![](/user_photo/_userpic.png)
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО Рыбинская государственная авиационная
технологическая академия им. П. А. Соловьева
Кафедра Общей и технической физики
Лаборатория «Статистическая физика и термодинамика»
УТВЕРЖДЕНО
на заседании методического
семинара кафедры физики
« » _________ 2007 г.
Зав.каф. Пиралишвили Ш.А.
ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ
ПО СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ И
ТЕРМОДИНАМИКЕ
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №CТ-4
Изучение термоэлектрических явлений при контакте металлов
Методическое руководство
разработано доц. Шалагиной Е. В
Рецензент Суворова З.В.
Рыбинск, 2007 г.
УКАЗАНИЯ ПО ТЕХНИКЕ БЕЗОПАСНОСТИ.
Установка подключается к электрической сети напряжением 220 В.. Следует соблюдать правила и требования инструкции №170 по технике безопасности. Прибор нельзя включать в сеть без разрешения преподавателя и предварительного изучения правил и требований при работе с ними.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: определение фундаментальной константы в квантовом распределении Ферми-Дирака – химического потенциала для копеля и алюмеля по полученной в эксперименте зависимости термо-ЭДС от температуры для термопар из хромель-копеля, хромель-алюмеля, алюмель-копеля.
1. Краткие теоретические сведения
Многие физические явления, широко используемые в настоящее время в технике, имеют объяснения в рамках теории, развитой в статической физике. Статическая физика использует положения теории вероятности.
Основным статическим распределением является распределение Гиббса, используя которые можно получить распределения классической и квантовой статистик.
При рассмотрении
с этих позиций из всей термодинамической
системы выделяют одну подсистему, слабо
взаимодействующую с системой. Это
взаимодействие служит причиной перехода
подсистемы из одного состояния в другое.
Подсистемой может быть как одна молекула,
так и газ в замкнутом сосуде или твердое
тело. Если физическая величина
,
характеризующая систему, например
координата, импульс, энергия меняется
непрерывно, вводят понятие плотности
вероятности
,
которая определяет вероятность
обнаружения подсистемы в единичном
диапазоне непрерывной величины
.
Вероятность
обнаружения
подсистемы в диапазоне величины
может быть найдена по формуле:
.
Если измеряемая
величина изменяется дискретно, то
вероятность
нахождения
частиц в элементе объема
определяется биноминальной формулой.
Для описания
подсистемы из одной частицы необходимо
задание шести переменных величин, три
из которых определяют ее положение в
пространстве (),
а три описывают движение этой частицы
(проекции ее импульса на оси координат
).
Это пространство называется фазовым.
Элементарный объем
фазового пространства равен
.
Если подсистема
состоит из
частиц, то для ее описания требуются
координат. Вероятность обнаружения
системы в соответствующем фазовом
объеме
запишется как
,
где
- элемент фазового пространства, равный
произведению дифференциалов координат
и проекций импульсов всех частиц системы.
В фазовом пространстве
состояние подсистемы задается точкой,
которая с течением времени перемещается
по фазовой кривой. Согласно теореме
Лиувиля форма элемента объема
с течением времени изменяется, но ее
величина остается постоянной, поэтому
плотность, с которой распределены по
фазовому объему точки фазового
пространства, изображающие различные
микросостояния, является мерой вероятности
обнаружения точки в элементе фазового
пространства
.
В отличие от
классической в квантовой механике
существует ограничение на минимальный
объем элемента фазового пространства,
определяемое из соотношения неопределенности
Гейзенберга:
Перемножив, правые и левые части
неравенств, получим, что
для шестимерного
фазового пространства, и
для
-мерного
пространства. Таким образом фазовое
пространство квантуется, причем
минимальный объем фазовой ячейки равен
Число элементарных
ячеек
в фазовом объеме
для шестимерного пространства определяется
по формуле:
.
(1)
Фазовый объем для
независимых движущихся частиц,
соответствующий интервалу величин
импульсов от
до
в пространстве импульсов
определится как
объем шарового слоя, заключенного между
сферами радиуса от
до
.
Его величина может быть найдена путем
интегрирования по формуле:
и окажется равной:
.
(2)
Число элементарных фазовых ячеек согласно равенствам (1) и (2) определится как
.
(3)
Чтобы определить
фазовый объем, соответствующий интервалу
энергий частиц от
до
,
учтем связь между энергией
свободной частицы с импульсом
.
,
следовательно,
.
Подставив полученные значения
и
в формулу (3), найдем исходную зависимость:
(4)
характеризующую
число состояний (плотность)
,
которыми частица обладает в заданном
интервале энергий
,
,
т.е. число элементарных ячеек в заданном
фазовом пространстве.
