ДГМ_лк1

Пример 1-4. Во время контрольных испытаний некоторой системы на заводе-изготовителе обнаружились отказы в ее работе, по характеру приближенно подчиняющиеся γ-распределению с параметром асимметрии k>1. Определить вероятность безотказной работы системы и интенсивность ее отказов для двух промежутков времени: t = 200 и 1000 ч, а также

вычислить среднюю наработку ее до первого отказа, если параметры λ0=10-3

ч-1 и k=2.

Решение.

Вероятность безотказной работы, или надежность, системы по первому уравнению (1-25) для указанных двух промежутков времени работы будет:

Интенсивность отказов системы для тех же промежутков времени по третьему уравнению (1-25) будет:

Средняя наработка до первого отказа системы по последнему уравнению (1-25) будет

Как показывают полученные данные, уровень надежности системы с увеличением промежутка времени работы заметно понижается, а интенсивность ее отказов – возрастает.

Распределение Вейбулла. При этом распределении частота отказов технического устройства a(t) или плотность вероятности их f(t) представляется следующим уравнением [12]:

где λ0 – параметр, определяющий масштаб, a k – параметр асимметрии распределения.

В этом случае вероятность безотказной работы устройства P(t), вероятность отказов его Q(t), интенсивность отказов λ(t) п средняя наработка до первого отказа TСР на основании уравнений (1-2), (1-6), (1-8) и (1-14), с учетом уравнения (1-26), будут:

где – γ-функция, определяемая по табл. П-6 по значению 1/ k 1 .

На рис. 1-9 представлены по уравнениям (1-26) и (1-27) количественные характеристики надежности и других величии технического устройства, изменяющиеся во времени по распределению Вейбулла [12]. При значении параметра k=1 распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение; при k>1 интенсивность отказов начинается с нуля и возрастает с течением времени; при k<1 интенсивность отказов начинается с +∞ и с течением времени стремится к нулю. К распределению Вейбулла можно приближенно отнести, например, изменение во времени надежности шарикоподшипников. В целях иллюстрации использования уравнений (1-27) для оценки надежности электрической машины приводится числовой пример.

Пример 1-5. Частота отказов но времени электрической машины на шарикоподшипниках приближенно подчиняется распределению Вейбулла с параметрами k=1,5 и λ0=2·10-6 ч-1,5. Определить вероятность безотказной работы машины и интенсивность ее отказов для трех промежутков времени работы t = 500, 1000 и 2000 ч, а также вычислить среднюю наработку до первого отказа.

Решение.

Вероятность безотказной работы, пли надежность, машины по первому уравнению (1-27) для указанных трех промежутков времени работы будет:

Интенсивность отказов машины но третьему уравнению (1-27) для тех же промежутков времени работы будет:

Средняя наработка до первого отказа по последнему уравнению (1-27) будет

где γ-функция по табл. П-6 Г(1,67) =0,9033.

Как показывают полученные данные, с увеличением продолжительности режима работы электрической машины на шарикоподшипниках происходит непрерывное возрастание интенсивности ее отказов λ(t) и уровень надежности такой машины понижается быстрее, чем при экспоненциальном распределении.

Биномиальное распределение. Это распределение по своей форме описывает появление событий, имеющих два исхода, взаимно исключающих друг друга [33]. Например, этими исходами в каких-то событиях могут быть такие признаки, как «хороший» или «плохой», «черный» или «белый», «исправный» или «неисправный» и т. п. Если, например, в партии из 100 изделий 90 – годных и 10 – бракованных, то вероятность появления тех и других выражается в виде 0,90 годных изделий и 0,10 – бракованных. Сумма вероятностей появления годных и бракованных изделий равна единице. Если в генеральную совокупность одинаковых изделий входят доля q исправных и доля p неисправных изделий, то

Если из большой партии одинаковых изделий, содержащей p% неисправных, берется выборка в количестве n изделий, то вероятность появления различного числа неисправных изделий в этих выборках определяется коэффициентами членов биномиального разложения

или

где – доля единицы неисправных изделии в партии, а q – доля исправных.

