- •Подпространства линейного пространства Определение линейного подпространства
- •Пересечение и сумма подпространств линейного пространства
- •Пересечение и сумма
- •Евклидово пространство
- •Норма матрицы
- •Объяснение «на пальцах»
- •Неравенство Коши — Буняковского
- •Неравенство треугольника
- •Евклидова геометрия
- •Ортогональная система
- •Ортогонализация
- •Ортогональное разложение
- •Ортонормированный базис
- •Ортогональные системы векторов
- •Свойства
- •Линейные операторы в евклидовом и унитарном пространствах
- •Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
- •Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов
1
Линейные пространства
Определение линейного пространства
Пусть V - непустое множество (его элементы будем называть векторами и обозначать ...), в котором установлены правила:
1) любым двум элементам соответствует третий элемент называемый суммой элементов (внутренняя операция);
2) каждому и каждому отвечает определенный элемент (внешняя операция).
Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы:
I.
II.
III. (нулевой элемент, такой, что ).
IV. (элемент, противоположный элементу ), такой, что
V.
VI.
VII.
VIII. Аналогично определяется комплексное линейное пространство (вместо R рассматривается C).
2
Линейная комбинация называетсятривиальной, если все коэффициенты равны нулю одновременно:
Линейная комбинация называетсянетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.
Ненулевые векторы называютсялинейно зависимыми, если нетривиальная линейная комбинация этих векторов равнанулевому вектору:
Пример
Ненулевые векторы называютсялинейно независимыми, если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору.
3
Ба́зис — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.
Множество Lназывается линейным или векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо:
1. Каждой паре элементов xиyизLотвечает элементx+y изL, называемый суммой xиy, причём:
x+y=y + x − сложение коммутативно;
x+(y+z)=(x + y) + z − сложение ассоциативно;
x+ 0 =x− существует единственныйнулевойэлемент0 (x+ 0 =xдля любогоxизL);
x+ (−x) = 0− для каждого элементаxизL существует единственный противоположный элемент−x ( x + (−x) = 0 для любогоxизL).
2. Каждой паре xиα, гдеα− число, аxэлемент изL, отвечает элементα·x, наываемыйпроизведением α и x, причём:
α·(β·x) = (α·β)·x− умножнение на число ассоциативно:;
1·x=x − для любого элементаxиз L.
3. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями:
α·(x + y) = α·x + α·y− умножнение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;
(α + β)·x = α·x + β·x− умножнение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел.
x = x1·i + x2· j, y = y1·i + y2· j,
x + y = (x1+ y1)·i + ( x2+ y2)· j, α·x = (αx1)·i + (αx2)· j,
0= 0·i+ 0·j, −x= (−x1)·i+(−x2)·j.
Справедливость остальных аксиом линейного пространстваследует из свойств операций сложения и умножения на число действительных чисел.
4
Преобразование координат вектора при преобразовании базиса
Пусть
^ |
A |
:Xn → Xn — линейный оператор. Зададим в Xn два базиса: "старый" базис e = (e1, e2, … , en) и "новый" базис f = (f1, f2, … , fn) .
Матрицей перехода от базиса e к базису f называется матрица C = (cik) (i,k = 1, … ,n) , столбцами которой являются координатные столбцы векторов f1, f2, … ,fn в базисе e , т.е.
f1 = c11 e1 + c21 e2 + … + cn1 en, f2 = c12 e1 + c22 e2 + … + cn2 en, … … … … … … , fn = c1n e1 + c2n e2 + … + cnnen,
или в матричной форме:
|
f = eC |
(1) |
где C — матрица перехода
C = |
ж з з з з и |
|
ц ч ч ч ч ш |
| ||||||||||||||||||||
|
|
|
Замечание. В силу линейной независимости базисных векторов матрица C — невырожденная ( det C ≠ 0 ). Следовательно, C имеет обратную матрицу C − 1 .
