Ekzamenats_voprosy_po_algebre
.docЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
Раздел 1 Матрицы и определители
Формулировки
-
Матрица и ее виды – треугольная, диагональная.
-
Матрица и ее виды - симметричная, кососимметричная.
-
Матрица и ее виды – ортогональная, инволютивная, идемпотентная.
-
Элементарные преобразования над матрицей, ступенчатая матрица
5) Определение линейного пространства над полем К.
6) Транспонированная, обратимая и обратная матрица
7) Определитель n-го порядка
8) Свойства определителя (формулировка не менее 6-ти свойств)
9) Минор элемента и алгебраическое дополнение
10) Взаимная и обратная матрица
Доказательства
-
Любая матрица представима в виде суммы симметричной и кососимметричной (n=2)
-
Показать, что если матрица обладает двумя из свойств: симметричная,
ортогональная, инволютивная, то она обладает и третьим свойством.
-
Доказать, что (А + В)С = АС + ВС и А(ВС) = (АВ)С
-
Доказать, что (АВ)Т= ВТАТ
-
Показать, что пространство матриц является линейным пространством
-
Доказательство одного из свойств определителя (из доказанных на лекции)
-
Каждая ортонормированная матрица имеет обратную матрицу.
-
Произведение ортогональных матриц есть ортогональная матрица.
-
Теорема о взаимной матрице
-
Доказательство единственности обратной матрицы
Раздел 2. Системы алгебраических уравнений
Формулировки
-
Однородная и неоднородная система линейных уравнений и их решение.
-
Несовместная, совместная, определенная и неопределенная системы уравнений.
-
Частное и общее решение системы. Равносильные системы.
4) Минор k-ого порядка матрицы
5) Определение ранга матрицы
6) Определение базисных строк и столбцов матрицы.
-
Элементарные преобразования над строками матрицы, трапециевидные матрицы
-
Свойства элементарных преобразований над строками матрицы ( 3 свойства )
-
Элементарные преобразования системы линейных уравнений ( 3 свойства )
10)Определение базисных и свободных переменных, фундаментальной совокупности
решений, частного и общего решения неоднородной системы.
-
Формулировка Теоремы о числе решений
12)Альтернативы Фредгольма
Доказательства
1) Доказательство теоремы Крамера
2) Доказательство эквивалентности метода обратной матрицы и формул Крамера
3) Если ранг матрицы коэффициентов равен числу неизвестных, то система АХ=0 имеет
единственное (тривиальное) решение.
-
Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и
достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных.
-
Однородная система n уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение тогда и
только тогда, когда определитель этой системы был равен нулю.
-
Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо, чтобы
число уравнений системы было меньше числа неизвестных.
-
Теорема Кронекера – Капелли - необходимое условие
-
Теорема Кронекера – Капелли - достаточное условие
Практические задачи
-
Нахождение обратной матрицы ( при n = 3)
-
Нахождение коммутирующей матрицы ( при n = 2)
-
Пример на альтернативы Фредгольма ( для систем 2 х 3 или 3 х 4)
-
Пример на нахождение ранга матрицы ( для матриц 4 Х 4)
-
Пример на построение фундаментальной совокупности решений
Раздел 3. Векторная алгебра
ФОРМУЛИРОВКИ
-
Координатное определение вектора, сумма и произведение векторов
2) Скалярное произведение векторов и свойства скалярного произведения, длина вектора и угол
3) Определение Векторного произведения векторов
4) Представление векторного произведения через определитель координатной матрицы
5) Определение Смешанного произведения векторов
6) Запись условия компланарности векторов в матричной форме
7) Представление смешанного произведения через определитель координатной матрицы.
8) Ортогональная и ортонормированная система векторов
9) Линейная комбинацией системы векторов
10)Линейно зависимая система векторов и ее свойства (не менее 4-х)
11) Линейно независимая система векторов и ее свойства (не менее 3-х)
12) Базис векторного пространства и представление вектора через базис
13) Координатная матрица и матрица перехода от базиса к базису
14) Линейная оболочка заданной конечной совокупности векторов
15) Свойства линейной оболочки (не менее 3-х):
16) Выражение для скалярного произведения векторов в данном базисе в
координатной и матричной форме.
17) Определители Грама и Ван дер Монда.
18) Общая формула последовательной ортогонализации системы (метод Грама-Шмидта)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
1) Неравенство Коши – Буняковского
2) Единственность разложения вектора по базису.
3) Доказать, что любая ортонормированная система n векторов в Rn образует базис.
4) Вывод формулы нахождения координат вектора при смене базисного вектора
5) Вывод формулы нахождения координат вектора при смене всего базиса.
6) Доказательство теоремы Грама-Шмидта
ПРИМЕРЫ
1) Нахождение координаты вектора, используя свойства скалярного произведения
-
Разложение вектора в ортогональном базисе
3) Пример на пересчет координат вектора при смене одного базисного вектора (n=3)
4) Пример на пересчет координат вектора при смене всего базиса (n=3)
-
Пример на нахождение матрицы перехода между двумя базисами (n=3)
6) Установить линейную независимость системы в пространстве многочленов Р2 степени не выше 2-х.
Раздел 4 Линейные и квадратичные формы
ФОРМУЛИРОВКИ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
1) Определение числовой функцией векторного аргумента
2) Определение линейного функционала векторного аргумента
3) Определение линейной формы.
4) Определение линейного многообразия или гиперплоскости.
5) Определение квадратичной формы
6) Матрично-векторное представление квадратичной формы ( с доказательством)
7) Теорема о линейном преобразовании квадратичной формы ( с доказательством)
8) Диагональная квадратичная форма
9) Формулировка теоремы Лагранжа
10) Закон инерции квадратичной формы:
11) Определение собственного числа и вектора матрицы , их свойства
12) Характеристический многочлен матрицы.
13) Доказательство теоремы о связи квадратичной формы с характеристическим многочленом
14) Положительно и отрицательно определенная квадратичная форма.
15) Критерий Сильвестра
16) Принцип установления знакоопределенности квадратичной формы
17) Доказательство теоремы о связи собственных значений и корнях характеристического многочлена
ПРИМЕРЫ
1) Нахождение квадратичной формы по симметричной матрице и обратная операция
2) Исследование квадратичной формы на знакоопределенность ( при n = 3)
Раздел 5 Элементы аналитической геометрии
ФОРМУЛИРОВКИ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
-
Уравнение прямой на плоскости, виды уравнений
-
Основные задачи на прямую в R2
-
Определение гиперплоскости 2-го порядка и уравнение кривых второго порядка
-
Теорема о сведении кривых второго порядка и главный дискриминант кривой
-
Эллипс, гипербола и парабола. Их уравнения, фокус, эксентрисетет
6) Координатная и векторная форма уравнения плоскости в пространстве R3
7) Уравнение прямой в пространстве R3 (базовое и параметрическое)
8) Уравнение прямой, как пересечение двух плоскостей
9) Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в R3
10) Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей в R3
11)Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в R3
-
Углы: между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями, между двумя прямыми
13)Определение гиперплоскости 2-го порядка и уравнения поверхности 2-го порядка
14) Главный дискриминант поверхности 2-го порядка.
15) Теорема о сведении уравнения поверхности 2-го порядка к основным поверхностям.
16) Классификация поверхностей 2-го порядка ( по 3-м типам поверхностей)
17) Алгебраические поверхности (три вида формул и рисунки)
18) Конические поверхности (три вида формул и рисунки)
19) Цилиндрические поверхности (три вида формул и рисунки)