Лекция №2
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
1. Неопределенный интеграл и его свойства.
Многочисленные математические операции образуют пары двух взаимообратных действий. Например, сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в целую степень и извлечение корня, логарифмирование и потенцирование. Дифференциальное исчисление решает следующую основную задачу: по данной функции найти ее производную. Обратным действием дифференцирования является интегрирование: для данной функции f(х) найти такую функциюF(х), производная которой равнялась бы заданной функцииf(х), т.е.
F'(х) =f(х) (1)
Поставленную задачу можно сформулировать в следующей форме: для данной функции f(х) найти такую функциюF(х), дифференциал которой равнялся бы выражениюf(х)dх:
dF(х) =f(х)dх (2)
Функция F(х), связанная с функциейf(х) соотношение (1) или (2), называется ее первообразной.
Так, например, первообразной от функции f(х)=х2будет функцияF(х)=х3∕3, так какF'(х) = (х3∕3)' =х2 или то же самоеdF=d(х3∕3) =х2dх.
В общем случае, если f(х) имеет первообразную функциюF(х), то совокупность [F(х)+С] также будет первообразной для нее, т.к. С' = 0 (С – постоянная величина). Следовательно, для данной функцииf(х) может быть не одна, а множество первообразных [F(х)+С], отличающихся на некоторую постоянную интегрирования.
Совокупность первообразных [F(х)+С] для данной функцииf(х) или данного дифференциалаf(х)dх. называют неопределенным интегралом от функцииf(х) и обозначают ∫f(х)dх. По определению
∫f(х)dх=[F(х)+С] (3)
- читается «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс», где f(х)dх – подинтегральное выражение;f(х) – подинтегральная функция; С – постоянная интегрирования; символ ∫ - знак неопределенного интеграла. Под знаком неопределенного интеграла мы имеем не производную искомой функции, а ее дифференциал. Так как, например, функцияF(х)=х3∕3 является одной из первообразных от функцииf(х)=х2, то на основании формулы (3) получим ∫х2dх =х3∕3 + С.
Рассмотрим основные свойства неопределенного интеграла:
Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции: [∫f(х)dх]' = [F(х) + С]' =F'(х) =f(х).
Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению: d[∫f(х)dх] =d [F(х) + С] = [F(х) +C]'dх=F'(х)dх=f(х)dх.
Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной: ∫d [F(х) + С] = ∫dF(х) = ∫f(х)dх =F(х+C).
Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: ∫кf(х)dх = к∫f(х)dх.
Интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов слагаемых, т.е.:
∫[f1(х) +f2(х) –f3(х)]dх =∫f1(х)dх+∫f2(х)dх-∫f3(х)dх.
Пример:
Найти ∫(х3+3sinх–8)dх= ∫х3dх+3∫sinхdх-8∫dх = х4/4–3cosх–8х+С.
Используя формулы интегрирования для трех интегралов, при каждом интегрировании получим свою произвольную постоянную. Но в конечном итоге мы имеем только одну произвольную постоянную, так как, если С1; С2;С3– произвольные постоянные, то и величина С равная их алгебраической сумме, также является произвольной постоянной.