fix1

3: 3x ; 2y + z = 0.

w URAWNENII OTSUTSTWUET SWOBODNYJ ^LEN, ZNA^IT PLOSKOSTX PROHODIT ^EREZ NA^ALO KOORDINAT.

iZOBRAZITX TAKU@ PLOSKOSTX TRUDNO, MOVNO LI[X POSTROITX ^ASTX PLOSKOSTI (RIS.112.), PROWEDQ W PLOSKOSTQH KOORDINAT "SLEDY" PLOS-

KOSTI,	NAPRIMER:
XOY :	) z = 0	)	3x ; 2y = 0 ) y = 3x=2:
Y OZ : ) x = 0 )			;2y + z = 0 ) z = 2y:

rIS. 113.

rIS. 112.

eSLI W URAWNENII PLOSKOSTI OTSUTSTWUET ODNA PEREMENNAQ, TO PLOSKOSTX PROHODIT PARALLELXNO TOJ OSI, KOORDINATA KOTOROJ OT- SUTSTWUET W URAWNENII.

4: 3x + z ; 6 = 0.

w URAWNENII DANNOJ PLOSKOSTI OTSUTSTWUET y TAKAQ PLOSKOSTX PROHODIT PARALLELXNO OSI OY OTSEKAQ NA OSQH KOORDINAT OTREZKI

a = 2 (NA OSI OX, PRI z = 0) I c = 6 (NA OSI OZ, PRI x = 0). (rIS.113.)

5: 2x ; 5y = 12.

w URAWNENII DANNOJ PLOSKOSTI OTSUTSTWUET z TAKAQ PLOSKOSTX PROHODIT PARALLELXNO OSI OZ OTSEKAQ NA OSQH KOORDINAT OTREZKI

a = 6 (NA OSI OX, PRI y = 0) I

b = ;12=5 = ;2:4 (NA OSI OY , PRI x = 0). (rIS.114.)

122

		rIS. 114.	rIS. 115.
eSLI W URAWNENII PLOSKOSTI OTSUTSTWU@T DWE PEREMENNYE, TO
PLOSKOSTX PROHODIT PARALLELXNO SOOTWETSTWU@]EJ KOORDINATNOJ
PLOSKOSTI.
6:	z ;	6 = 0.
w URAWNENII OTSUTSTWU@T x I y ZNA^IT PLOSKOSTX BUDET PRO-
HODITX PARALLELXNO KOORDINATNOJ PLOSKOSTI XOY ^EREZ TO^KU
z = 6	NA OSI OZ: (rIS.115.)
7:	3x ; 6 = 0.
pLOSKOSTX 3x;6 = 0 PROHODIT PARALLELXNO PLOSKOSTI Y OZ ^E-
REZ TO^KU		x = 2 NA OSI OX: (rIS.116.)

rIS. 116. rIS. 117.

8: 2y + 5 = 0.

pLOSKOSTX 2y + 5 = 0 PROHODIT PARALLELXNO PLOSKOSTI XOZ ^E- REZ TO^KU y = ;5=2 NA OSI OY: (rIS.117.)

uRAWNENIQ KOORDINATNYH PLOSKOSTEJ POLU^A@TSQ, ESLI W PREDY-

DU]IH SLU^AQH (P. 6-8)		BUDET OTSUTSTWOWATX I SWOBODNYJ ^LEN:
z = 0	; URAWNENIE	PLOSKOSTI	XOY
y = 0	; URAWNENIE	PLOSKOSTI	XOZ
x = 0	; URAWNENIE	PLOSKOSTI	Y OZ:

123

2. sOSTAWLENIE URAWNENIJ PLOSKOSTEJ

zADA^A 6. sOSTAWITX URAWNENIE PLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU M(3 ;2 1), PARALLELXNO PLOSKOSTI 2x ; y ; 5z = 0:

rE[ENIE. dLQ SOSTAWLENIQ URAWNENIQ PLOSKOSTI MY IMEEM KOOR- DINATY TO^KI M(3 ;2 1) I NUVNO NAJTI WEKTOR NORMALI. o^EWIDNO, ^TO DLQ WSEH PARALLELXNYH PLOSKOS-

