Elektrodinamika
.pdfЕлектростатика
ІІІ. ЕЛЕКТРОСТАТИКА
§48. Закон збереження електричного заряду. Електричне поле. Напруженість електричного поля
Електростатика – це розділ фізики, в якому розглядають взаємодії і властивості електричних зарядів, що нерухомі в тій системі координат, в якій ці заряди вивчають.
У природі існує два види електричних зарядів – позитивні і негативні. Домовились вважати позитивним заряд, що виникає, наприклад, на склі, яке натирають шовком, а негативним – на бурштині, який натирають хутром. Однойменно заряджені тіла відштовхуються одне від одного, а різнойменно заряджені притягуються. Знак заряду, який виникає на тілі внаслідок електризації тертям, залежить не тільки від хімічного складу цього тіла, а й від того, з яким іншим тілом воно стикається при терті.
|
При електризації тіл тертям завжди одночасно електризуються обидва тіла, причому |
|||
одне |
з |
них |
дістає |
позитивний |
заряд, |
а друге – негативний. |
Позитивний заряд першого тіла за величиною завжди точно |
дорівнює негативному заряду другого, якщо до електризації обидва тіла не були заряджені. Численними експериментами було встановлено закон збереження електричних зарядів:
в ізольованій системі алгебраїчна сума електричних зарядів залишається незмінною.
Заряди можуть лише передаватись від одного тіла даної системи до іншого або
зміщуватись всередині даного тіла.
Електричні заряди можуть зникати і виникати знову, але завжди зникають або виникають два електричні заряди протилежних знаків.
В 1909 р. Р.Мілікен встановив кратність електричного заряду деякому елементарному заряду е:
q = ±N ×e , де N=1, 2, 3...
Було виявлено, що цей елементарний заряд має величину 1,6 ×10−19 Кл.
Ш. Кулон в 1785 р. експериментально за допомогою крутильних терезів встановив основний закон взаємодії нерухомих точкових електричних зарядів.
Точковим називається заряд, який зосереджений на тілі, лінійні розміри якого малі порівняно з відстанню до інших заряджених тіл, з якими він взаємодіє.
Закон Кулона: сила електростатичної взаємодії між двома точковими електричними зарядами у вакуумі прямо пропорційна до добутку величин зарядів і обернено
пропорційна до квадрата відстані між ними:
|
|
F = k |
|
|
q1 |
|
|
|
q2 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
r 2 |
|
|
|||||||
де k – коефіцієнт пропорційності. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сили, які діють на заряди, є центральними, тобто вони напрямлені вздовж прямої, |
||||||||||||||
що з’єднує заряди. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон |
Кулона |
|
|
|
можна |
записати |
у |
|||||||
|
|
103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Електромагнетизм
векторній формі. Якщо |
V |
– радіус-вектор, що з’єднує заряд q1 із зарядом q2 (рис. 95) і |
|||||||||||||||||||
r12 |
|||||||||||||||||||||
|
V |
|
= r , тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
r12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
= -k |
q q |
2 |
R |
|
|
R |
= k |
q q |
2 |
R |
|||||
|
|
|
|
|
F |
1 |
r |
|
, |
F |
|
1 |
r . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
12 |
|
|
r 3 |
|
12 |
|
21 |
|
|
|
r 3 |
|
12 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
R |
+ q1 |
|
R |
|
|
+ q2 |
R |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
F |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
+ |
|
|
12 |
|
+ |
|
21 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 95
У системі СІ для зарядів у вакуумі коефіцієнт k у формулі закону Кулона записують у
формі
|
|
|
|
|
k = |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4πε0 |
|
|
||
де ε0 = 8,85 ×10−12 |
Кл2 |
– електрична стала, і, отже, k = 9 ×109 |
Н м2 |
. |
||||||
Н м2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Кл2 |
||
Множник 4π у виразі k = |
1 |
|
відбиває сферичну симетрію електростатичного поля |
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
4πε0 |
|
|
|
|
|
|
||
точкового заряду, оскільки величина |
4π |
числово дорівнює повному тілесному куту в |
||||||||
стерадіанах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Простір, у якому перебуває електричний заряд, характеризується певними фізичними властивостями і називається електричним полем.
Електричне поле – це специфічний вид матерії, який існує навколо електричних
зарядів і за допомогою якого передається електрична взаємодія.
