Лекции по физике

Таким образом, если теория верна, то атомы ртути, бомбардируемые электронами с энергией 4,86 эВ, должны являться источником ультрафиолетового излучения с λ ≈ 255 нм. Опыт действительно обнаруживает одну ультрафиолетовую линию с λ ≈ 255 нм.

Таким образом, опыты Франка и Герца экспериментально подтвердили не только первый, но и второй постулаты Бора. Эти опыты сыграли огромное значение в развитии атомной физики.

211

5. Атом водорода с точки зрения квантовой механики

Теория Бора сыграла немалую роль в развитии атомной спектроскопии. Она позволила объяснить природу

характеристических рентгеновских спектров, помогла разобраться в строении периодической системы элементов, вскрыть многие детали строения атомов. Тем не менее эта теория не лишена недостатков. Главный из них – это внутренняя противоречивость теории, так как она основана на механическом соединении законов классической физики и квантовых постулатов. Недостаточность теории Бора выявилась уже при ее применении к атому водорода: давая правильно значения длин волн (частот) спектральных линий она не дает возможности вычислить их интенсивности. В рамках этой теории оказалось невозможным создать теорию даже двухвалентного атома – атома гелия. Постепенно становилось очевидным, что теория Бора правильно объясняя одни факты и не позволяющая истолковать ряд других фактов представляет переходной этап от классической к квантовой механике. 212

Согласно квантовой механике, не существует определенных круговых орбит электронов, как в теории Бора. В силу волновой природы электрон «размазан» в пространстве, подобно «облаку» отрицательного заряда. Для основного состояния атома волновая функция, характеризующая состояние электрона в атоме, имеет вид:

Ψ(r) =	1		− r
			e r1	,	(15)
	πr	3
	1

где Ψ(r) – волновая функция положения завит от расстояния r до центра.

Постоянная r1 совпадает с радиусом первой боровской орбиты.

	Электронное облако в основном состоянии
	водорода сферически симметрично, как
	показано на рис. 1.
	Электронное облако можно интерпретировать
Рис. 1	как распределение вероятности обнаружить в
	нём данную частицу.	213

Электронное облако грубо характеризует «размеры» атома, но, поскольку облако может не иметь четко выраженные границы, атомы также не имеют ни точной границы, ни одного определенного размера.

Электронное облако можно интерпретировать как с корпускулярной, так и с волновой точки зрения. Напомним, что под частицей мы понимаем нечто локализованное в пространстве: в любой момент времени частица занимает вполне определенное положение в пространстве. Следовательно, размытое в пространстве облако является результатом волновой природы электронов. Электронное облако можно также интерпретировать как распределение вероятности обнаружить в нём данную частицу. 214

В атоме водорода и водородоподобных ионах (Не+, Li2+ и др.) электрон движется в сферически симметричном поле ядра с зарядом Ze (для атома водорода Z = 1). Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром выражается формулой

	U (r) = −	Ze2	,	(16)
		4πε 0r

где r расстояние между электроном и ядром.

На этом рисунке представлена зависимость потенциальной энергии энергии взаимодействия U(r) электрона с ядром атома (красная кривая). U(r) с уменьшением r (при приближении электрона к ядру) неограниченно убывает215 .

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией , удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера, учитывающему формулу (2)

∂

ψ2

+

∂

ψ2

+

∂

ψ2 +

2 E +

2

ψ = 0.

(16)

2

2

2

2m

Ze2

∂x

∂y

∂z

h

4πε 0r

На этом рисунке представлена зависимость потенциальной энергии энергии взаимодействия U(r) электрона с ядром атома (красная кривая). U(r) с

Рис. 2	уменьшением	r		(при приближении
	электрона к ядру	)		216 .
			неограниченно убывает

Поскольку поле, в котором движется электрон в атоме водорода и водородоподобных ионах является центрально-симметричным, то для решения уравнения (16) удобнее воспользоваться сферической системой координат: r, θ и φ. Выразив оператор Лапласа в этих координатах, уравнение (16) запишется в виде:

1

∂

2

∂Ψ

1

∂

∂ψ

1 ∂2ψ

2m

Ze2

r

+

sinθ

+

+

E +

ψ = 0

(17)

r

2

r

2

∂θ

2

r

2

sinθ ∂φ

2

h

∂r

∂r

sinθ ∂θ

r

Уравнение (17) имеет однозначные, конечные и непрерывные решения в двух случаях: 1) при любых положительных значениях Е и 2) при дискретных отрицательных значениях энергии, равных

		mZ 2e4				1
En	= −							,	где n = 1, 2, 3, …	(18)
		8ε	2	2		n	2
			0 h							217

Случай Е >0 соответствует электрону, удаляющемуся от ядра атома на бесконечность (ионизированный атом). Случай Е < 0, соответствует электрону, связанному с атомом.

Таким образом, квантовая механика дает те же значения энергии водородного атома, как и теория Бора. Собственные функции уравнения (17) содержат три целочисленные параметра n, l и m:

ψ=ψnlm (r,θ ,ϕ )

(19)

Параметр n, называемый главным квантовым числом, совпадает с номером уровня энергии (см. формулу (10) а также рис. 6). Параметры l и m представляют собой азимутальное и магнитное квантовые числа, определяющие модуль момента импульса электрона и

проекцию момента на некоторое направление z.	218

Решения уравнения (17), удовлетворяющие непрерывности, однозначности и конечности волновой функции получаются лишь для значений l, не превышающих (n – 1). Следовательно, при данном n квантовое число l может принимать n различных значений:

l = 0, 1, 2, 3, …, (n – 1).

(20)

При данном l квантовое число m может принимать (2l + 1) различных значений:

m = – l, – (l + 1), …, – 1, 0, +1, +2, …, (l – 1), l . (21)

Поскольку энергия электрона зависит от гл. кв. числа n, то каждому собственному значению энергии Еn (кроме Е1) соответствует несколько собственных функций ψ= ψnlm , отличающимися значениями квантовых чисел l и m.

219

Это означает, что атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях. Эти состояния (состояния с одинаковой энергией) называются вырожденными, а число таких состояний с каким-либо значением энергии называется кратностью вырождения соответствующего энергетического уровня.

Кратность вырождения энергетическиъх укровней водорода легко вычислить, исходя из возможных значений l и n. Каждому из n значений квантового числа l соответствует (2l + 1) значений квантового числа m. Следовательно, число различных состояний, соответствующих данному n, равно

n−1
∑(2l +1) = n2 .	(21)

l=0

Состояния с различными значениями азимутального квантового числа l отличаются величиной момента импульса, величина которого, согласно представлениям квантовой механики определяется соотношением:

	Le	=	h	l(l +1).	(22)
			2π
					220