TEJ MOVNO WZQTX ODIN I TOT VE WEKTOR NORMALI,

PO\TOMU IZ URAWNENIQ PLOSKOSTI 2x				; y ; 5z =
0~	IMEEM
N = f2 ;1 ;5g I ZAPISYWAEM URAWNENIE ISKO-
MOJ PLOSKOSTI						rIS. 118.
			A(x ; x0) + B (y ; y0) + C(z ; z0) = 0:
	2(x ; 3) ; 1 (y + 2) ; 5(z ; 1) = 0			)	2x ; y ; 5z ; 3 = 0:
	zADA^A 7. sOSTAWITX URAWNENIE PLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ
TO^KU M(3		;	2 1), PARALLELXNO DWUM WEKTORAM ~a =			f	5 3	2	g
~								;
b = f;1 0 3g:

rE[ENIE. dLQ SOSTAWLENIQ URAWNENIQ PLOSKOSTI NAM NUVNO NAJ- TI KOORDINATY WEKTORA NORMALI. iSPOLXZUEM OPISANNYJ WY[E SPO- SOB. tAK KAK PLOSKOSTX PARALLELXNA DWUM NEKOLLINEARNYM (W ^EM

LEGKO UBEDITXSQ) WEKTORAM ~a I ~b TO EE WEKTOR NORMALI BUDET

	IM PERPENDIKULQREN, A ZNA^IT W KA^ESTWE WEKTORA NORMALI MOVNO
	WZQTX WEKTOR, QWLQ@]IJSQ WEKTORNYM PROIZWEDENIEM DANNYH W USLO-
			~		~			~
	WII WEKTOROW		N = [~a b]: nAHODIM KOORDINATY WEKTORA N.
	~	~	~
	i	j	k		~	~	~
	5 3
			;2 = 9 i ; 13			j + 3 k:
	;1	0	3					rIS. 119.
					~
	iTAK, WEKTOR NORMALI					;13	3g:	pODSTAWLQEM KOORDINATY
					N = f9
				~
	TO^KI M1 I WEKTORA N W URAWNENIE PLOSKOSTI
	9(x ; 3) ; 13(y + 2) + 3(z ; 1) = 0						)	9x ; 13y + 3z ; 56 = 0:
	124

zADA^A 8. sOSTAWITX URAWNENIE PLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ DWE TO^KI M1(0 ;1 4), M2(2 ;5 1) PARALLELXNO WEKTORU

~a = f0 ;2 1g:

rE[ENIE. dLQ SOSTAWLENIQ URAWNENIQ PLOSKOSTI NAM NUVNO IMETX
KOORDINATY TO^KI (MOVNO WZQTX L@BU@ IZ DANNYH W USLOWII) I WEK-
TORA NORMALI. eSLI WWESTI W RASSMOTRENIE WEKTOR						;;;!M1M2 = f2 ;4 ;3g TO
NORMALXNYJ WEKTOR PLOSKOSTI BUDET PERPENDIKULQREN DWUM WEKTO-
RAM ~a I	;;;!M1M2 I, KAK W PREDYDU]EJ ZADA^E,					W KA^ESTWE WEKTORA
NORMALI BEREM WEKTOR, QWLQ@]IJSQ WEKTORNYM PROIZWEDENIEM \TIH
WEKTOROW		N	= [~a ;;;!M1M2] =
		~
			~	~	~
			i	j	k
		=	0	;2	1	=
			2	;4	;3
			~		~	~
rIS. 120.		= 10 i + 2 j + 4 k:
	~	f10 2	4g:	pODSTAWLQEM KOORDINA-
iTAK, WEKTOR NORMALI N =
	~
TY TO^KI M1 I WEKTORA N W URAWNENIE PLOSKOSTI
10(x ; 0) + 2(y + 1) + 4(z ;		4) = 0	)	10x + 2y + 4z ; 14 = 0:
	oKON^ATELXNO	5x + y + 2z ; 7 = 0:
	3. wZAIMNOE RASPOLOVENIE PLOSKOSTEJ

pLOSKOSTI MOGUT BYTX PARALLELXNY, PERPENDIKULQRNY ILI W OB- ]EM SLU^AE PERESEKATXSQ POD KAKIM-TO UGLOM. oTMETIM, ^TO WSE \TI ZADA^I SWODQTSQ K ZADA^E O WZAIMNOJ ORIENTACII WEKTOROW NORMALEJ \TIH PLOSKOSTEJ I PO\TOMU RE[A@TSQ SREDSTWAMI WEKTORNOJ ALGEB- RY. wO WSEH SLU^AQH PO DANNYM URAWNENIQM PLOSKOSTEJ NEOBHODIMO OPREDELITX KOORDINATY IH WEKTOROW NORMALEJ.

nAHOVDENIE UGLA, OBRAZOWANNOGO PAROJ PERESEKA@]IHSQ PLOSKOSTEJ pUSTX DANY DWE PLOSKOSTI

A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2	= 0:	rIS. 121.

