Терёхина, Фикс - Высшая математика
.pdf2.3. nESOBSTWENNYE INTEGRALY
rANEE BYLO OTME^ENO, ^TO, ESLI FUNKCIQ y = f(x) { NEPRE- RYWNA ILI KUSO^NO-NEPRERYWNA W KONE^NOM INTERWALE [ a b ] TO
OPREDELENNYJ INTEGRAL (KAK PREDEL INTEGRALXNOJ SUMMY) OT DANNOJ FUNKCII W \TOM PROMEVUTKE SU]ESTWUET, RAWEN OPREDELENNOMU ^ISLU I W GEOMETRI^ESKOM SMYSLE ESTX PLO]ADX KRIWOLINEJNOJ TRAPECII. eSLI PROMEVUTOK BESKONE^EN ILI FUNKCIQ NEOGRANI^ENA W KONE^- NOM INTERWALE, TO INTEGRAL NELXZQ OPREDELITX KAK PREDEL INTEG-
RALXNOJ SUMMY T.K.:
BESKONE^NYJ PROMEVUTOK NELXZQ RAZBITX NA KONE^NOE ^ISLO PRO- MEVUTKOW KONE^NOJ DLINY,
W SLU^AET VE NEOGRANI^ENNOJ FUNKCII INTEGRALXNU@ SUMMU FOR- MALXNO SOSTAWITX MOVNO, NO ONA NE BUDET IMETX KONE^NOGO PREDELA. w SOOTWETSTWII SO SKAZANNYM RAZLI^A@T DWA TIPA NESOBSTWENNYH
INTEGRALOW.
2.3.1. iNTEGRAL PO BESKONE^NOMU PROMEVUTKU
pUSTX FUNKCIQ y = f(x) NEPRERYWNA W POLUBESKONE^NOM PROMEVUTKE
[a 1). |
|
|
|
o P R E D E L E N I E. |
nESOBSTWENNYM INTEGRALOM I-GO RODA NAZYWA- |
||
ETSQ KONE^NYJ ILI BESKONE^NYJ PREDEL WIDA |
|||
1 |
b |
|
|
f(x) dx = blim!1 Za |
|
|
|
Za |
f(x) dx: |
||
k NESOBSTWENNOMU INTEGRALAM I-GO RODA OTNOSITSQ TAKVE INTEGRAL |
|||
b |
|
b |
|
Z f(x) dx = a!;1lim |
Za |
f(x) dx: |
|
;1 |
|
|
|
oPREDELENIE NESOBSTWENNOGO INTEGRALA DAET ODNOWREMENNO I METOD EGO WY^ISLENIQ. wY^ISLENIE TAKIH INTEGRALOW SWODITSQ K NAHOV- DENI@ PREDELA OBY^NOGO OPREDELENNOGO INTEGRALA, KOTORYJ MOVET BYTX NAJDEN PO FORMULE nX@TONA - lEJBNICA.
tAK, ESLI FUNKCIQ y = f(x) NEPRERYWNA NA INTERWALE I 62F(x); PERWOOBRAZNAQ DLQ f(x) TO
Z1f(x) dx = blim F(x) |
|
b |
||
|
a = blim F (b) ; F(a): |
|||
a |
!1 |
!1 |
||
|
eSLI \TOT PREDEL SU]ESTWUET, TO INTEGRAL S H O D I T S Q. w PROTIW- NOM SLU^AE INTEGRAL R A S H O D I T S Q.