В уравнении (1-30) первый член qn показывает вероятность отсутствия неисправных изделий в выборке объемом из n образцов, второй член n·qn-1·p

дает вероятность появления в				выборке одного	неисправного изделия,
третий член	n n 1	qn 2	p2	– вероятность	появления в выборке n
	2!

неисправных изделий.

Для иллюстрации применения биномиального разложения по уравнению (1-30) для оценки вероятности появления неисправных изделий при выборке нескольких из образцов большой партии приводится числовой пример.

Пример 1-6. Из большой партии сельсинов типа НС-404, содержащей p%=5% неисправных образцов, берется для использования в объекте выборка из четырех машин (n=4). Определить вероятности появления в выборках 0, 1,

2, 3 или 4 неисправных сельсинов: p 100p% 0,05 , q=0,95 при этом q p 4 1. Решение. Вероятность появления в выборке 0 неисправных сельсинов

q4= (0,95)4= 0,8145

Вероятность появления в выборке 1 неисправного сельсина

4·q3·p = 4·(0,95)3·0,05= 0,1715

Вероятность появления в выборке 2 неисправных сельсинов

6·q2·p2 = 6·(0,95)2·(0,05)2= 0,0136

Вероятность появления в выборке 3 неисправных сельсинов

4·q·p3 = 4·(0,95) (0,05) 3= 0,0004

Вероятность появления в выборке 4 неисправных сельсинов p4 = (0,05) 4= 0,0000

Полная вероятность равна 1,0000.

Как показывает данный пример, в выборке из партии машин, состоящей из четырех сельсинов, вероятность отсутствия в ней неисправных образцов составляет 0,8145, а вероятность появления в этой выборке четырех неисправных сельсинов равна нулю.

Таким образом, в случае биномиального распределения берут из партии изделий выборку определенного объема n и наблюдают по уравнению (1-30) число появлений какого-то события, например количество неисправных изделий в выборке. При этом число исправных и неисправных изделий в сумме должно равняться объему выборки n.

Распределение Пуассона. В случае распределения Пуассона имеют дело с событиями, изолированными во времени или в пространстве. Так, число отказов в работе какого-либо технического устройства в течение некоторого промежутка времени характеризует собой появление изолированных во времени событий.

Распределение Пуассона, как и биномиальное, так же состоит из ряда членов, каждый из которых соответственно определяет вероятность появления 0, 1, 2, 3 или большего числа событий на единицу измерения. При

этом сумма этих вероятностей равна единице. Математически распределение Пуассона представляется в следующем виде [33]:

где a – среднее значение числа неисправностей на изделие или неисправных изделий в выборке объемом n, определяемое как произведение объема выборки n на среднее значение доли числа неисправностей на изделие или доли неисправных изделий в целой партии p’; следовательно, a=n·p’ – при этом

или

В уравнении (1-31) каждый член левой части означает:

– вероятность появления 0 неисправностей на изделие или неисправных изделий в выборке;

– вероятность появления 1 неисправности на изделие или неисправного изделия в выборке;

– вероятность появления 2 неисправностей на изделие или неисправных изделий в выборке;

– вероятность появления b неисправностей на изделие или неисправных изделий в выборке.

Распределение Пуассона удобно применять, например, при контроле качества изделий. Оно определяет основу для составления плана выборочной приемки изделий в отделах технического контроля предприятий, выпускающих серийную или массовую продукцию. Для иллюстрации применения распределения Пуассона по уравнению (1-31) для контроля качества изделий путем оценки вероятности появления неисправных изделий при выборке их из большой партии приводится числовой пример.

Пример 1-7. Из большой партии трехфазных асинхронных двигателей малой мощности типа АОЛ-12-4, содержащей p% =2% неисправных машин, берется для контроля выборка из пяти двигателей (n = 5). Нужно оценить вероятность появления в выборках 0, 1, 2, 3, 4 или 5 неисправных машин

Решение:

Вероятность появления 0 неисправных машин в выборке

Вероятность появления 1 неисправной машины в выборке

Вероятность появления 2 неисправных машин в выборке

Вероятность появления 3 неисправных машин в выборке

Вероятность появления 4 неисправных машин в выборке

Вероятность появления 5 неисправных машин в выборке

Сумма вероятностей равна 1,00.

