fix1
.pdf3: y = 6 ; p |
|
: |
|
|
|
|
||
x2 + 6x + 13 |
|
|
|
|
||||
|
pERENESEM ^ISLO 6 W LEWU@ ^ASTX URAWNENIQ |
|||||||
|
|
|
|
|
y ; 6 = ;p |
|
: |
|
|
|
|
|
|
x2 + 6x + 13 |
|||
|
tEPERX WOZWED<M OBE ^ASTI URAWNENIQ W KWADRAT |
|||||||
|
|
|
|
|
(y ; 6)2 = x2 + 6x + 13: |
|||
|
dOPOLNQEM W PRAWOJ ^ASTI WYRAVENIE DO POLNOGO |
|||||||
|
KWADRATA |
|
|
|
|
|||
rIS. 73. |
(y ; 6)2 = x2 + 2 3 x + 32 ; 32 + 13: |
|||||||
|
||||||||
(y ; 6)2 = (x + 3)2 ; 9 + 13 |
) |
(y ; 6)2 ; (x + 3)2 = 4: |
||||||
|
; |
(x |
+ 3)2 |
+ (y ; 6)2 = 1: |
||||
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
gEOMETRI^ESKIM OBRAZOM POLU^ENNOGO URAWNENIQ SLUVIT GIPERBOLA S CENTROM W TO^KE O0(;3 6) I POLUOSQMI { MNIMOJ a = 2 I DEJ- STWITELXNOJ b = 2. oDNAKO, ISHODNOE URAWNENIE OPREDELQET NE WS@ GIPERBOLU, A TOLXKO E< NIVN@@ POLOWINU, T.K. IZ ISHODNOGO URAWNE-
NIQ WIDNO, ^TO y < 6: (rIS. 73.) |
||||||||||||||
|
4: 2y |
= |
; |
3x2 + 8x |
+ 2: |
|||||||||
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2y = |
;3(x2 |
8=3x) + 2 |
|
|
|
|
16=9) + 2 |
|||||||
2y = |
; |
3(x |
|
; |
8=3x + 16=9 |
; |
||||||||
2y = |
3(x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
; |
; |
4=3) |
|
+ 16=3 + 2 |
||||||||||
2y ; |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
22=3 = ;3(x ; 4=3) |
|
|
2 |
|
|
|||||||||
2(y ; 11=3) = ;3(x ; 4=3) |
|
|||||||||||||
(x ; |
4=3)2 = |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
;3(y ; 11=3): |
|
|
||||||||||||
gEOMETRI^ESKIM OBRAZOM POLU^ENNOGO URAW- |
NENIQ SLUVIT PARABOLA S WER[INOJ W TO^KE |
rIS. 74. |
|
|
O0(4=3 11=3) , OSX SIMMETRII KOTOROJ PARALLELXNA OSI OY I WETWQ- |
|
MI, NAPRAWLENNYMI WNIZ. (rIS. 74.) |
|
w ZAKL@^ENIE OTMETIM, ^TO OPREDELITX TIP KRIWOJ PO URAWNENI@, W KOTOROM OTSUTSTWUET PROIZWEDENIE PEREMENNYH xy MOVNO SRAZU PO SLEDU@]IM PRIZNAKAM:
102
o K R U V N O S T X { NALI^IE SUMMY KWADRATOW PEREMENNYH I ODINAKOWYE KO\FFICIENTY PRI PRI NIH.
| L L I P S { NALI^IE SUMMY KWADRATOW PEREMENNYH I RAZNYE KO\FFICIENTY PRI NIH.
g I P E R B O L A { NALI^IE RAZNOSTI KWADRATOW PEREMENNYH. p A R A B O L A { OTSUTSTWIE KWADRATA ODNOJ PEREMENNOJ.
