- •Методические указания к выполнению контрольной работы № 1
- •120700 Землеустройство и кадастры
- •5 Варианты индивидуальных заданий 18
- •Введение
- •Таким образом, студент, имеющий шифр 1235 должен решать задачу №8 в первом задании, №11 – во втором, №14 – в третьем, №17 – в четвертом.
- •1.1 Вопросы для самопроверки
- •2 Аналитическая геометрия на плоскости
- •Пример 2.
- •Пример 3.
- •2.1 Вопросы для самопроверки
- •3 Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве
- •Смешанным произведениемтрех векторов,иназывается число, равное скалярному произведению векторана вектор, т.Е.:
- •3.1 Вопросы для самопроверки
- •Основные теоремы о пределах
- •4.1 Вопросы для самопроверки
- •Варианты индивидуальных заданий
|
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Башкирский государственный аграрный университет» |
Кафедра математики
Математика
Методические указания к выполнению контрольной работы № 1
Для направлений бакалавриата:
120700 Землеустройство и кадастры
Профили:
Землеустройство
Земельный кадастр
Уфа 2012
00УДК 51(07)
ББК 22.1я73,22.161.6
М 54
Рекомендовано к изданию методической комиссией механического факультета (протокол № 9 от 27 июля 2012 года ) и заседанием кафедры математики (протокол № 7 от 10 апреля 2012 года)
Составители: доцент Лукманов Р.Л., доцент Каптелинина Ф.И.
Рецензент: доцент кафедры физики Юмагужин Р.Ю.
Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики доцент Лукманов Р.Л.
Оглавление
Введение 4
1 Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса 5
Вопросы для самопроверки 7
Аналитическая геометрия на плоскости 7
Вопросы для самопроверки 10
Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве 10
Вопросы для самопроверки 15
4 Основные теоремы о пределах 15
4.1 Вопросы для самопроверки 18
5 Варианты индивидуальных заданий 18
Библиографический список 24
Введение
Цельюнастоящих методических указаний является помощь студентам – заочникам в выполнении контрольной работы №1.
Перед выполнением контрольной работы студент должен изучить соответствующие разделы рекомендуемой литературы [1] – [3] и воспользоваться решениями типовых примеров, содержащихся в настоящих методических указаниях. Большое количество образцов решенных задач дано в руководстве к решению задач [5]. Задачи для самостоятельного решения имеются как в представленных методических указаниях, так и в сборниках задач [4], [6].
Номер варианта по каждому заданию студент выбирает по формуле ,
где - номер варианта,
- номер задания,
- предпоследняя цифра шифра студента,
- последняя цифра шифра.
Пример.
Пусть шифр студента 1235, тогда:
номер варианта первого задания: =;
номер варианта второго задания: ;
номер варианта третьего задания: ;
номер варианта четвертого задания: .
Таким образом, студент, имеющий шифр 1235 должен решать задачу №8 в первом задании, №11 – во втором, №14 – в третьем, №17 – в четвертом.
Если итоговая цифра по формуле получится число больше 20, то для определения варианта от полученной цифры отнимают 20.
Пример.
Пусть шифр студента 1298.
Номер варианта второго задания: . Промежуток 26-20=6. Таким образом, во втором задании студент решает задачу вариант №6.
1 Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса
Пусть дана система n уравнений с n неизвестными:
Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы
называется определителем системы.
Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной и имеет единственное решение.
В дальнейшем мы будем иметь дело только с такими системами.
Наиболее простым методом для решения таких систем линейных уравнений является метод Крамера.
Формулы Крамера имеют вид:
(1.1.1)
Более универсальным и эффективным является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.
Решение осуществляется в два этапа: 1) система приводится к треугольному виду, 2) последовательно определяют неизвестные .
Пример 1.
Решить систему уравнений методами Крамера и Гаусса:
Решение:
а) Метод Крамера.
Найдем определитель системы,. Предварительно сложив второй столбец с третьим и разложив определитель по элементам последнего столбца.
==2(-1)=-2(-2-3)=10.
Так как , то система имеет единственное решение.
Найдем определители и, заменив в матрице коэффициентов соответственно первый, второй, третий столбцы столбцом свободных членов (при вычислении определителяпреобразования аналогичные предыдущему.)
==2(-1)-2(-1-4)=10.
При вычислении определителя последнюю строку складываем с первой и вычитаем из второй строки. Разлагаем по элементам последнего столбца.
==1(-1)=10+10=20.
При вычислении определителя последнюю строку складываем с первой и со второй строки и разлагаем получившийся определитель по элементам второго столбца.
==-1(-1)=50-20=30.
Подставляя найденные значения в формулы (1.1.1), получим:
х=у=z=
б) Метод Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы:
Разрешающим элементом удобно иметь единицу, поэтому переставим второе уравнение на место первого.
Получим нули в первом столбце, умножив первое уравнение последовательно на (-2) и (-3) и складывая со вторым и третьим.
(-2) (-3)
С помощью второго элемента второй строки сделаем нуль во втором столбце третьей строки, для чего умножим вторую строку на (-2) и сложим с третьей.
(-2) .
Таким образом, свели матрицу к треугольному виду. Запишем полученную систему уравнений:
Из последнего уравнения сразу находим значение z=3, подставляя которое во второе уравнение находим у=11-3z=11-9=2. Затем из первого уравнения найдем
х=1, у=2, z=3.