В квантовой физике тождественные (т. е. имеющие одинаковые заряд, массу, спин) частицы неразличимы. Это приводит к специфике в свойствах частиц, описываемых симметричными и антисимметричными волновыми функциями. Частицы, имеющие нулевой или целочисленный спин (фотоны, фононы) описываются симметричными волновыми функциями. Эти частицы называются бозонами. Их число в элементарной ячейке фазового пространства неограниченно. Частицы с полуцелым спином (электрон, протон, нейтрон) описываются антисимметричными волновыми функциями и подчиняется принципу Паули. Эти частицы называются фермионами. В состоянии, которое характеризуется одним и тем же набором квантовых чисел, может находиться только один фермион. Таким образом, в одной элементарной фазовой ячейке может находиться два фермиона с противоположно направленными спинами.
Для описания
квантовых подсистем применение
распределения Гиббса позволяет определить
вероятность нахождения
го
состояния квантовой подсистемы
с энергией
по формуле:
где
свободная
энергия квантовой подсистемы. Ее величину
можно найти из условия нормировки
функции
.
Распределение
Гиббса описывает распределение
вероятности различных состояний
подсистемы, составляющей малую
квазинезависимую часть произвольной
системы, находящейся в состоянии
статистического равновесия, поэтому
температура
характеризует также свойства подсистемы
– термостата, а не только системы (
).
Дискретный характер
распределения энергии частиц в квантовой
механике приводит к наличию некоторого
количества состояний
,
соответствующих элементу
фазового пространства:
где
плотность
состояний (число дискретных квантовых
состояний в единице объема фазового
пространства), определяемая по формулам
(3,4).
Для изолированной системы пренебрегают энергией взаимодействия между подсистемой и системой (термостатом). Однако в силу закона сохранения энергии, энергия подсистемы однозначно связана с энергией термостата.
Согласно первому
началу термодинамики при условии
постоянства частиц в системе изменение
внутренней энергии
квазизамкнутой подсистемы возможно в
результате изменения ее температуры
и совершения ею работы:
.
Для обратимых процессов с учетом второго
начала термодинамики изменение энергии
подсистемы определяется как
,
гдеdS
– изменение энтропии.
Если число частиц
в подсистеме изменяется, то при расчете
следует учесть также увеличение
(уменьшение) внутренней энергии, связанное
с увеличением (уменьшением) числа ее
частиц
,
т.е.
где
химический
потенциал. Химический потенциал
численно равен увеличению внутренней
энергии термоизолированной равновесной
подсистемы при увеличении числа ее
частиц на единицу. Если объем и энтропия
не изменяются (
)
то
,
или
В этом случае
свободную энергию открытой квантовой
подсистемы можно записать:
где
омега
– потенциал, равный разности свободной
энергии и термодинамического потенциала
Гиббса Ω=F-G
.
В результате распределение Гиббса для квантовомеханической системы имеет вид:
(5)
Омега – потенциал
квантовой системы находят из условий
нормировки, так же как и свободную
энергию. Омега –потенциал
сложной подсистемы равен сумме
омега-потенциалов составляющих подсистем.
При контакте двух подсистем, характеризуемых
соответственно химическими потенциалами
и
,
происходит обмен энергией. Это приводит
возникновению равновесного состояния,
когда
,
т. к.
Таким образом,
С
учетом выполнения условия равновесия
будет получено равенство потенциалов
Воспользуемся
распределением Гиббса (5) для описания
подсистемы фермионов. Необходимо учесть,
что согласно принципу Паули в одном
состоянии с энергией
(в одной элементарной фазовой ячейке)
может быть только один фермион. Тогда
вероятность того, что фермион находится
в выбранном состоянии согласно (5)
запишется как
а вероятность того, что фермиона в этом
состоянии нет равна
Если воспользоваться
условием нормировки
,
то
,
и
Следовательно вероятность нахождения
фермиона состоянии с энергией
можно представить в виде:
.
(6)
Выражение (6)
представляет распределение Ферми-Дирака
для фермионов. Используя (6), определим
среднее число фермионов в состоянии с
энергией,
которое с учетом принципа Паули запишется:
.
(7)
Учитывая выражения
(6), (7), можно найти химический потенциал
Для электронов в
металле химический потенциал называют
энергией Ферми. Энергия электронов в
металле характеризуется набором
дискретных значений:При температуре
все электроны имеют энергию ниже энергии
Ферми
(располагаются на уровнях ниже уровня
Ферми). На рис. 1а) приведена функция
распределения Ферми-Дирака для
,
на рис. 1б – функция распределения
Ферми-Дирака для
б)
аа)
а) б)
Рис 1.