zADA^I NA SOSTAWLENIE URAWNENIJ KRIWYH
zADA^A 1. sOSTAWITX URAWNENIE LINII, RASSTOQNIQ KAVDOJ TO^KI
KOTOROJ OT NA^ALA KOORDINAT I OT TO^KI |
|
A(5 0) |
OTNOSQTSQ KAK |
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 : 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rE[ENIE. pUSTX |
|
|
M(x |
y) { PROIZWOLXNAQ (TE- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
KU]AQ) TO^KA KRIWOJ. sOGLASNO USLOWI@ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
d1 |
= |
2 |
|
|
|
|
ILI |
|
|
|
|
d1 = 2 d2: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
d2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
iSPOLXZUQ FORMULU RASSTOQNIQ MEVDU DWUMQ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
TO^KAMI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
rIS. 79. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
d = q(x2 ; x1 |
)2 + (y2 ; y1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
POLU^IM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|||
d1 |
= j OM j = q(x ; 0) + (y ; 0) = qx + y : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
d2 = j |
AM j |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
= (x |
; 5)2 + (y |
; 0)2 = |
|
|
|
(x ; 5)2 + y2: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= 2 q(x ; 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
tOGDA |
px |
+ y |
|
|
+ y |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
pROWEDEM NEOBHODIMYE PREOBRAZOWANIQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x2 + y2 = 4(x ; 25)2 + 4y2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
x2 + y2 = 4x2 ; 40x + 100 + 4y2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
3x |
; |
|
40x + 3y |
|
+ 100 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
40 |
|
|
20 |
|
2 |
|
|
|
20 |
2 |
1 + 3y2 + 100 = 0 |
|
|
||||||||||||||||||||
3 0x2 ; 3 |
x + |
3 ! |
; |
|
|
3 |
! |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
@ |
20 |
2 |
|
|
400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 x ; 3 ! ; |
3 |
+ 3y2 + 100 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ; |
20 |
! |
2 |
|
|
|
100 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+ y2 = |
9 |
|
: |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
tAKIM OBRAZOM, MY POLU^ILI URAWNENIE OKRUV- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
NOSTI S CENTROM W TO^KE |
|
O0(20=3 0) |
I RADIU- |
SOM R = 10=3:
rIS. 80.
103
zADA^A 2. sOSTAWITX URAWNENIE LINII, RASSTOQNIQ KAVDOJ TO^KI KO- TOROJ OT TO^KI A(2 0) I OT PRQMOJ 5x+8 = 0 OTNOSQTSQ KAK 5 : 4:
rE[ENIE. pUSTX M(x y) |
{ PROIZWOLXNAQ (TE- |
|||||||||||
KU]AQ) TO^KA KRIWOJ. sOGLASNO USLOWI@ |
|
|
|
|||||||||
|
d1 |
5 |
ILI |
|
|
|
|
|
|
|||
|
d2 |
= 4 |
|
4 d1 = 5 d2: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
rASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI |
A I M |
|
rIS. 81. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d1 = q |
|
|
|
= q |
|
: |
|
|
|
|||
(x ; 2)2 + (y ; 0)2 |
(x ; 2)2 + y2 |
8 |
|
|||||||||
rASSTOQNIE OT TO^KI |
M |
DO PRQMOJ |
d2 = x + 5: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
tOGDA 4 q |
|
|
x + 58! |
4q |
|
= 5x + 8: |
||||||
(x ; 2)2 + y2 |
= 5 |
(x ; 2)2 + y2 |
pROWEDEM NEOBHODIMYE PREOBRAZOWANIQ
16(x ; 2)2 + 16y2 = 25x2 + 80x + 64
16(x2 ; 4x + 4) + 16y2 = 25x2 + 80x + 64
9x2 + 144x ; 16y2 = 0
9(x2 + 16x + 82 ; 82) ; 16y2 = 0
9(x + 8)2 ; 9 64 ; 16y2 = 0
9(x + 8)2 ; 16y2 = 9 64 |
rIS. 82. |
||
|
|||
(x + 8)2 |
; |
y2 |
|
64 |
36 = 1: |
|
tAKIM OBRAZOM, MY POLU^ILI URAWNENIE GIPERBOLY S CENTROM W TO^- KE O0(;8 0) I POLUOSQMI: DEJSTWITELXNOJ a = 8 I MNIMOJ b = 6:
104
3.2.3. kRIWYE W POLQRNYH KOORDINATAH
pOLQRNAQ SISTEMA KOORDINAT HARAKTERIZUETSQ TO^KOJ O NA PLOS- KOSTI, NAZYWAEMOJ "POL@SOM", I LU^OM OP, WYHODQ]IM IZ \TOJ TO^- KI, NAZYWAEMYM "POLQRNOJ OSX@". pOLOVENIE L@BOJ TO^KI NA PLOS- KOSTI W POLQRNOJ SISTEME KOORDINAT ZADAETSQ DWUMQ ^ISLAMI I ', T.E. M( ') GDE - POLQRNYJ RADIUS (RASSTOQNIE OT POL@SA DO DANNOJ TO^KI, I, KAK WSQKOE RASSTOQNIE > 0 ). '- POLQRNYJ UGOL, KOTORYJ OTS^ITYWAETSQ OT POLQRNOJ OSI W RADIANAH. pOLOVITELX- NYM NAPRAWLENIEM OTS^ETA POLQRNOGO UGLA S^ITAETSQ OTS^ET PROTIW ^ASOWOJ STRELKI. (rIS. 83).