aNALOGI^NO MOVET BYTX RASSMOTREN INTEGRAL
b |
|
b |
|
|
|
|
|
Z |
f(x)dx= |
lim |
f(x)dx= |
lim (F(b) |
; |
F (a))= F (b) |
lim F (a): |
|
a!;1 Za |
|
a!;1 |
|
;a!;1 |
||
;1 |
|
|
|
|
|
|
|
iTAK, PRI WY^ISLENII NESOBSTWENNYH INTEGRALOW I- GO TIPA MY ZAME- NQEM BESKONE^NYJ PREDEL INTEGRIROWANIQ PEREMENNYM WERHNIM (ILI NIVNIM) PREDELOM, RE[AEM INTEGRAL KAK OBY^NYJ OPREDELENNYJ, A ZATEM PEREHODIM K PREDELU PRI b ! +1 (ILI a ! ;1:)
iNTEGRAL S DWUMQ BESKONE^NYMI PREDELAMI OPREDELQETSQ TAK
1 |
c |
1 |
|
f(x) dx = Z |
|
||
Z |
f(x) dx + Zc |
f(x) dx: |
|
;1 |
;1 |
|
|
mOVNO NE PRIBEGATX K WWEDENI@ PROMEVUTO^NOJ TO^KI c I WY^ISLQTX DWOJNOJ PREDEL
Z1 f(x)dx = a |
|
b |
|
|
|
lim |
Za |
f(x)dx = blim |
F (b) ; a lim F(a): |
||
;1 |
|
! ;1 |
|
!1 |
!;1 |
|
b ! +1 |
|
|
|
w GEOMETRI^ESKOM SMYSLE NESOBSTWENNYE INTEGRALY I-GO RODA MOVNO
RASSMATRIWATX KAK PLO]ADI BESKONE^NYH WPRAWO, WLEWO ILI W OBE STORONY KRIWOLINEJNYH TRAPECIJ.
1 |
dx |
|
b |
dx |
|
|
|
|
1: Z |
|
= blim |
Z |
|
|
= blim arctg x |
||
1 + x2 |
1 + x2 |
|||||||
0 |
|
!1 |
0 |
|
|
!1 |
||
= blim arctg b ; arctg 0 = |
: |
|||||||
2 |
||||||||
!1 |
|
|
|
|
|
|
b
0 = iNTEGRAL SHODITSQ.
63
|
|
1 |
|
|
dx |
|
= blim Z |
b |
|
d (ln x) |
|
|
|
|
|
|
0; |
|
1 |
|
|
|
b |
|
|
1 = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2: Z |
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|
|
|
|
|
|
= blim |
|
|
|
p |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x ln3 x |
|
|
|
|
ln3 x |
|
|
|
2 ln2 x |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
e |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
pe |
|
|
|
|
|
|
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|
|
!1pe |
|
|
|
|
|
|
|
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|
!1 |
|
@ |
|
|
|
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|
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|
|
A |
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
0 lim |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
= |
;2 |
(0 |
; |
|
4) = 2. |
|
|
|
|
iNTEGRAL SHODITSQ. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
;2 @b!1 ln b ; ln |
peA |
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
d(x + 3) |
|
|
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|
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|
|
b |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
Z |
|
|
|
|
: blim 2px + 3 |
|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
3: |
Z |
p |
|
|
= blim |
|
|
|
p |
|
|
= |
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x + 3 |
|
|
|
x + 3 |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
iNTEGRAL |
|
|
|||||||||||||
|
= lim 2p |
b + 3 |
; |
2p |
4 |
= |
1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RASHODITSQ. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
x cos x dx = a!;1lim 0x sin x |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4: |
|
Z |
|
a + cos x |
|
a1 = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
;1 |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
a sin a |
+ 1@ |
|
|
|
lim |
cos a: |
|
|
|
A |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; a!;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; a!;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
