующим образом:

30