uRAWNENIE LINII W POLQRNOJ SISTEME KOOR- DINAT ZAPISYWAETSQ W WIDE URAWNENIQ, SWQ- ZYWA@]EGO ZNA^ENIQ POLQRNOGO UGLA S WELI- ^INOJ POLQRNOGO RADIUSA
rIS. 83. |
|
= ('): |
gRAFIK ZADANNOJ W POLQRNYH KOORDINATAH ZAWISIMOSTI STROITSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:
{ ZADA@TSQ ^EREZ OPREDELENNYJ [AG ZNA^ENIQ UGLA ' I NA PLOSKOS- TI STROQTSQ LU^I POD WYBRANNYMI UGLAMI, OTS^ITYWAEMYMI W POLO- VITELXNOM NAPRAWLENII OT POLQRNOJ OSI (PROTIW ^ASOWOJ STRELKI),
{ PO DANNOJ ZAWISIMOSTI = (') WY^ISLQ@TSQ SOOTWETSTWU@- ]IE ZNA^ENIQ RADIUSA
{POLU^ENNYE ZNA^ENIQ OTKLADYWA@TSQ W WYBRANNOM MAS[TABE PO SOOTWETSTWU@]EMU LU^U, NA^INAQ OT POL@SA,
{POLU^ENNYE TO^KI SOEDINQ@TSQ PLAWNOJ KRIWOJ.
pRI POSTROENII KRIWOJ W POLQRNYH KOORDINATAH SLEDUET U^ITY- WATX TAKIE SWOJSTWA KRIWOJ, KAK ^ETNOSTX, NE^ETNOSTX, PERIODI^- NOSTX I OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII = (') ^TO W ZNA^ITELXNOJ MERE USKORQET PROCESS POSTROENIQ KRIWOJ, SNIVAET OB_EM WY^ISLI- TELXNOJ RABOTY.
105
zADA^A pOSTROITX KRIWYE, ZADANNYE POLQRNYMI URAWNENIQMI.1: = a ' GDE a - POLOVITELXNOE ^ISLO.
sOSTAWIM TABLICU ZNA^ENIJ POLQRNOGO RADIUSA
PODS^ITANNYH DLQ RQDA ZNA^ENIJ POLQRNOGO UGLA zNA^ENIQ ' MOVNO BRATX TOLXKO POLOVITELXNYE, ^TOBY NE NARU[ITX USLOWIE, ^TO > 0:
' RAD. |
0 |
=2 |
|
3 =2 |
2 |
5 =2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1:57a |
3:14a |
4:71a |
6:28a |
7:85a |
9:42a |
|
|
|
|
|
|
|
|
dLQ POSTROENIQ KRIWOJ WYBIRAEM MAS[TABNU@ EDINICU DLQ KO\F- FICIENTA a I NA LU^AH, SOOTWETSTWU@]IH ZADANNYM ZNA^ENIQM '
OTKLADYWAEM OTREZKI NUVNOJ DLINY. pOLU^ENNAQ KRIWAQ NAZYWAET-
SQ SPIRALX@ aRHIMEDA. (rIS. 84).
rIS. 84. |
rIS. 85. |
2: = 1 + '1 :
sOSTAWLQEM TABLICU ZNA^ENIJ ' (' > 0) I
' RAD. 0 =4 =2 |
2 3 4 5 |
1 2:27 1:64 1:32 1:16 1:11 1:08 1:06
wIDNO, ^TO PO MERE UWELI^ENIQ UGLA ' SOOTWETSTWU@]IE ZNA^ENIQ RADIUSA UMENX[A@TSQ I PRIBLIVA@TSQ K ZNA^ENI@
= 1, T. E. LINIQ KAK BY NAKRU^IWAETSQ NA OKRUVNOSTX EDINI^NOGO RADIUSA. (rIS. 85).