Воно проявляє себе в тому, що поміщений в нього електричний заряд виявляється під дією сили, яка пропорційна до величини заряду. Якщо електричне поле створюється нерухомими електричними зарядами, то таке поле називається електростатичним.
Для виявлення і дослідного вивчення електростатичного поля використовується
пробний заряд |
qпр . Це одиничний позитивний точковий заряд, який не бере участі у |
|||
створенні |
поля |
і |
не |
спотворює |
досліджуване поле, тобто не спричинює перерозподілу зарядів, які утворюють поле. Якщо в
R
поле, що створюється зарядом q помістити пробний заряд qпр , то на нього діє сила F , яка пропорційна до величини qпр . Тому ця сила не може бути характеристикою самого поля.
Але величина, яка |
дорівнює |
відношенню |
|
F |
|
= const , може |
служити силовою |
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
qnp |
|
|
|||
|
|
|
R |
|
F |
|
|
||
характеристикою поля. |
Векторна |
величина E = |
|
називається напруженістю |
|||||
qnp |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
електричного поля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напруженість електричного поля числово |
|
дорівнює силі, що |
діє на одиничний |
позитивний пробний заряд в даній точці поля.
157
Електромагнетизм
За напрямок вектора напруженості E беруть напрямок сили, з якою поле діє на пробний позитивний заряд, вміщений у певну точку поля (рис. 96).
|
E F |
R |
R |
+ |
F |
E |
|
+ |
– |
+ |
|
q |
qпр |
q |
qпр |
Рис. 96
У системі СІ одиниця напруженості електричного поля 1 Н/Кл – це напруженість такого поля, яке діє з силою 1 Н на точковий заряд 1 Кл.
Електричні поля зображають за допомогою ліній напруженості, які проводять так,
R
щоб дотичні до цих ліній в кожній точці збігалися з напрямками вектора E (рис. 97).
E1
R
E2
R
E3
Рис. 97
Лінії напруженості мають початок і кінець або йдуть у нескінченність чи з нескінченності, вони напрямлені від позитивного заряду до негативного, тобто виходять з позитивного заряду, а входять у негативний заряд. Лінії напруженості ніколи не перетинаються. Ці лінії проводять з такою густиною, щоб кількість ліній, які пронизують одиничну площу, перпендикулярну до вектора напруженості, числово дорівнювала величині напруженості електричного поля в місці розміщення площини. Приклади графічного зображення електричних полів за допомогою ліній напруженості показано на рис. 98.
+ |
– |
+ |
– |
|
+ |
– |
+ |
+ |
+ |
|
|
Рис. 98
Поле, у всіх точках якого величина і напрямок вектора напруженості незмінні,
називається однорідним.
Воно утворюється між зарядженими площинами, якщо вони паралельні і нескінченно великі. Однорідне поле зображують паралельними лініями напруженості, що мають однакову густину.
Якщо поле створено системою N нерухомих зарядів, то результуюча сила, яка діє на пробний заряд зі сторони системи зарядів, дорівнює векторній сумі сил, з якими окремі заряди діють на пробний.
Напруженість поля системи точкових зарядів дорівнює векторній сумі напруженостей полів, які створював би кожний із зарядів системи зокрема:
158
Електромагнетизм
|
|
|
N |
R |
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
∑ Fi |
|
R |
R |
||||
F |
|
i=1 |
|
|
|
F1 |
|
FN |
|
|
E = |
= |
|
= |
+ ...+ |
, |
|||||
qnp |
|
|
|
|
||||||
|
|
qnp |
|
qnp |
qnp |
|||||
|
R |
|
R |
R |
|
|
R |
|
|
|
|
E |
= E1 + E2 |
+ ...+ EN . |
|
|
|||||
Це твердження називають |
принципом |
|
незалежності дії електричних полів, або |
принципом суперпозиції полів.
Виходячи із закону Кулона, напруженість поля точкового заряду у вакуумі на відстані r від заряду:
R |
1 |
|
q |
R |
|
E = |
|
|
|
r12 . |
|
4πε0 r 3 |
|||||
|
|
||||
Звідси видно, що поле точкового заряду – |
|
центрально симетричне. |
|||
Принцип суперпозиції дає можливість |
|
обчислювати напруженість поля будь-якої |
системи зарядів. Подумки поділяючи, наприклад, заряджене тіло скінченних розмірів на точкові заряди, знаходимо складові напруженості в певній точці, створені окремими елементами зарядженого тіла. Потім, згідно з принципом суперпозицій, визначаємо результуючу напруженість.
