Lek. 7. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

•Две основных радиационных области (в форме пончиков) окружают нашу планету – это пояса Ван Аллена, находящиеся на высотах от 3 до 6 тысяч километров и от 20 до 25 тысяч километров.

•Они наполнены высокоэнергичными электронами, заманенными в ловушку магнитным полем Земли.

•Орбиты многих телекоммуникационных и навигационных спутников вынужденно пролегают в этих областях, из-за чего в конструкцию аппаратов приходится вводить защитные оболочки из алюминия, делать электронику более стойкой к радиации.

•Это увеличивает цену спутников, делает их более массивными, что, в свою очередь, отражается на стоимости запуска.

4. Закон Био-Савара-Лапласа

		• Закон	Био-Савара-
I	dB	Лапласа		позволяет
		находить		индукцию
	P	магнитного		поля

α

r

постоянного тока.

• Пусть по проводнику

течет постоянный

dl	Рис. 15	ток силой I (рис. 15).

• В пространстве, окружающем проводник, возникает

магнитное поле.

• Био и Савар экспериментально, а Лаплас

теоретически получили формулу для индукции магнитного поля в произвольной его точке P , создаваемо-

го элементом длины проводника dl .

• Эта формула имеет вид (векторная форма):

			μ0				I dl,r
									(1)
	dB = 4π							r 3
• В этой формуле		dB		–			индукция магнитного тока,

создаваемого элементом длины проводника с								током
								dl
,	–	радиусI		r-	вектор, проведенный от эле-мента			в
точку			магнитного поля .
						P
			dl

• Вектор dB перпендикулярен к плоскости, в которой

лежат векторы dl и r , и направлен таким образом,

чтобы из его конца кратчайший поворот вектора dl до

совмещения с вектором r казался происходящим против часовой стрелки.

• Такое же направление вектора dB следует из

правила буравчика.

• Кроме того направление вектора		dB			совпадает с
направлением касательной к	линии				индукции
(пунктир), «созданной» элементом	dl		.
• В скалярном виде формула (1) запишется в виде:

			dB =	μ0		Idlsinα	,		(2)
				4π		r 2
где угол		угол между векторами						dl	и	r	.
	α

•Сформулируем этот закон.

•Индукция магнитного поля, создаваемого элементом провдника

с током	dl	I
	прямо пропорциональна силе тока в проводнике, длине
элемента проводника,		синусу угла			между направлениямиα
векторов	и	и	dl	обратноr	пропорциональна квадрату

расстояния от этого элемента до точки – точки наблюденияP магнитного поля.

• Чтбы найти полную индукцию B магнитного поля в

точке	P	, как и в любой другой его точке,					создаваемого
всем	проводником			с током			необходимо
					I	,
воспользоваться принципом суперпозиции.
• Для	этого		весь	проводник с		током	необходимо
разделить на			бесконечно малые		элементы			dl	и для

каждого из них в соответствии с формулой (2) найти бесконечно малую индукцию dB в заданной точке P , а затем просуммировать (проинтегрировать) эти элементарные индукции с учетом направлений элементарных векторов dB :

B = dB	.	(3)
l

5. Применение закона Био-Савара-Лапласа

а). Индукция магнитного поля в центре кругового

dl

• Для

тока

R

определения

индукции в центре

B

кругового тока применяем формулу Био-

I Савара –Лапласа и принцип суперпозиции:

Рис. 16

dB =

μ0

Idlsinα

4π

r 2

• В нашем случае

α = (π / 2) = const, r = R = const

• Следовательно,

μ

I

2πR

μ

I

0

dl =

0

2πR

B =

4π

R2

4π

R2

0

• Таким образом, индукция магнитного поля в центре

кругового тока определяется формулой:

				μ0 I		(4)
	B =			2R	.
• Направление вектора		B		определяется в соответст-

вии с правилом правого буравчика и зависит от направления тока в контуре (рис. 17 и 18)

B		B
I		I

Рис. 17

Рис. 18

b). Индукция магнитного поля прямого тока

r0	α2
	dB	P
	r
I	h
dl		d
		α
		α1

Рис. 19

• Индукцию магнитного поля

прямого тока определим, используя закон Био-Савара- Лапласа и принцип суперпозиции:

	B =	μ0 I		dl sinα	(5)
		4π		r 2
• Под знаком				интеграла в (5)
содержится			функция нескольких

переменных.

• Используя рис.19 и показанные

на нем обозначения, представим подынтегральную функцию в (5) как функцию одного переменного.

• Из рис. 19 следует, что:

dl =	h	; h = rdα;	r =	r0	;
	sinα			sinα

• Подставляя r в выражение для h , а h в выражение

для dl , получим, что

dl = r0dα sin2α

• Подставив найденные dl и r в формулу (5) и

выполнив необходимые преобразования, найдем что

			α
	B =	μ0 I	2	sinαdα	μ0 I	( cosα) |αα12
		4πr			4πr
			α1
		0			0

• После подстановки пределов получаем:

	B	μ0 I	(cosα1	- cosα2 )	(6)
		4πr0

• В случае бесконечно длинного проводника, т.е.

когда

r0 << l

, где

l

– полная длина проводника и

кроме того,

α1 = 0,

α2 = π

индукция поля

B

μ0 I

.

(7)

2πr0

• Таким

образом,

индукция

магнитного поля

прямого

тока, создаваемого

бесконечно длинным

проводником, определяется формулой (7), а проводником конечной длины – формулой (6).