106
3: = a(1 ; cos ') a > 0:
iSPOLXZUQ ^ETNOSTX I PERIODI^NOSTX (T = 2 ) FUNKCII cos ' STROIM KRIWU@, PODS^ITAW ZNA^ENIQ POLQRNOGO RADIUSA DLQ ZNA^E- NIJ UGLA W INTERWALE [0 ] A ZATEM DOSTRAIWAEM EE SIMMETRI^NO POLU^ENNOJ DLQ OSTALXNYH ZNA^ENIJ UGLA W INTERWALE [ 2 ]: w TAB- LICE PRIWEDENY ZNA^ENIQ POLQRNOGO RADIUSA DLQ ZNA^ENIJ ' c [AGOM=6: zAMETIM, ^TO DANNAQ KRIWAQ OPREDELENA DLQ L@BYH ZNA^ENIJ ' TAK KAK WYRAVENIE (1 ; cos ') WSEGDA POLOVITELXNO.
' RAD. |
0 |
=6 |
=3 |
=2 |
2 =3 |
5 =6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1:13a |
0:5a |
a |
1:5a |
1:87a |
2a |
pOLU^ENNAQ KRIWAQ NAZYWAETSQ KARDIOIDOJ. (rIS.86).
rIS. 86. rIS. 87.
4: = a sin 2' a > 0:
wYQSNIM HARAKTERNYE SWOJSTWA ZAWISIMOSTI = a sin 2' :
a)TAK KAK PERIOD FUNKCII sin ' RAWEN 2 TO PERIOD FUNKCII sin 2' BUDET RAWEN ILI 180o
b)TAK KAK POLQRNYJ RADIUS ESTX WELI^INA NEOTRICATELXNAQ, TO
IZ USLOWIQ sin ' 0 SLEDUET, ^TO
0 2' ) 0 ' =2
S) MAKSIMALXNOE ZNA^ENIE = a POLU^ITSQ, ESLI sin 2' = 1 TO ESTX PRI ' = =4:
u^ITYWAQ WY[EIZLOVENNOE, STROIM KRIWU@ PO TO^KAM, SOSTAWIW PREDWARITELXNO TABLICU ZNA^ENIJ I ' W INTERWALE [0 =2] A ZATEM ^EREZ 180o POWTORQEM POLU^ENNU@ LINI@.
' RAD. |
0 |
=6 |
=4 |
=3 |
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0:87a |
a |
0:87a |
0 |
|
|
|
|
|
|
|TA KRIWAQ NAZYWAETSQ DWUHLEPESTKOWOJ ROZOJ. (rIS. 87).
107
5: = 2 sin(' ; 54 ):
bUDEM ISHODITX IZ TOGO, ^TO URAWNENIQ WIDA
= 2a sin ' = 2b cos '
PRI OBY^NOM SOWME]ENII POLQRNOJ I DEKARTOWOJ SISTEM KOORDINAT PREDSTAWLQ@T SOBOJ OKRUVNOSTI,KASA@]IESQ OSEJ KOORDINAT
OX y > 0 I OY x > 0 I RADIUSAMI a I b SOOTWETSTWENNO (SM. TABL. STR. 163). sLEDOWATELXNO, GRAFIK DANNOJ FUNKCII ESTX TAKVE OKRUV- NOSTX RADIUSOM 1 S CENTROM NA OSI, POW<RNUTOJ OTNOSITELXNO OSI OY
NA UGOL 54 = 225o. (rIS. 88).
|
rIS. 88. |
|
|
|
|
|
|
|
rIS. 89. |
|
|
||
6: = cos3('3 ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
pOSTROIM LINI@ NEPOSREDSTWENNO PO TO^KAM. |
|
|
|
||||||||||
tAK KAK cos > 0 DLQ UGLOW |
; |
90o < < |
90o, |
TO |
cos3(' ) > 0 DLQ |
||||||||
UGLOW ;270o < ' < 270o. |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||
bERQ UDOBNYE DLQ RAS^<TOW UGLY, ZANES<M |
|||||||||||||
REZULXTATY W TABLICU. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' o |
|
-270 |
-180 |
-90 |
|
0 |
|
90 |
180 |
270 |
|
|
|
'=3 o |
|
-90 |
|
-60 |
-30 |
|
0 |
|
30 |
60 |
90 |
|
|
= cos3(' ) |
|
0 |
0.125 |
0.64 |
|
1 |
|
0.64 |
0.125 |
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oTRICATELXNYE ZNA^ENIQ UGLOW OTKLADYWA@TSQ OT POLOVITELXNO- |
|||||||||||||
GO NAPRAWLENIQ OSI OX |
PO ^ASOWOJ STRELKE, T.E. W OTRICATELXNOM |
NAPRAWLENII. w SILU ^ETNOSTI FUNKCII cos ' ZNA^ENIQ POLU^A@TSQ ODINAKOWYMI DLQ ' I ;': (rIS. 89).