iNTEGRAL RASHODITSQ T.K. KONE^NOGO PREDELA NET, POSKOLXKU |
sin 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos 1 |
|
|
|
|
HOTQ I OGRANI^ENY, |
NO KONKRETNYH ^ISLOWYH ZNA^ENIJ NE |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
IME@T. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 arctg2x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Za |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
5: |
Z |
|
|
1 + x2 |
|
|
|
= a |
|
|
|
lim |
|
|
arctg2 x d (arctg x) = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! ;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b b |
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
arctg3 x |
|
! |
|
|
|
|
|
1 |
arctg3 b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 arctg3 |
|
|||||||||||||||||||||||||
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
lim |
a = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
! ;1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
b!+1 |
3 |
|
|
|
|
|
; a!;1 |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
+ |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
1 |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1! |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= |
|
! |
; |
|
|
|
|
;2 ! |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
+ |
3 8 = |
|
|
|
|
3: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3 2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 8 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iNTEGRAL SHODITSQ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zDESX PRI WY^ISLENII ISPOLXZOWANY ZNA^ENIQ arctg( 1) =
2
w RQDE SLU^AEW NAHOVDENIE PERWOOBRAZNOJ FUNKCII TREBUET LIBO GROMOZDKIH WY^ISLENIJ, LIBO PERWOOBRAZNOJ W KLASSE \LEMENTARNYH FUNKCIJ NE SU]ESTWUET (INTEGRAL NEBERU]IJSQ). w TAKIH SLU^AQH NA PERWYJ PLAN WYSTUPAET RE[ENIE WOPROSA O SU]ESTWOWANII INTEGRALA WOOB]E, T.E. O EGO SHODIMOSTI. tOGDA, ESLI INTEGRAL RASHODITSQ, TO I NE NUVNO PRISTUPATX K EGO WY^ISLENI@. eSLI VE WYQSNITSQ, ^TO INTEGRAL SHODITSQ, TOGDA, PRI NEOBHODIMOSTI, NUVNO ISPOLXZOWATX WSE WOZMOVNYE PRIEMY DLQ EGO WY^ISLENIQ.
oSTANOWIMSQ PODROBNEE NA WOPROSE O PRIZNAKAH SHODIMOSTI NESOB- STWENNYH INTEGRALOW I-GO RODA.
64
pRIZNAK SRAWNENIQ
pUSTX DLQ WSEH (PO KRAJNEJ MERE DLQ DOSTATO^NO BOLX[IH) ZNA^E-
NIJ x WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jf(x)j jg(x)j: |
tOGDA, |
|
|
1 |
|
1 |
|
ESLI SHODITSQ INTEGRAL aZ |
g(x) dx TO SHODITSQ I INTEGRAL aZ |
f(x) dx: |
|
|
1 |
|
1 |
eSLI RASHODITSQ INTEGRAL |
Za |
|
Za |
f(x)dx TO RASHODITSQ I INTEGRAL |
g(x)dx: |
iLI, DRUGIMI SLOWAMI, ESLI SHODITSQ INTEGRAL OT BOLX[EJ FUNK- CII, TO SHODITSQ INTEGRAL I OT MENX[EJ FUNKCII.
eSLI RASHODITSQ INTEGRAL OT MENX[EJ FUNKCII, TO INTEGRAL OT BOLX[EJ FUNKCII TEM BOLEE RASHODITSQ.
~A]E WSEGO NA PRAKTIKE ISPOLXZUETSQ PREDELXNYJ WARIANT PRI- ZNAKA SRAWNENIQ, SUTX KOTOROGO KRATKO MOVNO SFORMULIROWATX SLE-
DU@]IM OBRAZOM. |
|
|
|
|
|
eSLI PREDEL OTNO[ENIQ DWUH FUNKCIJ lim |
f(x) |
= Const |
6 |
= 0 |
|
x!1 |
'(x) |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
TO NESOBSTWENNYE INTEGRALY OT \TIH FUNKCIJ Za g(x) dx |
Za |
f(x) dx |
WEDUT SEBQ ODINAKOWO { LIBO OBA SHODQTSQ, LIBO OBA RASHODQTSQ.