Теорема 1. Преобразование координат вектора при переходе от "старого" базиса e к "новому" базису fопределяется формулой:
|
X\f = C − 1X\e. |
(2) |
Доказательство. Обозначим координатные столбцы произвольного вектора x О Xn в "старом" базисе e
Xe = |
ж з з з з и |
|
ц ч ч ч ч ш |
| |||||
|
|
|
и в "новом" базисе f
Xf = |
ж з з з з и |
|
ц ч ч ч ч ш |
| |||||
|
|
|
Произвольный вектор x в базисе eимеет вид:
|
x = eXe |
(3) |
В базисе f тот же вектор имеет вид:
x = fXf
и в силу формулы (1)
|
x = eCXf. |
(4) |
Сравнивая формулы (3) и (4), получаем
X\e = C · Xf.
Умножая это равенство слева на C −1 , получаем формулу (2), которую требовалось доказать.
¾¾¾¾ * * * ¾¾¾¾
5
Подпространства линейного пространства Определение линейного подпространства
Непустое подмножество линейного пространства называетсялинейным подпространствомпространства , если
1) (подпространство замкнуто по отношению к операции сложения);
2) и любого числа (подпространство замкнуто по отношению к операции умножения вектора на число).
Для указания линейного подпространства будем использовать обозначение , а слово "линейное" опускать для краткости.
6
Пересечение и сумма подпространств линейного пространства
Пусть и — подпространства линейного пространства .
Пересечением подпространств и называется множество векторов, каждый из которых принадлежит и одновременно, т.е. пересечение подпространств определяется как обычное пересечение двух множеств.
Алгебраической суммой подпространств и называется множество векторов вида , где . Алгебраическая сумма (короче просто сумма) подпространств обозначается
Представление вектора в виде , где , называется разложением вектора no подпространствам и .
Пересечение и сумма
Пусть и —подпространствавекторного пространства надполем .
Предложение 1.Пересечение подпространств и является векторным пространством.
Замечание 1.Объединение пространств и не обязано быть векторным пространством, как показано в следующем примере.
Пример 1.Пусть , то есть множество векторов вида , где .Базисомэтого пространства служат вектора и . Положим и —линейные оболочкивекторов и , соответственно. Сумма векторов не содержится в .
Определение 1.Суммой1)подпространств и называется наименьшее подпространство в , содержащее и , то есть
.
Вообще говоря, можно определить сумму любого конечного числа подпространств:
Определение 1'.Сумма подпространств в — это наименьшее подпространство, содержащее все , то есть
.
Предложение 2.Пусть и — подпространстваконечномерноговекторного пространства . Тогда
.
7
РАНГ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ
Рассмотрим систему векторов (1.1), где . Максимальной линейно независимой подсистемой системы векторов (1.1) называется любой набор векторов последней, удовлетворяющий следующим условиям: векторы этого набора линейно независимы; всякий вектор из системы (1.1) линейно выражается через векторы этого набора. В общем, система векторов (1.1) может иметь несколько разных максимальных линейно независимых подсистем.
8.1
Евклидово пространство
Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность равную 3.
В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно -мерное евклидово пространство обозначается , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение .
1. Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму:
,
в простейшем случае (евклидова норма):
где (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).
2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть с метрикой, введённой по формуле:
,
где и .
3. Вообще любое предгильбертово пространство (пространство со скалярным произведением ).
8.2
Скаля́рное произведе́ние иногда внутреннее произведение — операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.
Обычно используется одно из следующих обозначений:
,
,
,
или (обозначение Дирака, часто применяемое в квантовой механике для векторов состояния):
.
Обычно предполагается, что скалярное произведение положительно определено, то есть
для всех .
Если этого не предполагать, то произведение называется индефинитным (неопределенным).
8.3
Норма—функционал, заданный навекторном пространствеи обобщающий понятиедлинывектораилиабсолютного значения числа.