iNOGDA PRIHODITSQ OSU]ESTWLQTX PEREHOD OT DEKARTOWOJ PRQMO- UGOLXNOJ SISTEMY KOORDINAT K POLQRNOJ ILI, NAOBOROT, OT POLQRNOJ K DEKARTOWOJ. w \TOM SLU^AE NEOBHODIMO ZNATX FORMULY, SWQZYWA@- ]IE DEKARTOWYE I POLQRNYE KOORDINATY TO^KI NA PLOSKOSTI.
eSLI POMESTITX POL@S POLQRNOJ SISTEMY KOORDINAT W NA^ALO DE- KARTOWOJ, T.E. W TO^KU O(0 0) I NAPRAWITX POLQRNU@ OSX PO OSI
108
OX TO MOVNO ZAPISATX FORMULY |
|
|
|
|
|||
|
|
8 x = cos ' |
(?) |
||||
|
|
< y = sin ' |
|
||||
I |
NAOBOROT: |
|
|
|
|
||
|
8 |
= p |
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ y2 |
|
||||
rIS. 90. |
tg ' = |
y |
: |
|
(??) |
||
|
> |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
7: (x2 + y2)2 = 4(x2 |
> |
|
|
x |
|
|
|
; y2): : |
|
|
|
|
|
|
nEPOSREDSTWENNOE POSTROENIE DANNOJ LINII W PRQMOUGOLXNYH KO- ORDINATAH WESXMA ZATRUDNITELXNO. pEREJDEM K POLQRNYM KOORDINA-
TAM SOGLASNO FORMULAM |
(?) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( 2 cos2 ' + 2 sin2 ')2 = 4( 2 cos2 ' |
; |
2 sin2 |
'): |
|
|||||||||||
4(cos2 ' + sin2 ')2 = 4 2 cos 2': |
|
|
|
|
|
||||||||||
u^TEM, ^TO |
cos2 ' + sin2 ' = 1 |
I, DELQ WSE WYRAVENIE NA 2 |
|||||||||||||
POLU^IM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = 4 cos 2' |
) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= 2 |
cos 2': |
||||||||||
pRI POSTROENII KRIWOJ U^TEM SLEDU@]EE: q |
|
|
|||||||||||||
a) OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII pcos 2' NAHODIM IZ USLOWIQ cos 2' |
|||||||||||||||
0: oTS@DA SLEDUET, ^TO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
; =2 2' =2 |
|
|
) ; =4 |
' =4 |
|
||||||||||
b) PERIOD FUNKCII cos 2' |
RAWEN |
PO\TOMU ZNA^ENIQ FUNKCII |
|||||||||||||
POWTORQ@TSQ ^EREZ 180o: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
w SILU ^ETNOSTI FUNKCII cos 2' |
DOSTATO^NO POSTROITX LINI@ |
||||||||||||||
DLQ ZNA^ENIJ UGLA |
0 ' |
=4 |
OTOBRAZITX EE SIMMETRI^NO OT- |
||||||||||||
NOSITELXNO OSI OX WNIZ, A ZATEM WESX LEPESTOK OTOBRAZITX W LEWU@ |
|||||||||||||||
POLUPLOSKOSTX. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
c) mAKSIMALXNOE ZNA^ENIE RADIUSA |
= 2 |
POLU^ITSQ PRI |
|||||||||||||
' = 0 I |
' = : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
' RAD. |
0 |
|
=12 |
|
=8 |
|
=6 |
|
=4 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
1:86 |
1:68 |
1:41 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rIS. 91.
pOLU^ENNAQ KRIWAQ NAZYWAETSQ LEMNISKATOJ bERNULLI.