pRI ISPOLXZOWANII PRIZNAKA SRAWNENIQ W KA^ESTWE FUNKCII, S KO- TOROJ SRAWNIWAETSQ PODYNTEGRALXNAQ, ISPOLXZU@TSQ DWE
g(x) = xAk I g(x) = qx:
mOVNO DOKAZATX, ^TO NESOBSTWENNYE INTEGRALY OT \TIH FUNKCIJ WE- DUT SEBQ SLEDU@]IM OBRAZOM:
1dx |
|
k > 1 SHODITSQ |
1 |
q < 1 SHODITSQ |
|||||
aZ xk |
PRI |
k |
|
1 RASHODITSQ: |
Za qx dx PRI |
q |
|
1 RASHODITSQ: |
|
iTAK, NESOBSTWENNYJ INTEGRAL S BESKONE^NYMI PREDELAMI SHODITSQ, |
|||||||||
ESLI PRI x |
! 1 |
|
A |
|
|
|
|||
|
|
|
PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ QWLQETSQ BESKONE^NO |
MALOJ FUNKCIEJ, \KWIWALENTNOJ xk k > 1 ILI iSSLEDUEM NA SHODIMOSTX INTEGRALY.
65
1: |
1 |
(3x + 2) dx |
|
|
|
iNTEGRAL SHODITSQ, T.K. PRI x ! 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Z |
x3 + 4x |
|
|
1: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
k = 2 > 1: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 + 4x |
; 1 |
x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
( px + 2x + 5) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2: |
Z |
|
|
: |
|
|
|
iNTEGRAL RASHODITSQ, T.K. PRI x ! ;1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4x2 + 4x + 10 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
;1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
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|
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||||||||||||||||
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px + 2x + 5 |
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k = 1: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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4x2 + 4x + 10 |
4x2 |
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2x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
1 |
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(x + 2) dx |
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||||||||||||
3: Z |
|
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|
: |
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|
iNTEGRAL RASHODITSQ, T.K. PRI |
x ! 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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(x2 + x + 1)4 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
2 |
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|
q |
|
|
|
|
x + 2 |
|
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|
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|
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|
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|
x |
|
|
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|
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1 |
k = 3=5 < 1: |
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||||||||||||||
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5 |
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|
|
|
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5 |
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|
3=5 |
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|||||||||
|
|
|
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|
2 |
x |
|
|
|
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4 |
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|||||||||||||||||
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qx |
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|
||||||
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
(x + x + 1) px8 x |
|
|
|
|
|
|
! 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x + 5x |
|
|
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|
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|||||||||||||||||
|
4: |
1 |
3 |
|
; 4 |
dx: |
|
|
|
|
iNTEGRAL SHODITSQ, T.K. PRI x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 3x |
|
; |
4x |
|
;4x |
|
|
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|
|
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|
|
4 |
! |
x |
q = |
4 < 1: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
2x |
|
+ 5x |
|
5x ; |
|
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5 |
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|
5 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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dx |
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|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
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|
|
+1 |
dx |
|
|
|
||||||||||||
5: Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
= Z |