125

~

N2:

uGLOM MEVDU PLOSKOSTQMI NAZYWAETSQ DWUGRANNYJ UGOL, KOTORYJ IZMERQETSQ WPISANNYM W NEGO LINEJNYM UGLOM. kAK QSNO IZ RISUN- KA, \TOT LINEJNYJ UGOL RAWEN UGLU MEVDU WEKTORAMI NORMALEJ \TIH PLOSKOSTEJ

~	= fA1 B1 C1g	I	~	= fA2 B2 C2g:
N1			N2

zAPISYWAEM IZWESTNU@ FORMULU DLQ KOSINUSA UGLA MEVDU WEKTORAMI

~

~

~

~

(N1

N2)

~

~

:

cos ' = cos(N1

N2) =

j N1

jj N2

j

cos ' =

A1A2 + B1B2 + C1C2

:

q

q

A12 + B12 + C12

A22 + B22 + C22

zADA^A 9. nAJTI UGOL MEVDU PLOSKOSTQMI

x ; 2y + 2z ; 8 = 0 I

x + z ; 6 = 0:

rE[ENIE. wEKTORY NORMALEJ PLOSKOSTEJ IME@T KOORDINATY

~

~

= f1 0 1g:

N1 = f1 ;2 2g

N2

nAHODIM KOSINUS UGLA MEVDU NIMI

~

~

~

~

(N1

N2)

cos

' = cos(N1

N2) =

~

~

j

=

j N1

jj N2

=

1

1 + (;2)

0

+ 2

1

=

3

=

1

:

q12 + (;2)2 + 22

3 p2

p2

p12 + 02 + 12

45o:

tAKIM OBRAZOM, OSTRYJ UGOL MEVDU PLOSKOSTQMI RAWEN

pROWERKA USLOWIJ PARALLELXNOSTI I PERPENDIKULQRNOSTI PLOSKOSTEJ

qSNO, ^TO WEKTORA NORMALEJ PARALLELXNYH PLOSKOSTEJ KOLLINEAR-

~

NY N1 jj

zAPISYWAEM USLOWIE KOLLINEARNOSTI \TIH WEKTOROW W KOORDINATNOJ FORME

126

A1	= B1	= C1	:
A2	B2	C2
rIS. 122.

wEKTORA NORMALEJ PERPENDIKULQRNYH PLOSKOSTEJ TAKVE WZAIMNO PER-
PENDIKULQRNY	~	~	:	zAPI[EM USLOWIE PERPENDIKULQRNOSTI
	N1 ?	N2		~	~
				(N1	N2) = 0
rIS. 123.				A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0:
zADA^A 10.	pRI KAKIH			m I p PLOSKOSTI ;2x + 3y + mz ; 1 = 0
I px ; 6y + 2z + 3 = 0		BUDUT PARALLELXNY ?

rE[ENIE. zAPI[EM USLOWIE KOLLINEARNOSTI NORMALXNYH WEKTO- ROW PLOSKOSTEJ W KOORDINATNOJ FORME

			;2	=	3		= m:
			p	;6			2
oTS@DA ;2=p = ;1=2			p = 4				m=2 = ;1=2	m = ;1:
zADA^A 11. dOKAZATX, ^TO				PLOSKOSTI 2x + 3y + 2z ; 1 = 0 I
5x ; 6y + 4z ; 3 = 0			PERPENDIKULQRNY.
	.				N1		= f2 3 2g N2 = f5 ;6 4g:
rE[ENIE		wEKTORY NORMALEJ ~					~
pROWERQEM USLOWIE PERPENDIKULQRNOSTI WEKTOROW
~		~	2 5 + 3 (;6) + 2 4 = 0
(N1	N2) = 0							0 = 0:
		~	~

wYWOD : WEKTOR N1 ? N2 SLEDOWATELXNO, PERPENDIKULQRNY I PLOS- KOSTI.