Если
электронный газ называется вырожденным
и обладает квантовыми свойствами.
Уровень Ферми отделяет заполненные
электронами уровни от незаполненных.
Функция распределения имеет вид
прямоугольной ступеньки для
(рис. 1а), при
прямоугольная ступенька размывается.
Если
,
распределение проходит через значение
;
при этом небольшая доля электронов,
находящихся вблизи уровня Ферми в
энергетическом слое
,
могут изменить согласно принципу Паули
свою энергию и занять уровни выше уровня
Ферми. При нормальных температурах
число таких электронов
.
Теплоемкость вырожденного электронного
газа близка к нулю:
Если
,
электронный газ называется невырожденным.
Его распределение (6) преобразуется к
виду:
Это распределение
было получено в рамках классической
физики и носит название распределения
Больцмана. Электронный газ в металле
вплоть до
К остается вырожденным и описывается
квантовой статистикой Ферми-Дирака.
Невырожденным электронный газ является
в полупроводниках, у которых его
концентрацияn
мала,
вследствие чего он описывается
классической статистикой Максвелла-Больцмана.
Распределение
Ферми-Дирака позволяет найти среднее
число электронов в элементарной фазовой
ячейке. Задача сводится к определению
числа фермионов, имеющих энергии от
значения
до
.
Для этого следует найти число состояний,
которыми обладает фермион в заданном
интервале энергий
,
,
принимая для расчетов формулу (4).
Таким образом,
число частиц содержащихся в объеме
определится после интегрирования по
энергии выражения:
Это соотношение
можно использовать для нахождения
энергии Ферми
как функции температуры
и концентрации (
)
электронного газа в металле.
В частном случае
когда
(Рис. 1а) интеграл легко берется в пределах
энергии от
до
,
что позволяет определить химический
потенциал
и энергию Ферми при
в виде:
(8)
Под
понимают значение эффективной массы
электрона в металле.
Энергию Ферми
(потенциал
)
при произвольной температуре
можно получить из приближенного
выражения:
(9)
Распределение
электронов по энергиям
в зоне проводимости можно представить
как
Таким образом,
функция
численно равна концентрации электронов
в единичном интервале энергий и согласно
(4) и (7) имеет вид:
(10)
График функции
представлен на рис. 2. На графике за
«нуль» принята энергия дна потенциальной
ямы.
Рис 2.
Концентрация
электронов в зоне проводимости в металле
определяется формулой:
При температуре,
равной абсолютному нулю, электроны в
металле согласно принципу Паули
последовательно занимают все состояния
с наименьшей энергией. Наибольшая
энергия, которой обладают электроны
при
,
называется энергий Ферми, а уровень,
соответствующий этой энергии, – уровнем
ферми
Если отсчитывать энергию
от дна зоны проводимости, она совпадает
со значением химического потенциала
при абсолютном нуле.
.
Химический потенциал электронного газа
в металле слабо зависит от температуры.
Однако даже
незначительное изменение химического
потенциала с температурой (9) имеет
принципиальное значение при рассмотрении
контактных явлений в металлах. На рис.
1б) и 2 масштаб по оси энергий не соблюдается.
Разница между
и
(также как и область размытия
)
реально составляют лишь несколько
процентов от значений
при всех температурах вплоть до
температуры плавления. Величину
можно рассчитать по формуле (8). Концентрация
электронов проводимости
в металлах лежит в пределах
см–3,
следовательно,
эВ. Величину
можно рассчитать используя формулу
(8).
а)
б)
Рис. 3
(9) с температурой
имеет принципиальное значение при
рассмотрении термоэлектрических
явлений, возникающих при контакте двух
различных по природе металлов. Если
привести два различных металла в
соприкосновение, между ними возникает
так называемая контактная разность
потенциалов. Она обусловлена тем, что
при сближении металлов на расстояния
порядка постоянной кристаллической
решетки возрастает вероятность
непосредственного перехода электронов
из одного металла в другой. В этом
процессе участвуют в основном электроны,
находящиеся вблизи уровня Ферми. Их
состояния характеризуются различными
значениями химических потенциалов
,
и
,
и, соответственно, разными работами
выхода
и
На рис. 3 приведены графики потенциальной энергии электрона, причем рис. 3а изображает уровни энергии до приведения металлов в соприкосновение, а рис. 3б – после их контакта.