Нерухомі електричні заряди розміщуються в просторі або дискретно в окремих точках, або неперервно – вздовж якоїсь лінії, на поверхні якого-небудь тіла або в якомусь об’ємі. Якщо заряд неперервно розподілений вздовж лінії, то можна ввести лінійну густину
електричних зарядів
τ = lim |
q = |
dq |
, |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
l →0 |
l |
dl |
|
|||||||
де q - заряд ділянки лінії завдовжки l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неперервний розподіл заряду по якійсь поверхні характеризується поверхневою |
||||||||||
густиною зарядів |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ = lim |
q |
= |
|
dq |
, |
|||||
|
|
|
||||||||
S →0 |
S |
|
|
dS |
|
|||||
де q - заряд ділянки поверхні, площа якої становить |
S . |
|||||||||
Якщо заряд q неперервно розподілений у певному об’ємі V , то введемо об’ємну |
||||||||||
густину зарядів |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ = lim |
|
q |
= |
dq |
. |
|||||
|
|
dV |
||||||||
V →0 |
V |
|
|
|
||||||
Електричним диполем називається система |
з двох однакових за величинами і |
протилежних за знаком електричних зарядів + q і − q , відстань l між якими мала порівняно з відстанню до точок поля, які розглядаються (рис. 99).
+ q |
l |
− q |
Плечем диполя називається вектор l , напрямлений вздовж осі |
|
+ |
_ |
диполя від негативного заряду до позитивного; він числово дорівнює |
||
|
||||
p |
|
|
||
|
|
|
||
|
Рис. 99 |
|
відстані між ними. Добуток позитивного заряду диполя q на плече l |
називається електричним моментом диполя:
159
Електромагнетизм
R =
p ql .
Вектор p за напрямком збігається з плечем диполя l .
§49. Робота при переміщенні заряду в електростатичному полі. Потенціал електричного поля. Напруженість як градієнт потенціалу
Обчислимо роботу сил електростатичного поля при переміщенні точкового заряду в
|
d |
|
однорідному полі, яке створене |
двома скінченими паралельними |
||
|
|
|||||
+ |
s1 |
|
− зарядженими площинами, розміри яких значно більші, ніж відстань d |
|||
1 |
|
4 між ними. Нехай позитивний заряд q переміщається силою поля F=qE |
||||
|
|
з точок 1, 2 і 3 в точку 4 (рис. 100). |
|
|||
|
s2 |
|
|
|||
|
|
Робота сил поля |
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
A14 = Fs1 = qEd . |
|||
2 |
|
|
|
|||
|
|
Якщо заряд переміщається з точки 2 в точку 4, то робота |
||||
3 |
|
|
||||
s3 |
|
A |
= Fs |
|
cosα = qEd . |
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
24 |
|
|
|
|
Рис 100 |
|
Підрахуємо тепер роботу переміщення заряду q із точки 3 в |
точку 4. Розіб’ємо криву s3 на n ділянок, кожну з яких можна з великою точністю взяти за пряму. Тоді
n |
n |
A34 = ∑ Fsi cosαi = F ∑ di = Fd = qEd . |
|
i=1 |
i=1 |
Отже, робота при переміщенні заряду у трьох випадках однакова, хоча траєкторії руху заряду різні.
Розглянемо тепер електричне поле, яке створюється нерухомим точковим зарядом q у вакуумі (рис. 101).