|
|
|
|
|
+ Z |
|
: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 + 2x + ex |
|
1 + 2x + ex |
1 + 2x + ex |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
;1 |
|
|
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|
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|
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|
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|
0 |
|
|
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|
|||||||||
|
|
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|
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|
|
|
|||||||||||
iNTEGRAL RASHODITSQ, T.K. RASHODITSQ PERWYJ INTEGRAL: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
||||
1) |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
iNTEGRAL RASHODITSQ, T.K. PRI x ! ;1 ex ! 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 + 2x + ex |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
k = 1: |
|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 + 2x + ex |
1 + 2x |
2x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
+1 |
|
|
|
|
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dx |
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
Z |
|
|
: iNTEGRAL SHODITSQ, T.K. PRI x ! +1 |
ex 2x + 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 + 2x + ex |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||
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|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e! |
|
|
q = 1=e < 1: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 + 2x + ex |
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pRI ASIMPTOTI^ESKOM PREDSTAWLENII FUNKCII ^ASTO ISPOLXZUETSQ
TABLICA \KWIWALENTNYH BESKONE^NO MALYH WELI^IN. |
2(x) |
|
||||||
sin (x) (x) |
arcsin (x) (x) |
1 ; cos (x) |
|
|||||
2 |
||||||||
tg (x) (x) |
arctg (x) (x) |
ln(1 + (x)) (x) |
||||||
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||
e (x) ; 1 (x) |
q1 + (x) ; 1 |
|
: |
|
|
|||
n |
|
|
66
1arctg(1=x) |
dx: |
iNTEGRAL SHODITSQ, T.K. PRI x ! 1 |
|||||||
6: Z |
2x |
; |
3 |
||||||
1 |
|
|
|
1=x |
1 |
|
|||
|
arctg(1=x) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
k = 2 > 1: |
||
|
2x ; 3 |
|
2x |
2x2 |
2.3.2. iNTEGRAL OT NEOGRANI^ENNOJ FUNKCII
pUSTX FUNKCIQ y = f(x) NEPRERYWNA W POLUOTKRYTOM KONE^NOM PRO-
MEVUTKE [a |
b) I |
lim |
|
f(x) = |
1 |
|
T.E. FUNKCIQ NA PRAWOM KONCE |
||||||
|
|
x!b;0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
PROMEVUTKA TERPIT BESKONE^NYJ RAZRYW. tOGDA |
|
|
|||||||||||
o P R E D E L E N I E. |
nESOBSTWENNYM INTEGRALOM II-GO RODA NAZY- |
||||||||||||
WAETSQ KONE^NYJ ILI BESKONE^NYJ PREDEL WIDA |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b;" |
|
|
|
|
|
|
aZ |
|
f(x) dx = lim |
f(x) dx: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
"!0 |
Za |
|
|
|
|
||
tAK KAK W PROMEVUTKE |
|
[a b ; "] |
FUNKCIQ y = f(x) QWLQETSQ NEPRE- |
||||||||||
RYWNOJ, TO INTEGRAL |
bZ;"f(x) dx QWLQETSQ OBY^NYM OPREDELENNYM |
||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
INTEGRALOM I K NEMU PRIMENIMA FORMULA nX@TONA-lEJBNICA. |
|||||||||||||
b |
|
|
|
|
b; |
|
|
|
|
|
|
|
|
aZ |
f(x) dx = lim |
f(x) dx = lim F(b |
; |
") |
; |
F (a): |
|||||||
|
"!0 |
Za |
|
|
|
!0 |
|
|
eSLI FUNKCIQ y = f(x) NEPRERYWNA W KONE^NOM PROMEVUTKE (a b] I
lim f(x) = 1 T.E. BESKONE^NYJ RAZRYW FUNKCIQ TERPIT NA LEWOM
x!a+0
KONCE PROMEVUTKA, TO IMEEM INTEGRAL WIDA
b |
" |
0 |
b |
|
Za |
Z |
|
||
|
f(x) dx = lim |
|
f(x) dx: |
|
|
|
! a+" |
|
oPREDELQETSQ ON PO ANALOGI^NOJ SHEME
b |
|
|
b |
|
|
|
|
Za |
f(x) dx = lim |
Z |
f(x) dx = F (b) |
lim (F (a + ")) : |
|||
" |
0 |
|
; " |
! |
0 |
||
|
|
! |
a+" |
|
|
|
eSLI FUNKCIQ TERPIT BESKONE^NYJ RAZRYW WO WNUTRENNEJ TO^KE c PROMEVUTKA, TO NESOBSTWENNYJ INTEGRAL OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM
67
Zb f(x) dx = Zc |
f(x) dx + Zb f(x) dx: |
|
a |
a |
c |
w KAVDOM IZ SLAGAEMYH RAZRYW PROISHODIT NA ODNOM IZ KONCOW PRO- MEVUTKA I ZADA^A SWODITSQ K UVE RASSMOTRENNYM WY[E SLU^AQM
b |
" |
0 |
c;" |
" |
0 |
b |
|
Z |
Z |
Z |
|
||||
|
f(x) dx = lim |
f(x) dx + lim |
|
f(x) dx: |
|||
a |
! |
|
a |
|
! c+" |
|
tAKIM OBRAZOM, PRI RASSMOTRENII NESOBSTWENNYH INTEGRALOW II-GO RODA MY OTSTUPAEM OT TO^KI RAZRYWA WNUTRX PROMEVUTKA NA MALU@, STREMQ]U@SQ K NUL@, WELI^INU " WY^ISLQEM POLU^A@]IJSQ INTEG- RAL PO FORMULE nX@TONA - lEJBNICA, A ZATEM PEREHODIM K PREDELU PRI " ! 0:
eSLI PREDEL SU]ESTWUET, TO INTEGRAL NAZYWAETSQ SHODQ]IMSQ, ES- LI NET, TO RASHODQ]IMSQ.