Как показывает данный пример, в выборке из пяти двигателей вероятность отсутствия в ней неисправных образцов составляет 0,9074, а вероятность появления в этой выборке более двух неисправных двигателей практически равна нулю.

Распределение Пуассона в измененной форме можно использовать также

идля анализа надежности технических устройств. Для этой цели нужно в уравнении (1-31) положить величину b = 0 и заменить среднее значение числа неисправных изделий а произведением интенсивности отказов устройства λ в единицу времени па время его работы t, т. е. принять a = λ·t. Тогда указанное уравнение сократится до первого члена, который представляет собой вероятность нулевого отказа, или условие безотказной работы устройства:

ивероятность отказа его будет

где λ — средняя постоянная величина интенсивности отказов технического устройства в долях единицы на один час работы; t – время работы устройства в часах.

Следовательно, рассмотренная выше экспоненциальная зависимость во времени надежности технических устройств по уравнениям (1-18) является частным случаем распределения Пуассона.

1-4. РАЗЛИЧНЫЕ ПЕРИОДЫ РАБОТЫ ТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ

При рассмотрении работоспособности какого-либо технического устройства или изделия различают три периода его «жизни»: период приработки, когда при испытании устройства или изделия происходит отбраковка конструктивных, технологических и производственных дефектов, период нормальной эксплуатации, характеризующийся внезапными отказами приблизительно постоянной интенсивности, и период старения, когда появляются отказы возрастающей интенсивности, вызываемые износом устройства или изделия (рис. 1-10).

Из всех этих периодов «жизни» технического устройства, в том числе и электрической машины, главным является период нормальной эксплуатации, который характеризуется длительной работой устройства или машины при определенных климатических и других условиях применения.

Период нормальной эксплуатации устройства. В период нормальной эксплуатации технического устройства обычно происходят внезапные отказы, которые носят случайный характер. Физическая природа таких отказов обусловлена внезапной концентрацией нагрузок, действующих внутри и вне устройства. Случайность возникновения внезапных отказов проявляется в том, что события происходят неожиданно и нерегулярно. Однако в достаточно большие и приблизительно равные промежутки времени они повторяются примерно с одинаковой интенсивностью.

После периода приработки устройства, в котором интен¬сивность отказов повышенная, наступает период нормальной эксплуатации его, ь течение которого имеет место наиболее низкий уровень интенсивности внезапных отказов приблизи¬тельно постоянной величины. В этом случае экспоненциаль¬ная зависимость во времени надежности по уравнению (1-82) служит достаточной аппроксимацией событий.

На рис. 1-10 представлена примерная кривая зависимости интенсивности отказов в работе технического устройства λ от времени эксплуатации t для трех характерных периодов его работы – периода приработки, периода нормальной эксплуатации и периоду износа [16]. К такому устройству может быть отнесена и электрическая машина. Как показывает эта кривая, в начале периода «приработки» машины интенсивность отказа в ее работе может быть высока, затем она падает, и к моменту времени t = Tп – началу периода нормальной эксплуатации – интенсивность отказов становится минимальной и в среднем приблизительно постоянной величиной λ≈1/Tcp, где Tcp, – средняя наработка до первого отказа машины или устройства в часах. Когда время эксплуатации машины или устройства достигает значения t = TИ начинает сказываться износ их частей. С этого момента интенсивность отказов в работе начинает быстро возрастать, так что за период работы машины или устройства с TИ до TР вероятность отказов их может достигнуть примерно 0,5, или 50%. Время TР можно назвать средним значением времени долговечности машины или устройства с учетом износа, или их техническим ресурсом, при условии отсутствия ремонта. Однако при проведении ремонта машины или устройства путем замены изношенных частей и исправления других дефектов срок службы их может быть соответственно увеличен. Время эксплуатации машины или устройства TИ при постоянной интенсивности отказов в работе. λ всегда меньше долговечности, или технического ресурса, TР. Вместе с тем среднее время безотказной работы машины, или средняя наработка до первого отказа, Tcp =1/λ обычно гораздо больше, чем ее долговечность, или технический ресурс, TР. Например, если в течение периода нормальной эксплуатации интенсивность внезапных отказов в работе машины или устройства λ невелика, то значение времени Tcp может достигать очень большой величины, измеряемой нередко десятками или

сотнями тысяч часов. Это время указывает просто, насколько надежна машина или устройство в период нормальной эксплуатации t (уравнение 1- 17).