4. nAHOVDENIE RASSTOQNIQ OT TO^KI DO PLOSKOSTI

rASSTOQNIe d OT DANNOJ TO^KI M1(x1 y1 z1) DO DANNOJ PLOSKOSTI Ax + By + Cz + D = 0 NAHODITSQ PO FORMULE

d = j Ax1 + By1 + Cz1 + D j: pA2 + B2 + C2

dLQ OPREDELENIQ RASSTOQNIQ OT TO^KI DO PLOSKOSTI NEOBHODIMO W LEWU@ ^ASTX OB]EGO URAWNENIQ PLOSKOSTI PODSTAWITX KOORDINATY

127

DANNOJ TO^KI, POLU^ENNOE ^ISLO WZQTX PO ABSOL@TNOJ WELI^INE I RAZDELITX NA DLINU NORMALXNOGO WEKTORA PLOSKOSTI.

zADA^A 12. nAJTI OB_EM KUBA, ODNA IZ WER[IN KOTOROGO W TO^- KE M1(2 ;3 5) A GRANX LEVIT NA PLOSKOSTI

;x + 2y ; 2z + 16 = 0:

rE[ENIE. pODSTANOWKOJ KOORDINAT TO^KI W URAWNENIE PLOSKOSTI UBEVDAEMSQ W TOM, ^TO TO^KA M1 NE PRINADLEVIT ZADANNOJ PLOS- KOSTI, PO\TOMU RASSTOQNIE OT \TOJ TO^KI DO PLOSKOSTI RAWNO DLINE REBRA KUBA

d = j (;1) 2 + 2 (;3) ; 2 5 + 16 j =										2	:
	q(;1)			2	+ 2		2	+ (;2)	2	3
oB_EM KUBA V = d3	2	!	3		8
	= 3				=			: (KUB: ED:)
						27

zADA^A 13. nAJTI RASSTOQNIE MEVDU PARALLELXNYMI PLOSKOSTQ-

MI 4x + 3y ; 5z ; 8 = 0 I 4x + 3y ; 5z + 12 = 0:

rE[ENIE. rASSTOQNIE MEVDU PARALLELXNYMI PLOSKOSTQMI ESTX DLINA PERPENDIKULQRA, OPU]ENNOGO IZ L@BOJ TO^KI ODNOJ PLOSKOSTI NA DRUGU@. sHEMA RE[ENIQ:

nAHODIM TO^KU NA PERWOJ PLOSKOSTI: ZANULQEM L@BYE DWE KOOR- DINATY, NAPRIMER y = 0 z = 0 I IZ URAWNENIQ PERWOJ PLOSKOSTI NAHODIM x = 2: iTAK, M1(2 0 0):

pO IZWESTNOJ FORMULE RASSTOQNIQ OT TO^KI DO PLOSKOSTI NAHODIM

	RASSTOQNIE OT \TOJ TO^KI DO WTOROJ PLOSKOSTI
	d = j4 2 + 3 0 ; 5 0 + 12j =	20			4		= 2p		:
				=				2
		p50			p2
	q42 + 32 + (;5)2

128

uRAWNENIQ PLOSKOSTI

	nAZWANIE			uRAWNENIE. sMYSL PARAMETROW
1.	pLOSKOSTX	,	PROHODQ]AQ	A(x ; xo) + B(y ; yo) + C(z ; zo) = 0
	^EREZ TO^KU			Mo(xo yo zo)-TO^KA NA PL-TI
				~
	PERPENDIKULQRNO			N = fA B Cg;
	DANNOMU WEKTORU			WEKTOR NORMALI
2.	oB]EE URAWNENIE			Ax+By+Cz+D=0
	PLOSKOSTI			~
				N = fA B Cg
3.	uRAWNENIE PLOSKOSTI			xa + yb + zc = 1
	W OTREZKAH			a- OTREZOK NA OSI OX
				b-OTREZOK NA OSI OY
				c-OTREZOK NA OSI OZ

wZAIMNOE RASPOLOVENIE PLOSKOSTEJ

A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0

~

N1 = fA1 B1 C1g:

~

N2 = fA2 B2 C2g:

kOSINUS UGLA

~

~

A1A2

+ B1B2 + C1C2

cos ' =

(N1

N2)

=

~

2

2

2 2

2

2

~

jN1j jN2j

qA1

+ B1

+ C1 qA2

+ B2

+ C2

uSLOWIE PARALLELXNOSTI

~

~

~

~

A1

B1

C1

N1jjN2 N2

= N1

A2

= B2

= C2

uSLOWIE PERPENDIKULQRNOSTI

~

~

~

~

N1

? N2 (N1

N2) = 0 A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0

129

4.2. pRQMAQ W PROSTRANSTWE

pRQMAQ W PROSTRANSTWE MOVET BYTX ZADANA :

{ TO^KOJ

M0(x0 y0 z0) I NAPRAWLQ@]IM WEKTOROM ~s = fm n pg

W KA^ESTWE KOTOROGO MOVET SLUVITX L@BOJ PARALLELXNYJ DANNOJ

PRQMOJ WEKTOR

{ DWUMQ TO^KAMI M1(x1 y1 z1)

I

M2(x2 y2 z2)

{ KAK LINIQ PERESE^ENIQ DWUH PLOSKOSTEJ.