|
|
F |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
dl |
|
|
|
|
||
|
|
q′ + |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
R |
|
|
||
|
r1 |
r |
|
|
|
r2 |
|
|
||
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
Рис. 101 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Нехай в електростатичному полі заряду q вздовж довільної траєкторії переміщується |
||||||||||
точковий заряд q′ |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
під дією сили F з точки 1, |
що перебуває на відстані r1 від джерела поля в |
|||||||||
точку 2 на відстані r2 від нього. |
|
|
|
|
|
R |
|
R |
||
Робота |
сили |
F |
на елементарному переміщенні |
dl |
||||||
дорівнює: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dA = Fdl cosα = |
|
|
1 |
|
qq′ |
dl cosα = |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4πε0 r 2 |
|
|
|||||
|
|
160 |
|
|
|
|
|
Електромагнетизм
= |
1 |
qq′ |
dr |
. |
4πε0 |
|
|||
|
|
r 2 |
||
Робота при переміщенні заряду q′ |
з точки 1 в точку 2 дорівнює: |
A = |
r2 |
dA = |
qq′ |
r2 dr |
= |
1 |
|
qq′ |
− |
qq′ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
∫ |
4πε |
|
∫ r 2 |
4πε |
|
r |
r |
|||||||
12 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
r |
|
|
r |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ця робота не залежить від траєкторії переміщення, а визначається лише початковим |
(1) і кінцевим (2) положенням заряду. Отже, електростатичне поле точкового заряду є
потенціальним, а електростатичні сили – |
консервативними. |
|
|||||||||||
Оскільки робота консервативних сил виконується за рахунок зменшення |
|||||||||||||
потенціальної енергії, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
1 |
|
qq′ |
− |
|
1 |
|
|
qq′ |
= W −W . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12 |
4πε0 r1 |
|
|
|
1 |
2 |
|||||||
|
|
|
4πε0 r2 |
|
|||||||||
Отже, потенціальна енергія заряду q′ в полі заряду q у вакуумі дорівнює: |
|||||||||||||
|
W = |
1 |
|
qq′ |
+ C . |
|
|||||||
|
4πε0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
Домовимось вважати потенціальну енергію заряду q′ на нескінченно великій відстані від заряду q рівною нулю. При r → ∞ W=0 і C=0. Тому потенціальна енергія заряду q′ , що перебуває на відстані r від точкового заряду q, дорівнює
|
|
|
|
|
|
|
W = |
|
qq′ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4πε0 r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Якщо заряди |
q′ |
та |
q |
однойменні, |
|
то |
|
потенціальна |
енергія їхньої взаємодії |
||||||||||
(відштовхування) додатна |
і |
зростає при |
зближенні |
|
цих зарядів (рис. 102). У випадку |
|||||||||||||||
|
q > 0,q′ > 0 |
взаємного притягання різнойменних зарядів потенціальна енергія |
||||||||||||||||||
W |
їхньої взаємодії від’ємна і зменшується при наближенні одного із |
|||||||||||||||||||
|
q < 0,q′ < 0 |
зарядів до іншого. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
r |
|
|
|
Потенціальна енергія W заряду q′ , що |
перебуває в полі |
||||||||||||||
|
q > 0,q′ < 0 |
точкових |
зарядів q , q |
2 |
, … |
|
q |
n |
, |
дорівнює |
сумі |
його потенціальних |
||||||||
|
q < 0,q′ > 0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
енергій W у полях, що створюються кожним зарядом зокрема: |
|||||||||||||||||||
|
Рис. 102 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qi |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W = ∑Wi = q′∑ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4πε |
r |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
0 i |
|
||
де ri - відстань від заряду qi |
до заряду q′ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Величина ϕ = |
W |
|
є |
однакова для |
всіх |
зарядів |
в даній |
точці |
поля і називається |
||||||||||
|
q′ |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
потенціалом поля.
Потенціалом ϕ будь-якої точки електростатичного поля називають фізичну величину, яка числово дорівнює потенціальній енергії одиничного позитивного заряду,
поміщеного в цю точку.
161
Електромагнетизм
Одиниця потенціалу – вольт. 1B - це потенціал такої точки поля, в якій заряд величиною 1 Кл володіє потенціальною енергією в 1 Дж.
Потенціал поля, створеного одним точковим зарядом q у вакуумі, дорівнює:
ϕ = q .
4πε0 r
Роботу, яку виконують електростатичні сили при переміщенні заряду q′ від точки 1 до точки 2 електростатичного поля, можна записати так:
A = W1 −W2 = q′(ϕ1 − ϕ2 ),
де ϕ1 та ϕ2 - потенціали електростатичного поля в точках 1 та 2.
Якщо з точки з потенціалом ϕ1 заряд q′ віддаляється в нескінченність (ϕ2 = 0), то робота сили поля буде дорівнювати A∞ = q′ϕ1 . Звідси
ϕ = A∞ .
1 q′
Потенціал даної точки електростатичного поля – це така фізична величина, яка числово дорівнює роботі, яку виконують зовнішні сили (проти сил електростатичного поля)
при переміщенні одиничного позитивного заряду з нескінченності в дану точку поля.