109
3.2.4. pOSTROENIE KRIWYH, ZADANNYH PARAMETRI^ESKI
oTMETIM, ^TO UNIWERSALXNYM SPOSOBOM ZADANIQ LINII NA PLOS- KOSTI I W PROSTRANSTWE QWLQETSQ PARAMETRI^ESKIJ SPOSOB, KOGDA ZA- WISIMOSTX MEVDU KOORDINATAMI TO^KI NE ZADANA NEPOSREDSTWENNO, A ZADANA ZAWISIMOSTX@ KOORDINAT OT NEKOTOROGO PARAMETRA t T.E. IMEET WID
8 x = x(t) < y = y(t):
iZWESTNYJ NAM UVE PRIMER:PARAMETRI^ESKI ZADANNOJ LINII - \TO PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ PRQMOJ NA PLOSKOSTI (POSTROENIE TAKOJ PRQMOJ NA PLOSKOSTI MY UVE RASSMATRIWALI)
8 x = mt + x0 < y = nt + y0:
sU]ESTWU@T, W PRINCIPE,:LI[X DWA SPOSOBA POSTROENIQ LINIJ, ZADANNYH PARAMETRI^ESKIMI URAWNENIQMI.
pERWYJ IZ NIH, SAMYJ PRIMITIWNYJ: ZADAWATX ZNA^ENIQ PARA- METRA t S KAKIM-TO [AGOM I DLQ KAVDOGO ZNA^ENIQ t NAHODITX KOOR- DINATY x I y TO^EK NA PLOSKOSTI ( TAK MY, W PRINCIPE, POSTUPALI PRI POSTROENII PRQMOJ, ZADANNOJ PARAMETRI^ESKI). sOEDINQQ POLU- ^ENNYE TO^KI PLAWNOJ KRIWOJ, MY I POLU^AEM GRAFIK FUNKCII.
wTOROJ SPOSOB SOSTOIT W POLU^ENII NEPOSREDSTWENNOJ ZAWISIMOS- TI MEVDU x I y I ON MOVET BYTX REALIZOWAN TOLXKO W TOM SLU^AE, ESLI UDA<TSQ IZ PARAMETRI^ESKIH URAWNENIJ ISKL@^ITX PARAMETR t.
zADA^A. pOSTROITX LINII, ZADANNYE PARAMETRI^ESKIMI URAWNE- NIQMI.
110
8 x = r sin t1: < y = r cos t:
: t x y - zDESX LEGKO ISKL@^ITX PARAMETR I SWQZATX I MEVDU SOBOJ NE
POSREDSTWENNO. dLQ \TOGO DOSTATO^NO WOZWESTI OBE ^ASTI \TIH URAW- NENIJ W KWADRAT I SLOVITX URAWNENIQ
x2 |
= r2 sin2 t |
|
x |
2 |
+ y |
2 |
2 |
|
||||||
8 |
2 |
= r |
2 |
cos |
2 |
t |
) |
|
|
= r |
||||
< y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
: |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
t = 1). iSHODNOE URAWNENIE OPREDE- |
||||||
(ZDESX MY U^LI, ^TO |
sin |
t+ cos |
LQET OKRUVNOSTX S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT I RADIUSOM r: (rIS. 93).
|
|
rIS. 93. |
rIS. 94. |
|
2: |
8 x = x0 + r sin 2t |
|
|
< y = y0 + r cos 2t: |
|
|
|
|
: |
|
|
zDESX TAKVE LEGKO ISKL@^ITX PARAMETR t I SWQZATX x I y MEVDU |
SOBOJ NEPOSREDSTWENNO. dLQ \TOGO SNA^ALA PERENESEM x0 I y0 W LEWYE ^ASTI URAWNENIJ, A ZATEM DEJSTWUEM, KAK W PREDYDU]EM PRI- MERE
|
|
8 x ; x0 = r sin 2t |
) |
|
|
(x |
; |
x0)2 |
+ (y |
; |
y0)2 = r2: |
|||||
|
|
< y ; y0 = r cos 2t |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pOLU^ILI KANONI^ESKOE URAWNENIE OKRUVNOSTI S CENTROM W TO^KE |
||||||||||||||||
O0(x0 y0) |
I RADIUSOM |
r: (rIS.94). |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3: |
8 x = a sin t + b cos t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
< y |
= a cos t ; b sin t: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iSKL@^IM PARAMETR t: dLQ \TOGO WOZWEDEM OBE ^ASTI \TIH URAW- |
|||||||||||||||
NENIJ W KWADRAT I SLOVIM URAWNENIQ. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8 |
x2 = a2 sin2 t + 2ab sin t cos t + b2 cos2 t |
|
) |
x2 |
+ y2 = a2 + b2 |
|||||||||||
|
2 |
= a |
2 |
cos |
2 |
t ; 2ab sin t cos t + b |
2 |
2 |
|
|||||||
< y |
|
|
|
|
sin t |
|
|
|
|
|||||||
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111 |