4.2.1. oSNOWNYE URAWNENIQ PRQMOJ W PROSTRANSTWE

1.

pRQMAQ ZADANA TO^KOJ M0(x0

y0 z0)

I NAPRAWLQ@]IM WEK-

TOROM

~s = fm

n pg

W KA^ESTWE KOTOROGO MOVET BYTX WZQT

L@BOJ WEKTOR, PARALLELXNYJ PRQMOJ.

w \TOM SLU^AE DLQ SOSTAWLENIQ URAWNENIQ PRQ-

MOJ

MY

BEREM

NA

NEJ

PROIZWOLXNU@

TO^KU

M(x

y z)

OBRAZUEM WEKTOR

;;;!M0M = f(x

; x0) (y

; y0) (z ; z0)g

I ZAPISY-

rIS. 124.

WAEM USLOWIE KOLLINEARNOSTI WEKTOROW

~s = fm n

pg

I

;;;!M0M = f(x

; x0)

(y ; y0)

(z ; z0)g

W

KOORDINATNOJ FORME

x ; x0 = y ; y0 = z

; z0 :

(1)

m

n

p

tAKIM OBRAZOM, POLU^ILI KANONI^ESKIE

URAWNENIQ PRQMOJ W PRO-

STRANSTWE.

zADA^A

14. sOSTAWITX URAWNENIQ PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ

TO^KU

M0(3 ;1 2)

PARALLELXNO

:

a)

OSI

OY

b)

WEKTO

-

RU s~ = f5 0 4g.
rE[ENIE.	iSPOLXZUEM URAWNENIQ (1). w PERWOM SLU^AE NAPRAWLQ-
@]IM WEKTOROM BUDET WEKTOR OSI OY :			~		A WO WTOROM
			j = f0 1 0g
WEKTOR ~s
a) x ; 3 = y + 1		= z ; 2 b)	x ; 3	= y + 1 = z ; 2 :
0	1	0	5	0	4

130

2. pRQMAQ ZADANA DWUMQ TO^KAMI M1(x1									y1 z1) I M2(x2 y2 z2).
		w \TOM SLU^AE DLQ SOSTAWLENIQ URAWNENIJ PRQ-
		MOJ MOVNO ISPOLXZOWATX UVE POLU^ENNYE KA-
		NONI^ESKIE URAWNENIQ							(1), WZQW W KA^ESTWE
		NAPRAWLQ@]EGO WEKTORA PRQMOJ WEKTOR ~s =
rIS. 125.		fm		n pg	=
		;;;!M1M2 = f(x2				; x1) (y2			; y1) (z2 ; z1)g:
tOGDA URAWNENIQ PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ DWE ZADANNYE TO^KI,
BUDUT IMETX WID
	x ; x1		=	y ; y1	=		z ; z1	:	(2)
x2 ; x1				y2 ; y1			z2 ; z1
zADA^A 15.		sOSTAWITX URAWNENIQ PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ DWE
ZADANNYE TO^KI		M1(0 1 ;2)			I		M2(;3 4 ;1):

rE[ENIE. pODSTAWIM W URAWNENIQ PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ DWE

TO^KI, KOORDINATY TO^EK				M1 I	M2
	x ; 0	= y ; 1	=	z + 2	)		x	= y ; 1	= z + 2:
;3 ; 0 4 ; 1				;1 + 2		;3		3		1
3: oTMETIM, ^TO IZ KANONI^ESKIH URAWNENIJ PRQMOJ (I URAWNENIJ
PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ DWE ZADANNYE TO^KI,) LEGKO POLU^A@TSQ
PARaMETRI^ESKIE URAWNENIQ
								8	x	; x0 = t
										m
x ; x0 = y ; y0 = z ; z0 = t						)		<	y	; y0 = t
m		n	p
								>		n

oTKUDA OKON^ATELXNO

8 x ; x0 = mt

>

< y ; y0 = nt

> z ; z0 = pt

:

z ; z0 = t:

>: p

8 x = mt + x0

) < y = nt + y0

>

> z = pt + z0:

:

(3)

131