Потенціал поля, яке створюється системою зарядів, дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів, створених кожним із зарядів зокрема:
q + |
r |
M |
r2 |
_ |
||
1 |
|
q |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
r3 |
|
r4 |
|
|
2 |
+ |
|
|
|
|
||
|
_ q4 |
|
|
|||
q3 |
|
|
|
|
1 |
|
n |
q |
|
ϕ = ∑ϕi = |
|
|
∑ |
i |
. |
4πε |
|
r |
|||
i |
|
0 i =1 |
i |
Наприклад, потенціал поля в точці М (рис. 103), яке створене
зарядами q1 , q2 , q3 , q4 дорівнює |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ϕ = |
1 |
|
q |
+ |
q |
2 |
+ |
q |
3 |
+ |
q |
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|||||||
4πε |
|
r |
r |
|
r |
|
r |
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
Електричне поле можна описати або за допомогою векторної
R
величини E , або за допомогою скалярної величини φ. Очевидно, що між цими величинами повинен існувати зв’язок.
Нехай в електростатичному полі знаходиться заряд q. Робота при переміщенні цього заряду вздовж осі ОХ між двома нескінченно близькими точками дорівнює:
dA = Fdx = qEx dx .
З іншого боку, елементарна робота при переміщенні заряду q в електростатичному полі виражається через потенціали цього поля:
dA = q(ϕ1 − ϕ2 ) = −q(ϕ2 − ϕ1 ) = −qdϕ .
Тоді, прирівнявши елементарні роботи, отримуємо:
Exdx = −dϕ , Ex = − |
∂ϕ . |
|
∂x |
Знак „ – ” означає, що під дією сил електричного поля додатній заряд переміщується в бік зменшення потенціалу.
162
Електромагнетизм
Аналогічні міркування можна поширити і на напрямки переміщень вздовж осей OY і
ОZ:
E y = − |
∂ϕ ; Ez |
= − ∂ϕ . |
|||
|
|
∂y |
|
|
∂z |
Отже, ми знайшли Ex E y та Ez |
– |
компоненти вектора напруженості E: |
|||
R |
|
R |
R |
+ Ez k . |
|
E = Exi |
+ E y j |
||||
Це рівняння можна переписати так: |
|
j − ∂ϕ k . |
|||
E = − |
∂ϕ i − ∂ϕ |
||||
R |
|
R |
R |
R |
|
|
∂x |
∂y |
|
∂z |
У векторному аналізі градієнтом скалярної величини φ називається така векторна величина, для якої справедливий запис:
gradϕ = |
∂ϕ iR + |
∂ϕ Rj + |
∂ϕ kR . |
|
∂x |
∂y |
∂z |
Отже,
R
E = −gradϕ .
R
Знак „ – ” вказує на те, що вектор E напруженості поля напрямлений в бік найшвидшого зменшення потенціалу. Напруженість в якій-небудь точці електростатичного поля дорівнює градієнту потенціалу в цій точці, взятому з оберненим знаком.
R
Знаючи потенціал φ в кожній точці поля, за формулою E = −gradϕ можемо обчислити напруженість в кожній точці поля.
Можна розв’язати і обернену задачу, тобто знаючи напруженість поля в кожній точці поля, можна знайти різницю потенціалів між двома довільними точками.
Робота при переміщені заряду з точки 1 в 2 дорівнює:
2 |
R R |
2 |
R R |
A12 = ∫ (F ,dl )= ∫ qEdl , |
|||
1 |
|
1 |
|
але, з іншого боку,
A12 = q(ϕ1 − ϕ2 ).
Звідси
2 |
R R |
ϕ1 − ϕ2 = ∫ (E ,dl ). |
|
1 |
|
Інтеграл можна брати вздовж довільної |
лінії, яка з’єднує точки 1 та 2, оскільки |
електростатичне поле є консервативне.
При обході по замкненому контуру заряд потрапляє в кінцеву точку поля, яка збігається з початковою і ϕ2 = ϕ1 , отже
|
|
R |
|
|
∫ (E ,dl )= 0 . |
|
|
L |
ϕ |
2 |
Цей інтеграл називають циркуляцією вектора напруженості вздовж |
L |
|
замкненого контуру (рис. 104). |
|
|
|
|
|
163 |
ϕ1 Рис. 104
Електромагнетизм
Циркуляція вектора напруженості електростатичного поля вздовж замкненого контуру дорівнює нулю.