Электроны будут
преимущественно переходить из металла
1 с меньшей работой выхода
в металл 2 с большей работой выхода
(рис.
3), т. к. электроны стремятся занять
состояния с меньшей потенциальной
энергией. В результате при
во втором металле концентрация электронов
будет больше, и второй металл зарядится
отрицательно, а первый положительно.
Потенциал первого металла возрастет,
второго – уменьшится, а потенциальная
энергия электрона в первом металле
уменьшится, а во втором –увеличится.
Условием равновесия
между соприкасающимися металлами
является равенство их химических
потенциалов
(рис. 3б). В результате в тонком пограничном
слое толщиной, сравнимой с длиной
свободного пробега электрона
м
устанавливается внутренняя контактная
разность потенциалов, препятствующая
дальнейшему переходу электронов. После
установления динамического равновесия
толщина пограничного слоя практически
не меняется. Из рис. 3б видно, что
потенциальная энергия электрона в
первом металле меньше, чем во втором, а
потенциал внутри первого металла выше,
чем внутри второго на величину
(10), где
заряд
электрона. Это разность потенциалов
между внутренними точками металла
называется внутренней контактной
разностью потенциалов.
В непосредственной близости от поверхности концов металла электроны имеют разную энергию (рис. 3б), что указывает на наличие между металлами внешней контактной разности потенциалов
.
(11)
Значение внешней разности потенциалов между концами цепи определяется разностью работ выхода для металлов, образующих крайние звенья цепи.
Термоэлектрические явления обусловлены связью между электрическими и тепловыми процессами в металлах. К числу таких явлений принадлежит эффект Зеебека. Эффект Зеебека состоит в том, что в замкнутой цепи из двух (и более) проводников (рис. 4) возникает термо-ЭДС (ТЭДС), если их контакты поддерживаются при различных температурах. Изменение знака у разности температур спаев сопровождается изменением направления тока в цепи.
Рис.
4
зависимостью химического потенциала от температуры;
диффузией электронов (или дырок);
увлечением электронов фононами.
Зеебек в 1921г получил
линейную зависимость ТЭДС
от разности температур
в виде
,
(12)
где
-
удельная ТЭДС данной пары металлов -
считалась постоянной величиной, зависящей
только от природы металлов. В дальнейшем
выяснилось, что
зависит от температуры и закон (12),
справедлив лишь в небольшом интервале
температур, поэтому
.
(13)
Основной причиной
возникновения ТЭДС в цепи является
наличие контактной разности потенциалов
(рис. 4) на границе их раздела. Отметим,
что при
,
в верхнем и нижнем контактах равны по
величине и имеют противоположные знаки,
поэтому тока в такой цепи не будет.
Термо-ЭДС не равна нулю, если контакты
металлов поддерживаются при различных
температурах. Учитывая, что суммарная
внешняя разность потенциалов при обходе
по замкнутому контуру независимо от
разности температур согласно формуле
(11) равна нулю, значение
с учетом (10) определится выражением:
Учитывая, что химический потенциал является функцией от температуры, а также равенство (13), последнее выражение можно записать в виде:
.
(14)
Найдем
используя формулу (9), и получим
.
Учет диффузии более быстрых электронов
к холодному концу проводника и более
медленных – к теплому вследствие наличия
градиента температуры, а также увлечение
электронов фононами, приводит к
образованию избытка электронов вблизи
холодного конца и недостатка их вблизи
горячего.
В результате
значение
имеет вид:
.
После подстановки значения
в выражение (14) получим
Учитывая, что
и
отличаются одно от другого менее чем
на порядок, произведем следующее
преобразование:
где
средняя температура контактов, а
разность
температур контактов. В результате
получим расчетную формулу для
термоэлектродвижущей силы
в виде (12):
где
.
(15)
Для большинства
пар металлов
имеет порядок
В/К.
Явление Зеебека используется для измерения температур. Соответствующее устройство, представляющее себой цепь из двух разнородных проводников, концы которых электрически соединены сваркой, называется термопарой. Один слой термопары поддерживают при постоянной температуре, другой – помещают в среду, температуру которой необходимо измерить. О величине температуры можно судить по силе возникающего термотока, измеряемой гальванометром. Более точный результат получится при измерении возникающей ТЭДС по методу компенсации.
Термопара
используется для измерения температуры
после предварительной градуировки,
т.е. экспериментального определения
зависимости
,
при разных температурах рабочего конца
и постоянной температуры свободного
конца. Зависимость
приближается к линейной. Температуры
можно измерять с точностью порядка до
сотых долей градуса.