1-5. НАДЕЖНОСТЬ СИСТЕМ ИЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО И ПАРАЛЛЕЛЬНО СОЕДИНЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Сложное техническое устройство или система состоят из нескольких отдельных частей или комбинации разных групп однотипных элементов. Каждая составная часть устройства или отдельные элементы системы обладают в течение заданного промежутка времени разным уровнем вероятности безотказной работы, или надежности. От определенного сочетания этих надежностей зависит общий уровень надежности всего устройства или системы в целом. Как уже упоминалось выше, электрическая машина, например, состоит из следующих основных частей, определяющих ее работоспособность; магнитной системы, обмоток статора и ротора, подшипников, коллектора или контактных колец и щеточного устройства. Отказ в работе любой из этих частей приводит к выходу из строя машины. Каждая из этих частей имеет различный уровень надежности. Для расчета вероятности безотказной работы машины как целого устройства

В течение заданного промежутка времени нужно знать, к какому типу соединения (в смысле теории надежности) принадлежит комбинация этих частей – к последовательному или параллельному. Электрическую машину в принципе обычно рассматривают как устройство из последовательного соединения названных выше частей, поскольку отказ в работе любой из них всегда связан с остановкой машины.

При расчете надежности вообще любого технического устройства или системы требуется также учитывать тип соединения различных частей или элементов. Так, если предположить отказы частей устройства или элементов системы независимыми, то на основании теорем теории вероятностей можно представить следующие уравнения для расчета надежности, например, комбинации из двух частей или элементов [16]:

1.Если P1(t)—надежность одного элемента системы, а Р2(t) – надежность другого, то вероятность того, что оба элемента будут работать безотказно в течение заданного промежутка времени t, будет

2.Вероятность того, что один или оба элемента системы откажут,

3.Вероятность того, что будут работать один или два элемента системы,

4.Вероятность того, что оба элемента откажут,

Величина РПС(t) является надежностью последовательно соединенных элементов системы, а величина QПС(t) —вероятностью отказа этой системы. В этом случае, согласно уравнению (1-38), отказ любого элемента приводит к отказу системы.

Величины РПР(t) и QПР(t) являются соответственно надежностью и вероятностью отказа параллельного соединения элементов или системы с постоянным нагруженным резервом. В этом случае, согласно уравнению (1-40), при отказе одного элемента существует другой, который выполняет требуемую функцию и, следовательно, такая параллельная система из двух элементов не отказывает в работе, если отказал один элемент.

Уравнения (1-38) – (1-41) могут использоваться как при экспоненциальном, так и неэкспоненциальном распределении отказов элементов в системе или составных частей в устройстве.

При последовательном соединении n элементов или блоков в системе, а

также составных частей в устройстве надежность системы пли устройства в соответствии с уравнением (1-38) будет

где Pi(t) – надежность i-го элемента или блока в последовательном соединении. Здесь надежность Pi(t) может быть как экспоненциальной, так и неэкспоненциалыюй функцией времени.

Вероятность отказа системы или устройства, состоящих соответственно из последовательного соединения n элементов пли частей, по уравнению

(1-39) будет

Самостоятельная работа по теме «Математическая теория надёжности»

1.Разобрать примеры 1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 1-7, 1-8 решения задач на типовые распределения отказов технических устройств из рекомендованной литературы [1] согласно варианту, указанному преподавателем.

2.Ответить на два контрольных вопроса согласно варианту, указанному преподавателем.

3.Оформить согласно стандартным требования отчёт по самостоятельной работе студента – СРС№1.

4.Защитить отчёт по СРС№1 на практическом занятии.