w GEOMETRI^ESKOM SMYSLE NESOBSTWENNYE INTEGRALY II-GO RODA ESTX TAKVE PLO]ADI BESKONE^NYH KRIWOLINEJNYH TRAPECIJ.
z A M E ^ A N I E. pOSKOLXKU PO WNE[NEMU WIDU NESOBSTWENNYJ INTEG- RAL II-GO RODA NE OTLI^AETSQ OT OBY^NOGO OPREDELENNOGO INTEGRALA, TO PRI RE[ENII OPREDELENNOGO INTEGRALA NEOBHODIMO PREVDE WSEGO PROWERITX, NE QWLQETSQ LI ON NESOBSTWENNYM. dLQ \TOGO NUVNO ISSLE- DOWATX PODYNTEGRALXNU@ FUNKCI@ NA NEPRERYWNOSTX, T.E. UZNATX, NE IMEET LI ONA TO^EK RAZRYWA II-GO RODA W INTERWALE INTEGRIROWANIQ, A ZATEM UVE PRISTUPATX K WY^ISLENIQM SOOTWETSTWENNO SITUACII. pEREJDEM K RE[ENI@ PRIMEROW.
5 |
|
dx |
|
|
|
1: Z |
p |
|
: pODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ STREMITSQ K BESKONE^- |
||
|
|
|
|||
x |
; |
1 |
|||
1 |
|
|
|
|
|
NOSTI PRI x |
! 1 PO\TOMU DEJSTWUEM PO OPREDELENI@ NESOBSTWENNOGO |
||||
INTEGRALA |
|
|
|
68
5 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
5 |
|
|
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|
dx |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
5 |
|
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|
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|
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|
|
|
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|||||
Z |
|
|
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|
|
|
|
= lim |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
= lim 2px |
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
p |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
p |
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
" |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
|
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
; |
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! 1+" |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
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||||||||||||||
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|
|
|
|
|
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|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
p5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(1 + ") |
|
1 |
|
|
= 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = 4: |
|||||||||||||||||||||||||
= lim 2 |
|
; |
; q |
; |
|
|
|
|
|
lim(2p") = 4 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
"!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; "!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
nESOBSTWENNYJ INTEGRAL SHODITSQ. |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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NEJ TO^KE PROMEVUTKA PRI x = 0, T.K. lim p3 = +1 PO\TOMU
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DEJSTWUEM PO OPREDELENI@ NESOBSTWENNOGO INTEGRALA.
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nESOBSTWENNYJ INTEGRAL SHODITSQ.
kAK I DLQ INTEGRALOW I-GO TIPA W RQDE SLU^AEW, KOGDA NEPOSREDST- WENNOE WY^ISLENIE INTEGRALA ZATRUDNITELXNO, LIBO INTEGRAL NEBE- RU]IJSQ, NA PERWYJ PLAN WYSTUPAET RE[ENIE WOPROSA O SU]ESTWOWA- NII INTEGRALA WOOB]E. oSTANOWIMSQ PODROBNEE NA WOPROSE O PRIZNA- KAH SHODIMOSTI NESOBSTWENNYH INTEGRALOW II-GO RODA.