Векторне поле E називається потенціальним, якщо циркуляція вектора E вздовж довільного замкненого контуру дорівнює нулю.
Геометричне місце точок з однаковим потенціалом називається еквіпотенціальною
поверхнею.
Для еквіпотенціальних поверхонь:
ϕ(x, y, z) = const .
При переміщенні по еквіпотенціальній поверхні на відрізок отже, і робота
|
|
2 |
R |
R |
A12 = q(ϕ1 − ϕ2 ) = ∫ q(E ,dl )= |
||||
|
|
1 |
|
|
2 |
R |
|
R |
|
= q∫ Edl cos(E ˆ, dl )= 0 .
1
dl потенціал не змінюється, а,
R
E
Звідси |
n |
|
Рис. 106 |
||
|
||
|
Edl cos(Eˆ, dl )= 0 . |
Оскільки
E=/ 0 ; dl =/ 0 , то cos(Eˆ, dl )= 0 .
Врезультаті кут між E та dl дорівнює π .
2
R
Вектор E напруженості електричного поля в кожній точці напрямлений перпендикулярно до еквіпотенціальної поверхні.
Еквіпотенціальні поверхні точкового заряду – це сферичні оболонки навколо нього
(рис. 105) (ϕ1 > ϕ2 > ϕ3 > ϕ4 ) .
|
R |
|
|
E |
R |
|
|
+ E |
R |
|
R |
E |
|
|
+ |
E |
|
|
|
|
R |
|
ϕ4 |
E |
|
ϕ3 |
ϕ1 |
|
ϕ2 |
|
Рис. 105 |
|
§50. Потік вектора напруженості. Теорема Остроградського-Ґаусса
Основне завдання електростатики полягає в тому, щоб за заданим розподілом у просторі і величиною електричних зарядів знайти величину і напрямок вектора напруженості
R
E в кожній точці поля. Використання принципу суперпозиції для обчислення електричних полів пов’язано із значними математичними труднощами. Значно простіший метод
розрахунку |
полів |
ґрунтується |
на |
використанні |
теореми |
|
|
|
164 |
|
|
Електромагнетизм
Остроградського-Ґаусcа.
Нехай в однорідному електричному полі (E = const ) проведена довільна площина dS.
Одиничний вектор n нормалі до площини складає з вектором E кут α (рис. 106). Потоком вектора напруженості будемо називати величину
|
dФE = EdS cosα |
або dФE = EndS = (E ,dS ), |
|||
де En – |
|
|
|
|
R |
проекція вектора E на напрямок вектора нормалі, а вектор dS = dSn . |
|||||
Повний потік вектора напруженості через довільну поверхню S буде |
|||||
|
|
ФE = ∫ EndS = ∫ E cosα dS . |
|
||
|
|
|
S |
S |
|
Знак потоку залежить від вибору напрямку нормалі. Для замкнених поверхонь |
|||||
нормаль, яка виходить назовні, приймається за додатну. Тоді там, де вектор E напрямлений |
|||||
назовні, |
En та ФE додатні, |
а коли |
E входить в середину поверхні, En та ФE від’ємні |
||
(рис. 107). |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
dФ>0 |
n |
|
|
|
|
||
|
|
dS |
E |
|
R |
|
|
α |
|
dS |
|
|
n |
|
E |
||
|
dФ<0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 107 |
|
Для замкнених поверхонь |
|
|
|
||
|
|
|
|
R |
|
|
|
ФE = ∫ EndS = ∫ (E ,dS ). |
|
||
|
|
|
S |
S |
|
Нехай навколо точкового заряду + q який знаходиться у вакуумі, описано довільну замкнену поверхню S (рис. 108).
|
R |
|
|
|
|
|
E |
dS dSn |
|
|
|
|
α |
|
|
||
n |
En |
dω |
|
|
|
r q |
+ |
S |
|||
|
|
Рис. 108
Лінії напруженості виходять з цієї поверхні. Виділимо довільну елементарну
площадку dS, нормаль n до якої складає кут α |
з вектором E . Спроектуємо елемент dS |
|||
поверхні S на поверхню радіуса r з центром в місці знаходження заряду q.Тоді |
||||
dSn = dS cosα . |
|
|||
Елементарний потік |
|
|
||
dФE = E cosα dS = |
|
q |
dSn = |
|
|
|
|||
4πε0 r 2 |
||||
|
|
165