69
pRIZNAK SRAWNENIQ
|
b |
|
dLQ NESOBSTWENNYH INTEGRALOW 2-GO RODA |
Za |
g(x) dx MOVNO |
SFORMULIROWATX PRIZNAKI SRAWNENIQ TAKVE, |
KAK I DLQ INTEGRALOW |
1-GO RODA.
nA PRAKTIKE ^ASTO ISPOLXZUETSQ PREDELXNYJ WARIANT PRIZNAKA SRAWNENIQ PRI\TOM W KA^ESTWE [ABLONNOJ FUNKCII, S KOTOROJ SRAW- NIWAETSQ PODYNTEGRALXNAQ, ISPOLXZU@TSQ FUNKCII WIDA
A |
A |
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|
|
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(x ; a)k |
PERWAQ IZ NIH IMEET BESKONE^NYJ RAZRYW W TO^KE x = b A WTORAQ { W TO^KE x = a:
lEGKO POKAZATX, ^TO NESOBSTWENNYE INTEGRALY OT \TOJ FUNKCIJ WE- DUT SEBQ SLEDU@]IM OBRAZOM:
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b |
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a |
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|
|
|
|
|
|
|
tAKIM OBRAZOM, PRI RE[ENII WOPROSA O SHODIMOSTI NESOBSTWENNYH INTEGRALOW II-GO RODA SLEDUET
{ OPREDELITX TO^KU RAZRYWA PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII,
{ PODYNTEGRALXNU@ FUNKCI@ WBLIZI TO^KI RAZRYWA PREDSTAWITX
A A
(b ; x)k ILI (x ; a)k
ZOWANIE TABLICY \KWIWALENTNYH BESKONE^NO MALYH WELI^IN),
{ PO WELI^INE POKAZATELQ STEPENI "k" SDELATX WYWOD O SHODIMOSTI ISHODNOGO INTEGRALA.
iSSLEDUEM NA SHODIMOSTX SLEDU@]IE INTEGRALY.
|
|
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|
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|
|
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(1+x)2=3 |
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53=2 |
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x3=2 |
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pRIWEDEM PRIMERY ISPOLXZOWANIQ TABLICY \KWIWALENTNYH BESKONE^-
NO MALYH WELI^IN. |
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2 |
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dx |
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7: |
Z |
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: |
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pODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ TERPIT BESKONE^NYJ |
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ex+1 |
; |
1 |
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;1 |
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1 |
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RAZRYW PRI |
x = |
; |
1 TAK KAK |
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lim |
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= |
1 |
: |
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1 |
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x |
!; |
1+0 ex+1 |
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x+1 |
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iMEEM, ^TO PRI x ! ;1 (x + 1) ! 0 |
; 1 |
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(x + 1) |
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e; |
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PO\TOMU |
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1 |
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1 |
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: |
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iNTEGRAL RASHODITSQ, T.K. k = 1 |
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0 |
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ex+1 |
; 1 |
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(x + 1) |
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8: |
Z |
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dx |
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: pODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ TERPIT BESKONE^- |
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p5 |
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1 ; cos x |
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;2 |
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1 |
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NYJ RAZRYW PRI x = 0 |
2 |
[ |
; |
2 0]: |
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xlim0 |
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|
= |
1 |
: |
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5 |
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iMEEM, ^TO PRI x ! 0 |
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!; |
p1 |
; cos x |
|
2 |
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(1 ; cos x) ! 0 |
1 ; cos x |
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(x =2) PO- |
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\TOMU |
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1 |
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1 |
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A |
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iNTEGRAL SHODITSQ, |
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=2) x2=5 |
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p5 1 |
; |
cos x |
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5 (x2 |
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q |
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T.K. k = 2=5 < 1: |
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